2023高考数学二轮复习训练《对数函数》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《对数函数》

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1.（5分）下列四类函数中，有性质“对任意的x>0,y>0,函数f（x）满足出x+y）=f（x）f（y）”

的是（）

A.幕函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数

2.（5分）某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.

已知该动物的数量y（只）与引入时间化（年）的关系为y=alog2（x+1）.若该动物在引入一

年后的数量为100,则在引入7年后，它们的数量为（）

A.300B.400C.600D.700

3.（5分）若log2。+1。。坨=2,则有（）

2

A.Q=2bB.h=2aC.a=4bD.b=4a

<0

4.（5分）设函数f（x）=f一,则f（—3）+/（log23）=（）

I22x1,x>0/

C.—D.10

2

5.（5分）已知2工=3〃=5z=k,且三+三+三=1,贝味的值为（）

xyz、,

A.40B.30C.20D.10

6.（5分）三个数0.993.3,Iog3mlog20.8的大小关系为（）

A.Iog3兀V0.993.3Vlog20.8

B.Iog20.8<log37t<0.993.3

C.0.993.3<log20.81Vog3兀

D.Iog20.8<0.993.3<log37i

7.（5分）设.=而（2015兀—》，函数/（乃=[/}[；?'0,则/。。82》的值等于（）

A-B.4C.-D.6

46

8.（5分）某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得

超过原污染物总量的0.5%,已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与

过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P=P0.e一?（尸。为原污染物总量）,要能够按规

定排放废气，则需要过滤几小时，则正整数九的最小值为（参考数据：取ln5=1.609,

ln2=0.693)

A.13B.14C.15D.16

9.(5分)已知函数y=lg(x+1)+3,(x>-l)则反函数为()

A.y=10x-3+l(x>3)B.y=10x-3+l(xeR)

C.y=lOx-3-1(xeR)D.y=lOx-3-1(x>3)

10.(5分)已知a=log42,b=log63,c=lg5,则()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

11.(5分)对于任意实数x,符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数,

例如[2]=2；[2.1]=2；[22]=-3,这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实

践中有广泛的应用.那么[Iog21]+[log22]+[log23]+…+[log264]的值为()

A.21B.76C.264D.642

12.(5分)已知集合4={0,1,234,5},B={x|lgx则AnB=()

A.{1,2}B.{1,2,3)

C.{0,1,2,3}D.{0,1,2,34,5}

二、填空题(本大题共5小题，共25分)

13.(5分)设2Vx<3,则ex与InlOx的大小关系为.

14.(5分)已知函数/'(X)=llog/x-aH1),若与<%2<%3<%4，且/'(刀1)=

/'(*2)=/(%3)=/(工4)，则++£+£+j=-----------

x2x3x4

15.(5分)若函数f(x)=ax(a>0,且存1)的反函数图象过点(2,1),则a的值

为.

16.(5分)设1吗5=a,则51g2+21g5=.(用字母a表示)

17.(5分)设f(x)=log2x,贝!|f(410)=.

三、解答题(本大题共6小题，共72分)

X

18.(12分)已知集合4={x|3<3<27},B={x|l<log2x<2}.

(1)分别求4C8，(CRB)UA；

(2)已知集合。={x|2a<x<a+2},若CU4求实数a的取值范围.

19.(12分)已知函数f(x)=log4(2x+3-x2)，

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求f(x)的值域.

20.(12分)(1)设0<a<l,0<0<^,%=(sinO)1O8«sin0,y=(cos0)log«,an0,KiJx,y的大小关系

为

(2)已知对xeR,当b>0时acosx+dcos2x>-1恒成立,求(a+b)max.

21.(12分)已知函数f(%)=33/(x)的反函数是/T(X).

(1)当xe[1,9]时，记g(x)=[fT(x)]2-+2,试求g(x)的最大值；

(2)若/T(54)=a+3,且八(x)=#-3ax的定义域为[—1,1]，试判断九。)的单调性；

(3)若对任意向《[-1,1],存在必€[-1禹，使得/(不)一小=九。2)，求m的取值范围.

22.(12分)已知函数/'(x)=Inx,g(x')=kx.

(图)当x>1时，比较f(x)与岬子的大小；

(团)若/(%)与g(%)的图象有两个不同的交点4(%1，%),8(%2，、2)，证明：xix2>g2-

23.(12分)(1)化简求值：log工何+恒25+怆4+7-%2+(_0.98)°；

3

(2)已知3。=5b=且[+[=2,求实数m的值.

四、多选题（本大题共5小题，共25分）

24.（5分）已知函数f（x）=函ga（l-x），（a>0,a*1）,下列关于/'（x）的说法正确的

是（）

A.定义域是（一8,1）B.值域是R

C.图象恒过定点D.当a>l时，在定义域上是增函数

25.（5分）如图，某湖泊的蓝藻的面积y（单位：巾2）与时间士（单位：月）的关系满足y=

出，则下列说法正确的是（）

A.蓝藻面积每个月的增长率为100%

B.蓝藻每个月增加的面积都相等

C.第6个月时,蓝藻面积就会超过60m2

D.若蓝藻面积蔓延到2m2,3m2,6n所经过的时间分别是打，1?，打则一定有

t]+12=匕

26.（5分）三个变量为，y2,丫3随变量x变化的数据如下表:

X051015202530

必51305051130200531304505

及5901620291605248809447840170061120

%5305580105130155

则下列说法正确的是().

A.乃关于x呈“抛物线型”增长

B.y?关于％呈"指数型''增长

C.y3关于%呈线性增长

D.%的增长速度最快

27.(5分)已知a>b,则()

11

A.ln(a2+1)>ln(62+1)B.加>bW

c.2D.(y<(y

28.(5分)已知a>0,b>0,且2a+8b=1,则()

A.3a_4b>YB.Va+2V6<1

C.log2a+log2b<-6D.a2+16b2G

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】根据题意，要求找到符合“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y尸f(x)f(y)”

的函数；

分析选项可得，A,D不符合f(x+y)=f(x)f(y),

只有C中，对于指数函数有：ax+y=ax«ay,成立；故答案为：C。

2.【答案】A;

【解析】

此题主要考查函数在生产生活中的实际应用，属于基础题.

将x=1,y=100代入y=alog2(x+1),得a=100,由此能求出结果.

解：将x=l,y=100代入y=alog2(x+1)中，

得100=alog2(l+1),解得a=100.

则y=1001og2(x+1),

所以当x=7时，y=1001og2(7+1)=300,

故选4

3.【答案】C;

【解析】

该题考查了对数的运算性质，是基础题.

直接由对数的运算性质计算得答案.

解：lowa+log工匕=2,

2

得1。。2(；)=2,即a=4b.

故选：C.

4.【答案】B;

【解析】解：根据题意，函数/(%)=，祟LV°,

/(一3)=log24=2,

/(log,3)=22脸3-1=2,

则f(_3)+/(Iog23)=2+[=£；

故选：B.

根据题意，由函数的解析式求出/(-3)和/(log2?)的值，相加即可得答案.

此题主要考查分段函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题.

5.【答案】B;

【解析】解：2X=3y=5Z=k,且**5=1,

xyz

x=log2fc,y=log3/c,z=log5/c,

++=

"xyzbg"2+bg"3+砥5=logk30=1,

解得k=30.

故选：B.

推导出％=log2k,y=log3/c»z=log5/c,从而:+j+}=log^Z+logk3+log”=

logfc30=1,由此能求出k.

该题考查实数值的求法，考查指数函数、对数函数的性质、运算法则等基础知识，考

查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

6.【答案】D;

【解析】解：；0<0.9933<1,1。费兀>1,1O520.8<0,

33

/.lo520.8<0.99<lo^37t.

故选：D.

7.【答案】C;

【解析】此题主要考查求分段函数的函数值，利用诱导公式化简求值，对数的运算，

关键是由诱导公式求出a的值.

由诱导公式化简可得a=sin^=；,从而可得函数/(“)={(界户>°,根据对数运算

62/(-%),%<0

法则，代入计算即可.

解：a=sin(2015兀--)=sin-=

6’62

・・•即)=闾:乞=牌;><。°

111.1

10g6A

/(log2g)=/(-log2-)=/(log26)=(-)2=

8.【答案】D;

【解析】

此题主要考查函数模型的应用，属于基础题.

由题意，得就Po^Po.e-久解得t》15.891,即可得正整数ri的最小值为16.

解：由题意，因为P=PQ.e,所以］京°P0)P0,e,

所以工》eT,In工》一二3

100010003

?>In詈=ln200=ln(52x23)=21n5+31n2=5.297,

所以t>15.891,

故正整数ri的最小值为16,

故选D.

9.【答案】C;

【解析】解；Vy=lg(x+1)+3,(x>-l),

・・・X+l=10y-3(y£R),

.•.x=10>-3-l,(yeR),

J函数y=lg(x+1)+3,(x>-l)则反函数为：y=10x<l(xeR).

故选C.

10.【答案】A;

【解析】解：a=log42=

x

~T_

,b=lo,g63>log63=

x

T

c=lg5>

工

~2

又b-c=lo^63-lg5=

Ig3-(l-lg2)(lg2+lg3)

lg6

J_______

5

lg6<0,

；.b<c,

故a<b<c,

故选：A.

11.【答案】C:

【解析】解：•••[10921]=。，[1。。22]到[1。出3]两个数都是1，[1。。24]到[1叩27]四个数都

是2,[10928]到口物均八个数都是3。0比16]到口。出31]十六个数都是4皿0见32]到

[1。。263]三十二个数都是5,[log264]=6，

=+

...[1。。2l]+flo522]+[lo^23]+[lo524]+...+[lo,g264]01x2+2x4+3x8+4x16+5x32+6=264

故选C.

12.【答案】B;

【解析】

此题主要考查了交集及其运算，以及对数不等式，属于基础题.

解不等式求出集合B,再由交集运算得答案.

解：因为集合4={0,123,4,5},B={x|lgx<1}={x|0<x<V10},

所以4nB={1,2,3}.

故选B.

13.【答案】ex>lnlOx;

【解析】解：设y=f(x)=ex-lnlOx,且2VxV3,

：.P(x)=ex-

x

x

>0,

：.f(x)在2VxV3时是增函数；

：.f(2)<f(x)<f(3)；

又f(2)=e2-ln20>0,

f(3)=e3-ln30>0,

：.f(x)>0；

.*.ex>lnlOx.

故答案为：ex>lnlOx.

14.【答案】2;

【解析】解：不妨设

则令/'(%)=|loga|x-1||=6>0,

则log/x-1|=b或log/x-1|=-b；

b=bb

故％1=—a+1,x2—a-。+1，x3=a~4-1,x4=a+1,

故—=2

r^b,

2b

x2x3l-a-*

故三+三+三+三=/_+-_

“乂XiTX2T*3十％1-a2bT1-a-2b

=212a2b=„

-l-a2ba2t--l-；

故答案为：2.

b

不妨设a>l，令/'（x）=llog/x—hl=从而可得%]=—a"+1,x2=—a~+1,

bb

x3=a~+1,x4=a+1>从而解得.

该题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算.

15.【答案】2;

【解析】解：因为函数f（x）=ax（a>0,且际1）的反函数图象过点（2,1）,

所以函数f（x）=ax（a>0,且存1）的图象过点（1,2）,

则a1=2,所以a=2.

故答案为2.

16.【答案】若；

a+1

【解析】解：根据题意，log25=a,则日=@,变形可得岩=a,

解可得lg2=*p贝！|lg5=1—lg2='二,

故51g2+21g5="-+=-=

bba+la+la+1

故答案为：等.

a+1

根据题意，由换底公式可得冷=。，变形可得牛=a,由此求出lg2和lg5的表达式,

计算可得答案.

此题主要考查对数的运算，注意对数运算性质的应用，属于基础题.

17.【答案】20;

【解析】W：Vf(X)=1052X，

Af(4,0)=log2(410)

=log2(220)

=20.

故答案为：20.

18.【答案】解：(1)因为A={x|343、427}={x|l<x<3},

B={x[l<log2x<2}={x|2<%<4},

CRB=\left{x|x42或x》4},

所以4nB={x|2<%<3},

从而(CRB)U4={x|x<3或x>4}；

(2)当2a》a+2,即a>2时C=□,

此时CU4符合条件；

当2a<a+2,即a<2时，C羊口，

2a

要使CU4,只需J1即:《a4l,

故实数a的取值范围是{a|a>2或:《a41}.;

【解析】此题主要考查交、并、补集的混合运算，集合关系中的参数取值问题，涉及

指数、对数不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题.

(1)先解得4B,集合的运算法则可得4CB,(CRB)UA；

(2)由集合C={x|2a<x<a+2},按C=口,C。□讨论可得.

19.【答案】解：⑴•.,2X+3-/X).

.,.-l<x<3.

二函数f(x)的定义域为(-1,3).

(2)令t=2x+3■•久2,则函数t在(-1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减.

：y=l。。4t在(0，+8)单调递增.

函数f(x)在(-1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减.

(3)由(2)的单调性可知，当x=l时，函数f(x)有最大值1,此时x=l.

函数的值域为(-00,1];

【解析】(1)由题意可得2x+3-/>o,解不等式可求函数f(x)的定义域

(2)要求函数的单调性及单调区间，根据复合函数单调性，只要求解t=22x+3-/在定

义域内的单调区间即可

(3)要求函数f(x)的最大，只要求t=2x+3--最大值，进而可求函数的值域

20.【答案】x<y;

【解析】解：(1)O<0<pX=(sinO)l%sine,y=(cosO)logatane,

•••1崂°=I嘀wbg器=嘀积

•.•(Iog^0)2-log^.log7e

=log”•logjn0_log0log：°+畸曲Tog*

=log**-log卷+(log片炉,

v0<a<l,0<0<-,

4

.・Jog”>0,log->0，

.­.(log^)2>log：n0-log70,

：•x<y；

故答案为：%<y.

(2)由题意知:QCOSX+bcos2x+1

=acosx+b(2cos2x—1)+1

=2bcos2%+acosx+1—b,

令cos%=t,tE[—1,1],则当/(£)=2bt24-at+1—ft>0时，t6[—1,1]恒成立,

①当b>l时,/(0)=l-6<0,不满足/(t)=2b£2+at+l—b>0,亡€[-1,1]恒成立;

②当0<b<1时，则必有4当瓷甘片]/nrV；J=laYb+1(*)，

(i)当对称轴t=一余£时，即|余|》1,也即同》4b时，有4b4|a|《b+l,

则则|a|4b+l《£则a+b4g,

当a=£匕=[时，(a+b)max=|：

(ii)当对称轴1=一奈€[-1,1]时,即|亲|41，也即|a|44b时,

则必有/=a2-8b(l-6)<0,即a248b(1-b)=8b-8b2,

又由(*)知4(b+1)2,

则由于(b+I)2-(8b-8b2)=9/72_6b+1=(3b-l)2>0,

故只需a?48b-8b2成立即可，问题转化为a?48b-8炉成立的条件下，求a+b的最

大值，

把条件配方得：y+4(b-i)2<l,

a—V2rcos0

,1+rsinO»(04厂(1),

b=-------

{2

・•・a+b=V2cos04-4--=-rsin(0+□)+-<-+-<2,

222'7222

•••(Q+b)max=2.

(1)结合指数函数的性质采用作差法判断即可；

(2)变形得：acosx+hcos2x+1=2bcos2%+acosx4-1—6,令cos%=t,tE[—1,1],

则当/(£)=2bt2+at+1-h>0时，t6恒成立，分fr>l,0<b<1两种情况讨

论：b>l时易判断不成立；0<b<1时可得f(l)>0,/(-I)>0,由此可得⑷<b+

1(*),通过讨论对称轴的范围，结合二次函数的性质求出即可.

该题考查两角和与差的三角函数、正弦函数的值域、函数在闭区间上的最值及恒成立

问题，考查分类讨论思想，考查三角换元法求函数的最值，综合性强，能力要求高.

21.【答案】解：(1)由题知fT(X)=10^3x(x>0)

2

，y=g(x)^\og3x-2\og3x+2,但，1WXW3.

令tUogx,则td[0,1],

此时y=t2-2t+2,易知当t=0时，ymax=2,即f(x)max=2.

XX

(2)由/T(54)=a+3知,a=loa32,Ah(x)=4-2,xG[-l,1].

h(x)=(2X)2-2x=(2z-|)2-i.2xe[1,1].

：.h(x)在xd[-l,1]上单调递增.

(3)设y=f(x)-m的值域是M,y=h(x)的值域是N,

则M=gm,3-m],N=fh(-1),h(1)]=[-l,2],依题意，MUN.

->3-m<2,解得mG0.即m的取值范围是mG0.;

34

【解析】

(1)由题知广1(%)=log3x(x>0),可得:y=g(x)=log：%-21og3x+2,x满足

通过换元利用二次函数的单调性即可得出.

11&xz&y

(2)由/T(54)=a+3知，a=log32,可得/i(x)=4%—2",xW[―1,1],因此/i(x)=

(2x-i)2-i,2、eg,1].利用二次函数与复合函数的单调性可得：/i(x)在Xe上

单调性.

(3)设y=f(x)-m的值域是M,y=h(x)的值域是N,可得M=[1-Tn,3-zn],N-

[/i(—1),h(l)]=[—1,2],由题意，M£N,可得，一rn》—•；，3—m42,解出即可得出.

该题考查了反函数的求法及其性质、方程的解法、对数函数与二次函数的单调性、集

合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

22.【答案】(团)解：令/i(x)=/(%)-口=1.说土

X+1X+1

则用)=台品=箭>°,

・•・/i(x)在％>1时是增函数，/i(x)>九(1)=0,即Inx>之二1)

•,必)>空

(0)证明：不妨设%2<%1，则卫>1，

x2

由题设可知ln%i=kxlflnx2=由2,

一

•.•Ku—ln=i+ln%2—_ln%i-lnX2,

必+42%I-%2

2(,一D_2(不一小)

由的结论知

(1)ln%i—lnx2=In—x>

2xt+x2

•••*+*=篝X(哂-%)>强x*=2,

・•・%1%2>e2.；

【解析】此题主要考查了函数与方程的应用，利用导数求函数的单调性，考查了不等

式的证明，考查了对数的运算性质，属于中档题.

(团)令九(x)=f(x)-笺F=lnx-§^,求出〃(x),根据九(乃的单调性可得答案；

(@)不妨设不<尤「则辽>1，根据条件可知k=必巫=gX,利用(团)中的结论

X24]+%2xl~x2

和对数的运算性质可得山石-lnx2>巡「辿，从而证明In/+lnx2>2,故可证与外>

%1+%2

23.【答案】解：(1)原式=log3-i31lg(25x4)+2+1=-|+2+2+1=：.

(2)V3a=5b=m,.\aT0g3m,b=logsm.

：Aogm3+\ogm5=2,

log3nll04J5m

m2=15,X'«'m>0,

.,.m=V15.;

【解析】

(1)利用对数的运算性质求解.

(2)先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解.

此题主要考查了对数的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，是基础题.

24.【答案】ABC;

【解析】

此题主要考查了对数函数的定义域、值域、单调性、，及对数函数的图象，属于基础

题.

解：由l-x>0,得x<l,故4正确；

由对数函数的性质知B正确；

令1一%=1,得％=0,则/(0)=1,即/(%)的图象恒过定点(0,1),故C正确；

由复合函数的单调性知当a>1时，f(x)在定义域上是减函数.

25.【答案】ACD;

【解析】

此题主要考查函数模型的选择和应用问题，属于中档题.

仔细观察图形，结合图形读出过的定点进而确定函数解析式，结合所给月份计算函数

值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断，。选项要充分结合对数运算的运算

法则进行计算验证.

解：由题意可知：浮萍蔓延的面积(m?)与时间(月)的关系：y=a，(a>0且a羊1),且

由函数图象可知函数过点(1,2),

加=2,二a=2,•••这个指数函数的底数是2,可知浮萍每月的增长率为100%,4正

确；

二函数的解析式为：y=23

对于B,浮萍一月增加的面积与浮萍二月增加的面积不相等，B不正确；

对于C,当x=6时，y=26=64>60,故第6个月时，浮萍的面积就会超过6062,

成立，故C正确；

对于。，由于：2=2/，3=2々，6=26，

•••tx=1,t2=log23,13=1吗6，

又因为1+log23=log22+log23=log22X3=log26,

...浮萍蔓延到2m2,37n2,6nI?所经过的时间匕，t3,满足+匕=13成立，故。正

确.

故选：ACD.

26.【答案】ABC;

【解析】

此题主要考查函数模型的应用，对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，属

于基础试题.

对于ABC,由表中数据的增长规律及基本函数增长模型可判定；对于0,由x从0到5变

化时％的增长速度比先的增长速度更快可判定.

解：由表中数据可知：

对于4,变量％随变量x增加