2023届河南省高三上学期阶段性测试（四）数学（理）试题（解析版）

2023届河南省高三上学期阶段性测试(四)数学(理)试题

一、单选题

1.设集合A={x|-1VxV2},8={x[k>g4X<l},则()

A.{x|x<4}B.{x|-l<x<4}C.{x|0<x<2}D.{x|0<x<2}

【答案】B

【分析】根据对数函数的性质解得集合B,然后根据集合运算得解.

【详解】因为8={疝)<》<4},所以AU8={H-14X<4}.

故选：B.

■7T3

2.AABC的内角A8,C的对边分别是a,b,c,若4=”为=2,且AA3C的面积为则

62

c=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据三角形面积公式，即可求解.

【详解】因为品册=:必皿所以1x2cxsing=],解得c=3.

2262

故选：C

3.已知点〃在函数外切=卜3-8》-9的图象上，且在第二象限内，若〃x)的图象在

点用处的切线斜率为1,则点M的坐标为()

A.(—3,6)B.(—3,12)C.2,—D.(—2,13)

【答案】A

【分析】求出导函数/'*),设由尸(与)=1求得％(注意M点在第二象限)

即可得.

【详解】设点M(x°,%),因为"X)=-标―9,所以/'(x)=f-8,由x；-8=1,/<0,

得面=-3,又/(-3)=6,所以点M的坐标为(-3,6).

故选：A.

4.已知1兄仇。分别为AMC的内角A,8,C的对边，命题。：若/+从<c?,贝为

钝角三角形，命题4：若a<b,贝iJcosAvcosB.下列命题为真命题的是()

A.0A4B.pA(-.^)C.(-ip)A(->q)D.(-<p)vq

【答案】B

【分析】分别判断两个命题的真假，再根据选项判断复合命题的真假.

【详解】因为〃2+/<°2,所以cosC='「+'-L<0,则。为真命题.因为所以

2ab

A<B,又丁=8双在[0,句上是减函数，所以cosA>cos3,则4为假命题，只有pA([q)

为真命题.

故选：B

5.由三角形的三边。，尻c求出该三角形的面积S,在古代很长一段时间都是个困难的问

题.古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中证明了公式S=Jp5-a)(p-%)(p-c),

其中〃=；(a+6+c),这个公式叫海伦公式.现有一个周长为24的等腰三角形，其最长

边比最短边大6,则这个三角形的面积为()

A.2百B.36C.4D.8显

【答案】D

【分析】首先设等腰三角形底边长为。，讨论“是否为最短边，利用周长求出。，再代

入面积公式，即可求解.

【详解】设等腰三角形A8C的底边为〃，当。是最短边时，b=c=a+6,由3a+12=24,

得a=4,所以6=c=10,则S=J12x8x2x2=8几.

当。是最长边时，b=c=a—6,由3a—12=24,得a=12,所以。=c=6,

因为b+c=a,所以不能构成三角形.

故选：D

6.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是上，上，，则该三角形()

14105

A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在

【答案】C

【分析】根据三角形面积公式，得到。，仇。的关系，赋值得到。，"c的值，再根据余弦定

理判断三角形的形状.

【详解】设的内角A,8,C的对边分别是a也c,且。力,c边上的高分别为1,上」，

14105

111111“Sug.A100+25-196八

则n(l一a——=—b,—=—c—,令Aa=14,则8=10,c=5,所以cosA=------------------<0,

214210252x10x5

所以A为钝角，又力+。>々，所以该三角形是钝角三角形.

故选：C

(3〃-2)x-4a,x<1

7.已知函数/*)=log^MZl的值域为R,则实数。的取值范围是()

A-卜用B.卜I，2]C.（F-|）D.〔0,|J

【答案】A

【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为〃乂）=1。8/,工21值域为（3,0],

2

所以“x）=（3“-2）x-4a,x<l的值域应包含（0,+8）,所以判断出函数的单调性和

了（1）的正负，从而求出实数〃的取值范围

【详解】当X21时，/（工）=1叫尤,其值域为（fO],

2

当x<l时，f（X）=（3a-2）x-4a的值域应包含（0,+8）,所以/（x）为减函数，

2

所以3。-2V0,且（3a-2）xl-4。K（）,解得-24av§.

故选：A

8.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量y（升）关于行驶速

度X（千米/小时）的解析式可以表示为y=7TL》3一上X+9（0<*4120）.若甲、乙两

地相距200千米，当从甲地到乙地耗油最少时，汽车匀速行驶的速度是（）

A.70千米/小时B.80千米/小时C.90千米/小时D.100千米〃J、时

【答案】C

【分析】写出耗油量/（x）与行驶速度x的函数解析式，利用导数求解函数单调性，从

而可得函数的最小值.

【详解】当速度为X千米/小时，汽车从甲地到乙地需行驶出小时,

X

设耗油量为/（X）升，依题意得

1800

-8(0<x<120)

x

71Qnn

贝陵)"一三(°<12°)-

令/'(x)=0,得x=90,

当xe（O,9O）时，/'（x）<0,“X）是减函数，

当x«90,120）时,/（力>0,/（x）是增函数.

所以当x=90时，函数/（x）取最小值，

即汽车匀速行驶的速度是90千米/小时时，从甲地到乙地耗油最少.

故选：C

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中

重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意

义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；

已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）

考查数形结合思想的应用.

9.某干燥塔的底面是半径为1的圆面0,圆面有一个内接正方形ABCO框架，在圆。的

劣弧BC上有一点P,现在从点P出发，安装三根热管，则三根热管的长度

和的最大值为（）

A.4B.2#>C.3月D.26

【答案】B

【分析】设/尸4。=仇。€［（）,：］,利用辅助角公式表达出

I84|+|P8|+|PC|=2后sin（e+*）,从而求出三根热管的长度和的最大值.

TTTT

【详解】如图，连接BDDP,设立PAC=0,ee0,-,则N8DP==—。，

_4J4

可得：

\PA\+\PB\+\PC\=2cose+sin［：_q+sine=（2+血卜0$6+（2-&卜in6=2瓜in（6»+9）

,其中tans=3+2也所以（归川+归耳+^^濡=2后，

由。的范围可以取到最大值.

故选：B

10.已知函数〃x）=cos5M。>0）,将“X）的图象向右平移，-个单位长度后得到函

3d）

数g（x）的图象，点A、B、C是“X）与g（x）图象的连续相邻的三个交点，若AABC是

锐角三角形，则。的取值范围为（）

五

A.B.,+8D.(——总,+81

T,+ocI3)

【答案】D

【分析】求出函数g（x）的解析式，作出函数〃X）、g（x）的图象，设A、B、C为连续

相邻的三个交点，（不妨设B在x轴下方），。为AC的中点，求出|A。、\BD\,分析可

7F

知。“必“可得出关于。的不等式，解之即可.

作出函数“X）、g（x）的图象如下图所示:

设A、B、C为连续相邻的三个交点，（不妨设B在X轴下方），。为AC的中点，

27r2

由对称性可得AABC是以8为顶角的等腰三角形，所以|AC|=7=」=—=2|8|,

COTtCO

.（乃118.

由cosomx=cosantx——\=—COSCOTIX+——sina>7L¥,

I3J22

整理得cosCOTTx=百sinGjTx，所以tan6yirx=，

3

|2COS213,y/3

贝miUCOSTt(DX=——------------------=------------2--------=—,助•以，COS(OTTX=±——，

cos兀Gx+sinTICDX1+tan兀42

则以=九=』=¥，所以阿|=2必=6，

AD\1

要使AABC为锐角三角形，0<448£»<7:t，所以，tanNABO=-^=k<l,

4BD\V3t«

­/69>0,W-f#69>—.

3

故选：D.

11.已知函数f(x)=Lc若方程"(x)]2-243)+4=0有5个不同的实数解,

[2-2,x<0,

则实数。的取值范围为()

A.'ITB.冏C.卜|,臼D.加

【答案】A

【分析】首先画出函数/(x)的图象，再通过换元f=/(x),得产-2W+4=O,结合函

数的图象，利用根的个数，确定方程产一2〃+4=0根的分布，即可求解。的取值范围.

【详解】函数f(x)的大致图象如图所示，

令f=/(x)，则2/(x)+4=0可化为2川+4=0,因为方程

"(x)F—24(力+4=0有5个不同的实数解，所以*-2勿+4=0在(一5,-2),(-2,-1)上

各有一个实数解或/-2川+4=0的一个解为-1，另一个解在内或产-2"+4=0

的一个解为-2,另一个解在(-2,-1)内.

当*一2"+4=0在(-5,-2),(-2,-1)上各有一个实数解时,

g(-2)=8+4a<0,

设g(r)="-2川+4,则,g(-l)=5+2a>0,WW-1<«<-2

g(-5)=29+10a>0,

当20+4=0的一个解为-1时，。=-|，此时方程的另一个解为-4,不在(-2,-1)内,

不满足题意；

当*-2W+4=0的一个解为-2时，a=-2,此时方程有两个相等的根，不满足题意.

综上可知，实数〃的取值范围为卜，2).

12.已知函数/(x)=e，+e，-cos2x,若/(xj>/(々)，则()

A.7(幻为奇函数B./(外在(-8,0)上为增函数

C.X)2>XjD.e'L电>1

【答案】C

【分析】根据奇偶函数的定义，结合导数的性质、奇偶函数的单调性的性质逐一判断即

可.

【详解】因为/(--v)=e-'+e*-cos(-2x)=e'+e-'-cos2x=/(x),

所以/(x)为偶函数，故A错误；r(x)=e'-e-r+2sin2x,当03时，

xx

e-e->0,2sin2%>0,所以/'(x)20,当XN5时，

e^e->e^-e^>e-e-'>2,2sin2x>-2>所以/'(">()，所以“外在[。，+司上单调

递增，因为/(x)为偶函数，所以〃x)在(y,o)上为减函数，故B错误：因为

/(x()>/(x2),所以f(M)>/(|x2|)，又因为〃x)在[0,+8)上递增，所以凶>同，

即x：>x；,故C正确；显然％-x?>0不一定成立，则e—>l不成立，故D错误.

故选：C

【点睛】关键点睛：根据偶函数单调性的性质进行求解是解题的关键.

二、填空题

13.集合{R-l<x<3且xeN}的所有非空真子集的个数为.

【答案】6

【分析】首先求集合的元素个数，再根据公式求解.

【详解】因为{x|-l<x<3且XWN}={0,1,2},所以该集合的所有非空真子集的个数为

23-2=6.

故答案为：6

14.已知p:HxeR,ox?+2x+l<0,q:ae(l,+co),则-!P是9的条件.(在充

分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入)

【答案】必要不充分

【分析】首先根据题意得到一W：。21,从而得到(I，+8)M[I，««),即可得到答案.

2

【详解】:VxGR,ax+2JC+1>0,

当。=0时、2x+1>0,解集不是R,舍去，

当。工0时，Aud-daWO,解得

综上：-yp.a>\.

因为(1,+8)¥[1,+00),所以IP是夕的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分

15.在平面直角坐标系xOy中，将向量况=(6,-1)绕原点。按顺时针方向旋转］后得

O

到向量。耳=(小,〃)，则m+n2=.

【答案】4

【分析】求出方的模及对应的角，即可得旋转后的角，进而算出坐标.

【详解】设以x轴正半轴为始边，为终边对应的角为。(0„«<2n),

向量方绕原点。按顺时针方向旋转3后,

O

117C兀117C71

m=2cos1,n=2sin=-6，从而m+〃2=4・

-6__6~6__6

故答案为：4

g.+g)时，函数/(x)=j2q1_］nx和8。)=皿［2/-(2a+3)x+2］有意义,

16.当

则实数〃的取值范围是.

【答案】

c底

2ax-\nx>0,2a>—

【分析】函数有意义，则有』(2a+3)x+2>。,分离参数得,分别

2(74-31

--------<x+一

2x

讨论不含参数部分最值，即可确定。的取值范围

(\\2ax-\nx>0,

【详解】由题意知，当X七叼时，不等式组［212“+3)X+2>。成立•

对于2分—成>0,整理得2a>—,令〃(x)=号，则〃'(》)=三"，

当时，/Z(x)..O,/?(x)单调递增;xe(e,+oo)时，/Z(x)<0,/z(x)单调递减，所

以“(x)3=Me)=L则2。>,，解得a>!；

ee2e

对于2*―(2«+3)X+2>0,整理得竺2<X+L由于G(x)=x+，在仪,+oo］上的最

2xx<2)

小值为G⑴=2,所以(^<2,解得

综上可得9”最

故答案为:

三、解答题

17.已知集合U为全体实数集，M={x|x4-5或xN7},N=42a+l}.

⑴若a=4,求(电M)IN：

(2)若MuN=M,求实数〃的取值范围.

【答案】⑴(2M)CN={X|34X<7}

⑵(y,-2)u[8，+8)

【分析】(1)利用补集和交集的定义可求得结果；

(2)分析可知NqM,分N=0、NX0两种情况讨论，结合题意可得出关于实数〃

的不等式(组)，综合可得出实数。的取值范围.

【详解】(1)解：当a=4时，N={x|34x49},且即M={x|-5<x<7},

因此，@M)cN={x[34x<7}.

(2)解：因为=所以N=M.

当a-l>2a+l时，即。<-2时，N=0,此时满足N=A/,合乎题意;

当a-142a+l时，即aN-2时，N手0,

贝(1有2a+14—5或〃一127,即。4一3或。28,此时aN8.

所以实数。的取值范围为(-8,-2)=[8,+8).

18.AABC的内角4B,C的对边分别是〃,"c,且cos2A=-1.

(1)求sinA的值；

(2)当b=3,正sinB=sinA时,求兄。的长.

【答案】⑴手

a=35/2a=3^2

(2)或4

c=3\j3c=5/3

【分析】(1)根据二倍角公式计算可得.

(2)根据正弦定理得”=岳，所以a=3夜.由二倍角公式得cosA=土且，分两种情况

3

根据余弦定理得解.

12

【详解】(1)因为cos2A=l—2sin2A=-§,所以sin2A=§,

因为0<A<;r,所以sinA=.

3

(2)因为OsinB=sinA，所以4=yjlb，

又b=3,所以〃=3人.

1c

由cos2A=2cos~74—1=—1及0<A<,得cos/4=±—.

33

当cosA='^时，由/=+。2一2baosA,W18=9+c2-6cx—,化简得

33

C2-2^C-9=0,解得C=3G.

当COSA=-3时，由18=9+C2+6CX且，化简得/+2百c-9=0,解得c=G.

33

a=3-72a=35/2

所以厂或厂

c=3V3[c=>/3

19.时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势,

假设某网校套题的每日销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系

式丫=二+3(尤-6)2,其中2Vx<6,。为常数.已知当销售价格为5元/套时，每日可售

出53千套.

⑴求。的值；

(2)假设该网校的员工工资、办公损耗等所有开销折合为每套题3元(只考虑售出的套

数)，试确定销售价格x,使得该网校每日销售套题所获得的利润最大.

【答案】(1)100

(2)当x=4时，该网校每日销售套题所获得的利润最大

【分析】(1)根据题意得到再解方程即可；

5-3

(2)根据题意得到每日获得的利润/(x)=|"当+3(X-6)2]X(X-3),再利用导数求解

最大值即可.

【详解】(1)因为当x=5时，>=53,

所以£+3X(5-6)2=53,解得。=100.

(2)由(1)可知套题每日的销售量^=瞿+3。-6)，

x-3

所以每日获得的利润/(X)=瞿+3(X-6)2X(X-3)=100+3(X-3)(X-6)2(2<X<6),

X-J

从而/'(x)=9(x-4/x-6),(2<x<6).

令/'(x)=0,得x=4.

在区间(2,4)上,/'(x)>OJ(x)单调递增；

在区间(4,6)上，/'(x)<OJ(x)单调递减.

当x=4时，该网校每日销售套题所获得的利润最大.

20.函数〃力=村113+“4>0,0>0,|同音)的部分图象如图所示.

(1)求函数/(冷的解析式，并求出fW图象的对称轴方程.

(2)是否存在实数。，使得函数/(x)=/(x)-a在上恰有2023个零点？若存

在，求出〃和对应的〃的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴〃x)=sin(2x+.)，­«=y+^|(A：€Z)

(2)存在，当a=-l或a=l时，n=2023；当°=且时，n=1011

2

【分析】(1)由图可得7=兀，由周期公式可得由图可得。，/(x)的图象过点(2，1)可

得0,求出.f(x)的解析式可得对称轴方程；

(2)由(1)可得y=/(x)的图象与直线y="在上恰有2023个交点，

分“<-1或。>1、。=-1或a=l、-1<a<且或正■<a<1、°=且4寸论可得答案.

222

【详解】(1)由图可得A=1，93T=?57r—Wjr=137r,所以丁=臼2兀=兀,口=2,

46124co

因为/(x)=sin(2x+g)的图象过点信1｝所以2x?W+2E,ZeZ,

又倒<],所以9=1,则〃x)=sin(2x+g),

所求对称轴方程为2x+]=E+],即x=^+^(&€Z)；

⑵由(1)可得y=/(x)的图象与直线)，="在[0,〃矶〃eN*)上恰有2023个交点，且函

数y=〃x)的周期是n,当xe[0,句时,2x+|e|,y.

①当"-1或a>l时，卜=/(力的图象与直线丫="在[0,〃无](〃€1<)上无交点.

②当a=T或a=l时，y=〃x)的图象与直线y=a在［0,山上仅有一个交点，且在区间

((),兀)内部，根据周期性，在区间((4-1)兀,E］仕=2,3,…上各有一个交点.

此时y="X)的图象与直线y=。在［0,g］(〃WN')上恰有2023个交点，则〃=2023.

③当_1<”等或曰<"1时，y=/(x)的图象与直线y=a在［0,兀］上恰有2个交点,

且在区间((),兀)内部，根据周期性，在区间((Z-1)兀,阮］信=2,3,…川上各有2个交点.

故丫=〃尤)的图象与直线V=。在［0,〃矶〃eN")上有偶数个交点，不可能有2023个交

点.

④当a=#时，y=/(x)的图象与直线y=q在［0,句上恰有3个交点，

且三个交点的横坐标为士=0,x,=F，$=兀，根据周期性，在区间

(仕-1)兀,也］(左=2,3「..,〃)上各有2个交点.

由3〃—(〃-1)=2023,解得〃=1011,要使y=/(x)的图象与直线丫=。在［0,词(〃eN*)

上有2023个交点，此时〃=1011.

综上，当a=—l或”=1时，〃=2023；当.=正时，”=1011.

2

21.已知，*)是定义在R上的偶函数，S.fM=log2(2"+1)-kx,g(x)=/(x)+2x.

⑴求/(x)的解析式；

⑵若不等式g(4*-42+l)>g(-15)恒成立，求实数。的取值范围；

⑶设/2。)=丁-2如+5,若存在X|W［0,2］,对任意的超引1,4］,都有g(x),〃仁)，求

实数加的取值范围.

【答案】(l)"x)=log2(2'+l)-；x

⑵(e，8)

⑶y,2］

【分析】(1)利用偶函数定义可得参数值，从而/*)的解析式；

(2)易知g(x)在R上单调递增，逆用单调性化为具体不等式问题，参变分离求最值即

可；

(3)原问题等价于g(x)在［0,2］上的最小值不大于〃(力在［1,4］上的最小值.

【详解】⑴由题意知1%(27+1)+丘-1呜(2'+1)+履=0,

Q-X.111

BP-2fcr=log,1r^=-x,所以左=点故〃x)=k)g2(2'+l)-；x.

V

⑵由(1)知，(x)=/(x)+2x=log2(2+1)4--x,易知g(x)在R上单调递增,

所以不等式g(4'•2、1)>g(-15)恒成立，等价于4"一〃2+1>-15,

即。<£坐恒成立.

2X

又£±^=2、+3..8,当且仅当x=2时，等号成立，

2X2X

所以a<8,即实数。的取值范围是(-8,8).

(3)因为存在640,2］,对任意的占©［1,4］,都有8(4),,人(々)，

所以g(x)在［0,2］上的最小值不大于Mx)在［1,4］上的最小值.

因为g(x)=log2(2，+l)+；x在［0,2］上单调递增，

所以当X€［0,2］时，g.t=g(o)=1.

/i(x)=x2-2mx+5图象的对称轴方程为x=〃?,xw［l,4］,

当血,1时，刈力在［1,4］上单调递增，〃(幻而„=刈1)=6—2帆.1,解得〃?,，|,

所以"4,1;

当1<m<4时，在［1,4)上单调递减,在［风4］上单调递增,

=h(m)=5-m2.A,解得1<;%,2；

当机.4时，〃(x)在［1,4］上单调递减，〃(x)而_=/?(4)=21—解得科，|,

所以加€0.

综上，实数机的取值范围是(—,2］.

22.设函数/(x)=(x+l)ln(x+，”)-〃(x2+x),其中肛〃eR.

(1)当加=〃=1时，求〃x)的极大值；

(2)若不等式/(x),,0在区间0+8)上恒成立，证明:en-m..l.

【答案】(1)极大值为0

(2)证明见解析

【分析】(1)两次求导，分析导函数的单调性，即可得到/(x)的极大值;

(2)不等式/(。，0在区间［0,+8)上恒成立，即不等式ln(x+m)-砧,0在区间［0,+8)上

恒成立，设Mx)=ln(x+m)-nr(x..O),研究函数的单调性，求出函数的最值，即可做

出判断.

【详解】⑴当"="=1时