2023年新高二暑假讲义12讲第8讲 圆的方程含答案

1/12023年新高二暑假讲义第8讲圆的方程新课标要求回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程知识梳理一、圆的定义及圆的标准方程1．圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．2．圆的标准方程[来二、点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内．判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|>r，则点M在圆外；若|CM|<r，则点M在圆内．(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2.三、圆的一般方程的定义1．当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)．2．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))．3．当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．四、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0名师导学知识点1求圆的标准方程【例1－1】已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的标准方程．【例1－2】△ABC的三个顶点分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求其外接圆的标准方程．【变式训练1-1】圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2知识点2点与圆的位置关系的判断【例2-1】已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【变式训练2-1】已知a，b是方程x2－x－eq\r(2)＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是()A．点P在圆C内 B．点P在圆C外C．点P在圆C上 D．无法确定知识点3与圆有关的最值问题【例3-1】已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．【变式训练3-1】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．知识点4圆的一般方程的概念【例4-1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．【变式训练4-1】(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________；(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．知识点5求圆的一般方程【例5-1】已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．【变式训练5-1】已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．知识点6求动点的轨迹方程【例6-1】求到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的eq\f(1,2)的点的轨迹方程．【例6-2】已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．【例6-3】已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程．【变式训练6-1】如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹．名师导练2.4.1圆的标准方程A组-[应知应会]1．圆(x－1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1的圆心坐标是()A．(1，eq\r(3)) B．(－1，eq\r(3))C．(1，－eq\r(3)) D．(－1，－eq\r(3))2．圆心是O(－3，4)，半径长为5的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝253．圆心在y轴上且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝04．已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________．5．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是________．6．求过点A(1，2)和B(1，10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，求该圆的标准方程．B组-[素养提升]8．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为()A．2 B．1 C.eq\r(3) D.eq\r(2)9．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5210．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|＝eq\r(3)，则该圆的标准方程是________．[K]11．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．12．已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝eq\r(x2＋y2＋2x－2y＋2)的最小值．源:学&科&网Z&X&X&K]13．一个等腰三角形ABC底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B(－3，0)和C(3，0)，求它的外接圆的方程．2.4.2圆的一般方程A组-[应知应会]1．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝03．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于()A．－1 B．1 C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)4．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于________．5．已知过点A(－2，m)，B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0互相垂直，则m＝________．6．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．7．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？B组-[素养提升]8．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()9．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角45°，则m的值为()A．－2 B．2 C．－3 D．310．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．11．若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．12．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．13．已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．第8讲圆的方程新课标要求回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程知识梳理一、圆的定义及圆的标准方程 1．圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．2．圆的标准方程二、点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内．判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|>r，则点M在圆外；若|CM|<r，则点M在圆内．(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2.三、圆的一般方程的定义1．当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)．2．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))．3．当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．四、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0名师导学知识点1求圆的标准方程【例1－1】已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的标准方程．【解】直线AB的斜率k＝eq\f(3－1,－1－3)＝－eq\f(1,2)，所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2.又线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x＝eq\f(3－1,2)＝1，y＝eq\f(1＋3,2)＝2，因此直线m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.又因为圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心是这两条直线的交点．联立方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,3x－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4.))设圆心为C，所以圆心坐标为(2，4)．又因为半径r＝|CA|＝eq\r(10)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.【例1－2】△ABC的三个顶点分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求其外接圆的标准方程．【解】法一设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（0－a）2＋（5－b）2＝r2，,（1－a）2＋（－2－b）2＝r2，,（－3－a）2＋（－4－b）2＝r2.))解此方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1，,r2＝25.))故所求外接圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.法二因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，直线AB的斜率kAB＝eq\f(－2－5,1－0)＝－7.所以线段AB的垂直平分线的方程是y－eq\f(3,2)＝eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－7y＋10＝0，同理，线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－7y＋10＝0，,2x＋y＋5＝0，))得圆心的坐标为(－3，1)．又因为圆的半径长r＝eq\r(（－3－0）2＋（1－5）2)＝5，所以所求外接圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.【变式训练1-1】圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2【解析】圆的半径r＝eq\r(（1－0）2＋（1－0）2)＝eq\r(2)，圆心坐标为(1，1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.【答案】D知识点2点与圆的位置关系的判断【例2-1】已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解】由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－eq\f(5,2)，又a≠0，∴a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))∪(0，＋∞)．【变式训练2-1】已知a，b是方程x2－x－eq\r(2)＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是()A．点P在圆C内 B．点P在圆C外C．点P在圆C上 D．无法确定【解析】由题意，a＋b＝1，ab＝－eq\r(2)，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2eq\r(2)<8，∴点P在圆C内，故选A.【答案】A知识点3与圆有关的最值问题【例3-1】已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．【解】(1)由已知，得C(3，0)，r＝eq\f(|AB|,2)＝2，∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2).∴P到直线的最大距离为2＋2eq\r(2)，最小距离为2eq\r(2)－2.【变式训练3-1】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．【解】设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2，即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34，最大值为2×36＋2＝74.知识点4圆的一般方程的概念【例4-1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．【解】由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m<eq\f(1,5).圆心坐标为(－m，1)，半径为eq\r(1－5m).【变式训练4-1】(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________；(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．【解析】(1)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，可化为(x＋eq\f(a,2))2＋(y－eq\f(a,2))2＝eq\f(a2,2)，圆心坐标为(－eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，半径为eq\f(\r(2)|a|,2).(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是(－eq\f(k,2)，－1)，由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，∴－eq\f(k,2)＋1＋1＝0得k＝4，圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为eq\f(1,2)eq\r(42＋22＋16)＝3，∴该圆的面积为9π.【答案】(1)(－eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，eq\f(\r(2)|a|,2)(2)9π知识点5求圆的一般方程【例5-1】已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．【解】设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.【变式训练5-1】已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．【解】设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4D＋2E＋F＋20＝0，①,2D＋6E－F－40＝0.②))设圆在x轴上的截距为x1，x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，则x1＋x2＝－D.设圆在y轴上的截距为y1，y2，它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，则y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.知识点6求动点的轨迹方程【例6-1】求到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的eq\f(1,2)的点的轨迹方程．【解】设M(x，y)到O(0，0)的距离是到A(3，0)的距离的eq\f(1,2).则eq\f(|MO|,|MA|)＝eq\f(1,2).∴eq\f(\r(x2＋y2),\r(（x－3）2＋y2))＝eq\f(1,2).化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.【例6-2】已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．【解】设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y.))∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－8x0－6y0＋21＝0.∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0.即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋eq\f(21,4)＝0.【例6-3】已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程．【解】法一设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.又因为kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．法二同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．法三设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)．由直角三角形的性质，知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．设C(x，y)，则直角顶点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．【变式训练6-1】如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹．【解】设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，所以4＝eq\f(x0＋x,2)，3＝eq\f(y0＋y,2)，于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)＝4，②把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以，点B的轨迹是以(9，6)为圆心，半径长为2的圆．名师导练2.4.1圆的标准方程A组-[应知应会]1．圆(x－1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1的圆心坐标是()A．(1，eq\r(3)) B．(－1，eq\r(3))C．(1，－eq\r(3)) D．(－1，－eq\r(3))【解析】由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1，得圆心坐标为(1，－eq\r(3))．【答案】C2．圆心是O(－3，4)，半径长为5的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25【解析】将O(－3，4)，r＝5代入圆的标准方程可得．【答案】D3．圆心在y轴上且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0【解析】设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3，1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.【答案】B4．已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________．【解析】|AB|＝eq\r(（5＋1）2＋（－4－4）2)＝10，则r＝5，AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋5,2)，\f(4－4,2)))，即(2，0)．故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.【答案】(x－2)2＋y2＝255．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是________．【解析】圆心为(2，－3)，设所求圆的半径长为r，则所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2.又因为过点P(－1，1)，所以r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝256．求过点A(1，2)和B(1，10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．【解】设圆心坐标为(a，b)，∵AB的中点为(1，6)，∴AB的垂直平分线为y＝6.∵圆心(a，b)在AB的垂直平分线上，∴b＝6，由题意得eq\r(（a－1）2＋（6－2）2)＝eq\f(|a－2×6－1|,\r(12＋（－2）2))，解得a＝3或－7，当a＝3时，r＝eq\r(（3－1）2＋（6－2）2)＝2eq\r(5).当a＝－7时，r＝eq\r(（－7－1）2＋（6－2）2)＝4eq\r(5).∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，求该圆的标准方程．【解】∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，∴圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标为(a，1)，则1＝eq\f(|4a－3|,5)，又a>0，∴a＝2，∴该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1B组-[素养提升]8．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为()A．2 B．1 C.eq\r(3) D.eq\r(2)【解析】由几何意义可知最小值为14－eq\r(52＋122)＝1.【答案】B9．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52【解析】如图，结合圆的性质可知，圆的半径r＝eq\r(（2－0）2＋（－3－0）2)＝eq\r(13).故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.【答案】B10．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|＝eq\r(3)，则该圆的标准方程是________．[K]【解析】根据|AB|＝eq\r(3)，可得圆心到x轴的距离为eq\f(1,2)，故圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1.【答案】(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝111．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．【解析】圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1，1)，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋（－1）2))＝eq\r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为eq\r(2)＋1.【答案】eq\r(2)＋112．已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝eq\r(x2＋y2＋2x－2y＋2)的最小值．【解】因为S＝eq\r(x2＋y2＋2x－2y＋2)＝eq\r(（x＋1）2＋（y－1）2)，又点(x，y)在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，即S表示圆上的动点到定点(－1，1)的距离，如图所示，显然当定点(－1，1)和圆心(1，0)共线时取得最值，且最小值为eq\r(（1＋1）2＋（0－1）2)－1＝eq\r(5)－1，所以S＝eq\r(x2＋y2＋2x－2y＋2)的最小值为eq\r(5)－1.&科&网Z&X&X&K]13．一个等腰三角形ABC底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B(－3，0)和C(3，0)，求它的外接圆的方程．【解】(1)当点A的坐标是(0，4)时(如图①)，kAB＝eq\f(4,3)，线段AB的中点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))，线段AB的垂直平分线的方程是y－2＝－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，即y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(7,8).令x＝0，则y＝eq\f(7,8).所以圆心的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)))，半径长为4－eq\f(7,8)＝eq\f(25,8)，此时所求外接圆的方程是x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,8)))eq\s\up12(2)＝eq\f(625,64).(2)当点A的坐标是(0，－4)时(如图②)，kAB＝－eq\f(4,3)，线段AB的中点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－2))，线段AB的垂直平分线的方程是y＋2＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，即y＝eq\f(3,4)x－eq\f(7,8).令x＝0，则y＝－eq\f(7,8).所以圆心的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(7,8)))，半径长为－eq\f(7,8)－(－4)＝eq\f(25,8)，此时所求外接圆的方程是x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,8)))eq\s\up12(2)＝eq\f(625,64).综上可知，所求外接圆的方程是x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,8)))eq\s\up12(2)＝eq\f(625,64)或x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,8)))eq\s\up12(2)＝eq\f(625,64).2.4.2圆的一般方程A组-[应知应会]1．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【解析】由题意可把ax＋by＝c化为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(c,b).∵ab<0，bc＜0，∴直线的斜率k＝－eq\f(a,b)>0，直线在y轴上的截距eq\f(c,b)<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．【答案】C2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【解析】由题意，得所求直线斜率为eq\f(1,2)，且过点(1，0)．故所求直线方程为y＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0.【答案】A3．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于()A．－1 B．1 C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【解析】由两直线垂直，得1×2＋(－2)m＝0，解得m＝1.【答案】B4．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于________．【解析】∵直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0分别化为y＝－eq\f(a,2)x－eq\f(1,2)，y＝－x＋2，则－eq\f(a,2)＝－1，解得a＝2.【答案】25．已知过点A(－2，m)，B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0互相垂直，则m＝________．【解析】因为两条直线垂直，直线2x＋y－1＝0的斜率为－2，所以过点A(－2，m)，B(m，4)的直线的斜率eq\f(4－m,m＋2)＝－eq\f(1,2)，解得m＝2.【答案】26．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．【解】(1)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋2≠0，,m－2≠0，))解得m≠2.(2)由题意知，m≠2，由－eq\f(m2－3m＋2,m－2)＝1，解得m＝0.7．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？【解】法一(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，l1∥l2，需eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2).解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.(2)由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－eq\f(3,2)时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq\f(a＋2,1－a)，k2＝－eq\f(a－1,2a＋3).当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即(－eq\f(a＋2,1－a))·(－eq\f(a－1,2a＋3))＝－1，∴a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.法二(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.∴m的值为2或－3.(2)由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足