第二章函数与极限

第二章函数与极限第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二章函数与极限n元线性方程组与矩阵1函数的概念与性质1n元线性方程组与矩阵1极限2n元线性方程组与矩阵1函数的连续性3第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二章函数与极限1.了解初等函数的概念，会建立简单的经济

函数关系；2.掌握函数极限的运算法则，会求函数的极限；3.会求函数的连续区间和间断点。1学习目标★第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二章函数与极限【经济问题2-1】若投资可行，总投资相当于多少万元？一位营销主管，年薪4万元。欲将自己名下一处价值15万元的商住房出售，建一家便利商店，自己经营。并做了一个预期的年度损益表（单位：元）：销售收益120000 减：售出货物的成本50000各种税费与门面租金30000净利润40000而他的一位经济学朋友从经营便利店的机会成本的角度,建议他用商住房作为抵押向银行申请贷款，可得到的贷款，将这笔贷款进行再次投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品的贷款，如此反复扩大再投资……。试问:若投资可行，总投资相当于多少万元？第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质一、函数的概念其中变量称为自变量，变量称为，内，任意取一个数和定义2·1

设在某一变化过程中有两个变量如果当变量在实数的某一范围值时，变量按照某种对应法则与之对应，则称是函数，，的有惟一确定的值因变量。，记作第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质其中变量、称为自变量，变量称为因变量。、在平面的某一范围、果当变量、和，如在某一变化过程中有三个变量推广：内，对于每个点，变量按照一定的法则总有唯一确定的是变量的二元函数，值和它对应，则称（或记为）记为第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质解：因为，即，。例1求下列函数的定义域。⑴⑵所以函数定义域为解：因为根据偶次根式的性质有，解得所以此函数定义域为。，第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质邻域的概念：的为点邻域，简称点的邻域。为正数，称为邻域的半径。我们称开区间第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质

在不同的范围内用不同的解析式表示的函数注意，分段函数的定义域为各段自变量取值分段函数：成为分段函数。如:集合的并集。第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质

解（1）函数的定义域为,（2）

例2设分段函数求此函数的定义域并作出草图；求的值。yx2211-1-1-2-2第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四（二）函数的单调性第一节函数的概念与性质二、函数的性质（一）函数的奇偶性（三）函数的周期性（四）函数的有界性在集合存在一个正数，对于所有的，恒有，则称函数在上是有界的。定义2·5

设函数上有定义，如果第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质轴的直线有界函数的图像必介于两条平行于和之间（如图所示）。第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质（一）基本初等函数（二）复合函数数，称为的复合函数，其中叫中间变量。三、初等函数是通过变量与之对应，则的函数，又是函数，如果对于自变量的取值，通过有惟一的构成定义2·6

设的的函记作第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质和复合而成的。是由解函数例3指出复合函数是由哪些简单函数复合而成的。第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四由基本初等函数经有限次四则运算或有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数。不是初等函数分析:不满足有限次运算也不是初等函数分析:不能用一个解析式子表示第一节函数的概念与性质（三）初等函数第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质四、经济函数模型需求函数的几种类型：1.线性需求函数2.二次需求函数3.指数需求函数

需求函数：

（一）需求函数与供给函数模型第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第一节函数的概念与性质供给函数：线性供给函数当市场的需求量与供给量持平时，称为供需平衡。此时的价格称为供需平衡价格或均衡价格，记为；需求量称为均衡量，记为。第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四例4市场调查显示，某商品当售价为每件70元时，市场需求量为1万件，若该商品每件降低3元时，需求量将增加0.3万件，试求该商品的需求函数。解设调整后的价格为，则由题意知第一节函数的概念与性质第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四（二）成本函数、收入函数和利润函数模型总成本函数，第一节函数的概念与性质总收入函数总利润函数平均成本其中称为平均可变成本。第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四例5已知某垄断者的成本函数为，产品得到需求函数为，求:（1）当生产100个该产品时的总成本和平均成本;（2）求收益函数与利润函数。解（1）由题意，产量为100个时的总成本为产量为100个时的平均成本为（2）由题意，收益函数为利润函数为第一节函数的概念与性质第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四一、极限概念（一）数列极限定义2·8对于数列，如果当无限增大时，无限趋近于一个确定的常数，则称常数为数列第二节极限的极限，记作；如:第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限设S代表投资与再投资的总和，代表每次的投资解:【经济问题2-1】，（1，2，3，……）或再投资（贷款）。于是因此若投资可行，总投资相当于50万元。设（万元）第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限（二）函数极限同理可定义：的充要条件是定义2·9

如果当自变量取正值并无限增大时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当时的极限。记作第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限当时，无限趋近于0;时，也无限趋向于0.当当时，无限趋近于0；第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限例：＝1为函数当时的极限，数，则称常数（但)时，函数(点可以除外），如果当自变量在点的某邻域内有定义无限趋近于无限趋近于一个确定的常定义2·12

设函数记作：第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限为函数在处的左极限，，则称常数时，函数无限趋近于一个确定的常数定义2·13

设函数在点左侧的某邻域内点可以除外），如果当从左侧无限趋近于有定义（记作:第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限为函数在处的右极限，，则称常数时，函数无限趋近于一个确定的常数定义2·14

设函数在点右侧的某邻域内点可以除外），如果当从右侧无限趋近于有定义（记作:第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限解这是一个分段函数，且是其分段点。定理2·2

的充要条件是例6设，试判断是否存在。的左极限和右极限都存在但不相等，所以因为不存在。第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四二、无穷小量与无穷大量（一）无穷小量的定义某一变化过程中，以零为极限的变量称为在此变化过程中的无穷小量，简称无穷小。第二节极限如:第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限（二）无穷小量的性质：性质1有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。性质2有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量。性质3常数与无穷小量的乘积仍是无穷小量。第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限例7求解因为，，由性质2知。第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四例如，变量，当时是无穷大量；当时就不是无穷大量。（三）无穷大量定义2·16在某一变化过程中，绝对值无限增大的变量称为在此变化过程中的无穷大量，简称无穷大。记作第二节极限第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四3．无穷小量阶的比较定义2·17

设，是同一变化过程中的两个无穷小量，且（为常数）（1）如果，则称是比高阶的无穷小；（2）如果，则称是同阶的无穷小，特别地，如果，则称是等价的无穷小。第二节极限第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四三、极限的四则运算定理2·5

设当自变量在同一变化过程中，及都存在，则第二节极限⑶（其中）。⑴；⑵；第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限

例8求.解例9求.解第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限例10求解将分子、分母同除以,然后再求极限，得第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限四、两个重要极限（括号代表同一变量）（一）第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限例11求解例12求解第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限（括号代表同一变量）（二）第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限解例14求解例13求第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第二节极限例15（连续复利公式）设本金为，年复利率为，若把一年均分为t期计息，已知年的本利和。求计息期无限缩短（即期数）时年的本利和。解第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期四一、连续的概念定义2·18

设函数在点的某个邻域内有定义，如果则称函数在点处连续，称为函数的连续点。否则称函数在点处间断，称为函数的间断点。例如:函数，分别在，处连续。第三节函数的连续性第四十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期四二、间断点与连续区间的求法根据函数在某点连续的定义可知，若函数在点处有下列三种情况之一，则点是函数的一个间断点。第三节函数的连续性

⑶虽然有定义，存在，但。⑵不存在；⑴没有定义；第四十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期四第三节函数的连续性

⑵在处，

例16判断函数在指定点处的连续性。解虽然在处有定义，且，但在处有，即在的左、右极限不相等，故在处极限不存在。所以是的一个间断点。第四十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期四