四川省普通高中2024届高三上学期学业水平考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1四川省普通高中2024届高三上学期学业水平考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗集合，，则.故选：C.2.已知是虚数单位，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，故选：B.3.已知向量，，则（）A. B.14C. D.〖答案〗A〖解析〗因向量，，所以.故选：A.4.已知直线的方程为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由线的方程为可知，斜率.故选：A.5.某高中一、二、三年级学生参加社团活动的人数分别为500，300，200，现用分层抽样的方法从中抽取100人参加艺术节表演，则抽出的高一年级学生人数为（）A.20 B.30 C.40 D.50〖答案〗D〖解析〗抽出的高一年级学生人数为：.故选：D.6.已知，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，故选：C.7.某同学计划在四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》中随机选一本作为课外读本，则《红楼梦》恰好被选中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗《红楼梦》恰好被选中的概率为.故选：D.8.函数的图象是（）A B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为的定义域为，故BD错误；又，故C错误；故A正确.故选：A9.若球的表面积为，则顶点均在该球球面上的正方体体积为（）A.256 B.64 C.27 D.8〖答案〗B〖解析〗因为球表面积为，所以，解得，设正方体的棱长为，因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线，所以，即，所以.故选：B.10.若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数，，若在递增，则在恒成立，可得,解得，故选：D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题11.若，求圆心坐标为___________.〖答案〗〖解析〗由，可得圆的标准方程为，所以圆心坐标为.故〖答案〗为：.12.已知，则的最小值为_____________.〖答案〗6〖解析〗，，当且仅当时，取“”，所以的最小值为6，故〖答案〗为：613.函数的最小正周期是______．〖答案〗〖解析〗函数，最小正周期是.故〖答案〗为：.14.如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值为______.〖答案〗〖解析〗设正方体的棱长为1，在正方体中，平面，故在平面上的射影为，所以为直线与平面所成角，故.故〖答案〗为：.三、解答题15.已知数列等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.解：（1）设等差数列的公差为，则，即，所以，所以.（2）由（1）知，16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求a.解；（1）由正弦定理可得：，由知，可得，即，由知，.（2）由余弦定理可得：，解得.17.如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，且，.（1）求证：平面；（2）求点A到平面的距离.（1）证明：，，,，,，,又平面,平面.（2）解：设点A到平面的距离为，中边上的高为.在中，边上的高，所以，又,所以，即,所以，解得.即点A到平面的距离为.18.已知点，在椭圆上.（1）求椭圆C的离心率；（2）过点P的直线与椭圆的另一个交点为R，当（为坐标原点）的面积最大时，求直线的方程.解：（1）因为点，在椭圆上，所以，，所以，即，所以椭圆离心率.（2）设，如图，则，由在椭圆上可知，所以，所以当时，有最大值，此时或，所以直线的方程为或，即直线为或.19.已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）当时，，定义域为，，当时，，当时，，