2023虹口区数学一模试卷高三（含解析）

2023虹口区数学一模试卷高三

一、单选题(本大题共4小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知p:sinx=siny,q:x=y,则p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.已知双曲线x2a2-y2b2=l(a>0,b>0)的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程为()

A.y=±3xB.y=±2xC.y=±2xD.y=+x

3.函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且对于任意的xl#x2,都有f(xl)-f(x2)xl—x2〈l

成立.如果f(m)>m,则实数m的取值集合是()

A.｛0｝B.｛m|m>0)C.｛m|m<0｝D.R

4.已知数列｛an｝满足al+a2+…+an=n(n+3),nGN*,则an=()

A.2nB.2n+2C.n+3D.3n+l

二、填空题(本大题共12小题，共54分)

5.不等式|2x+l1+|x—l|<2的解集为_

6.函数f(x)=x+9x(x>0)的值域为.

7.函数f(x)=sinx+cosx(xWR)的最小正周期为.

8.若an为(l+x)n的二项展开式中x2项的系数，则n—+<»limann2=.

9.在所有由1,2,3,4,5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出

的数是奇数的概率为.

10.若实数x,y满足x+yW4yW3xy》0,则2x+3y的取值范围是.

11.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=l,|a+b|=3,则|a—b|=.

12.已知椭圆C：x29+y2b2=l(b>0)的左、右两个焦点分别为Fl、F2,过F2的直线交椭圆C

于A,B两点.若△FIAB是等边三角形，则b的值等于.

13.已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,公比q>L且a2+l为al与a3的等差中项，S3=14.

若数列｛bn｝满足bn=log2an,其前n项和为Tn,则Tn=.

14.已知A,B,C是AABC的内角，若(sinA+LcosA)(sinB+i-cosB)=12+32i,其中i为虚数

单位，则C等于.

15.设aWR,k£R,三条直线11：ax—y—2a+5=0,12：x+ay—3a—4=0,13：y=kx,则11与

12的交点M到13的距离的最大值为.

16.设函数f(x)=x2-l,x》a|x-a—1|+a,x<a,若函数f(x)存在最小值，则a的取值范围为

三、解答题(本大题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题14分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD，底面ABCD,M为BC的中点，PD=DC=1,直线PB与

平面ABCD所成的角为n6.

⑴求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)求异面直线AM与PC所成的角的大小.

18.(本小题14分)

已知函数f(x)=3x+b3x+l是定义域为R的奇函数.

(1)求实数b的值，并证明f(x)在R上单调递增；

(2)已知a>0且a#l,若对于任意的xl、x2e[l,3],都有f(xl)+322ax2-2恒成立，求实

数a的取值范围.

19.(本小题14分)

如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(3x+4>)+b.

(1)求这一天6〜14时的最大温差；

⑵写出这段曲线的函数解析式.

20.（本小题16分）

已知抛物线C：y2=2px（p〉0）的焦点为F,准线为1,记准线1与x轴的交点为A,过A作直线

交抛物线C于M(xl,yl)，N(x2,y2)(x2>xl)两点.

(1)若xl+x2=2p,求|MF|+|NF|的值;

（2）若M是线段AN的中点，求直线MN的方程;

（3）若P,Q是准线1上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上?

请说明理由.

21.（本小题18分）

单调递增的等比数列｛an｝满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.

⑴设bn=n-an,求数列｛bn｝的前n项和Sn；

⑵若⑴中Sn满足（n-D2Wm（Sn—n-l）对于n22恒成立，求实数m的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查必要不充分条件的判断，属于基础题.

【解答】

解：充分性：当sinx=siny时，例如x=0,y=n,推不出x=y,充分性不成立；

必要性：当x=y时，sinx=siny,必要性成立，即p是q的必要不充分条件.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查双曲线渐近线方程和性质，属于基础题.

【解答】

解：由双曲线x2a2-y2b2=l(a,b>0)的离心率为2,

可得ba=L.•.双曲线的渐近线方程为y=±x.

3.【答案】B

【解析】解：令g(x)=f(x)-X,

因为f(x)为奇函数，

所以g(x)为R上的奇函数，不妨设xl<x2,

由f(xl)—f(x2)xl—x2<l成立可得f(xl)-f(x2)〉xl-x2,

即f(xl)—xl>f(x2)—x2,

所以晨xl)>g(x2),即g(x)在R上单调递增，

由f(m)>m得g(m)>0=g(0),

所以m>0.

故选：B.

结合己知可构造函数g(x)=f(x)-x,然后判断函数g(x)的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性

即可求解.

本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查数列的通项an与前n项和的关系，属于基础题.

【解答】

解：Val+a2+-"+an=n(n+3),当n=l时，al=4,

当n22时，an=n(n+3)—(n-1)(n+2)=2n+2,

n=l时，al=4也适合此式，an=2n+2.

5.【答案】(-23,1)

【解析】解：由2x+l=0,得x=-12；由x-l=O,得x=l.

①当xel时，原不等式转化为：2x+l+x-l=3x<2,解得x〈23,无解；

②当—12Wx〈l时，原不等式转化为：—2x—1+x—1——x—2<2,解得x>—4,—12Wx〈l.

③当x<-12时，原不等式转化为：-2x-l+l-x=-3x<2,解得x>-23,.•.-23<x<-12.

综上所述,不等式12x+l|+1x-l|<2的解集为一23<x<l.

故答案为：(—23,1).

利用零点分段讨论法能求出不等式|2x+l|+|x-l<2的解集.

本题考查含绝对值不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，仔细解答，注意零点分段讨论

法的合理运用.

6.【答案】［6,+8)

【解析】解：因为x>0,

所以f(x)=x+9x22x-9x=6,当且仅当x=3时取等号，

所以函数的值域为［6,+8).

故答案为：［6,+8).

由已知结合基本不等式即可直接求解.

本题主要考查了基本不等式在求解函数最值或值域中的应用，属于基础题.

7.【答案】2页

【解析】解：因为：f(x)=sinx+cosx=2sin(x+n4)

所以：T=2n1=2it.

故答案为：2”.

先利用辅助角公式对函数进行整理，再结合函数丫=人5门(3*+e)的周期公式即可得到结论.

本题主要考查函数的周期公式.函数y=Asin(3x+6)的最小正周期为：T=2n|w|.

8.【答案】12

【解析】解：展开式中含x2项的系数为Cn2=a2=n(n—1)2>

所以n-001imann2=n^-001imn(n—1)2n2=n-12n=n-0°liin(12—12n)=12,

故答案为：12.

根据二项式定理求出a2,然后根据极限的运算性质即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，涉及到极限的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题.

9.【答案】35.

【解析】解：由1,2,3,4,5这五个数字组成的无重复数字的五位数共A55=120种，组成的数

是奇数共C31A44=72种，

所以，取出的数是奇数的概率72120=35.

故答案为：35.

先计算由1,2,3,4,5这五个数字组成的无重复数字的五位数的总情况数，再计算组成的数是

奇数的情况数，最后利用古典概型公式计算即可.

本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.

10.【答案】[0,11]

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

联立y=3xx+y=4,解得A(1,3),

令z=2x+3y,作出直线2x+3y=0,

由图可知，当直线2x+3y=0过0时，z有最小值为0,

平移直线直线2x+3y过A时，z有最大值为2X1+3X3=11.

；.2x+3y的取值范围是[0,11].

故答案为：[0,11].

由约束条件作出可行域，令z=2x+3y,数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答

案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

11.【答案】7

【解析】解：,••|a+b|2=a2+b2+2a・b=5+2a・b=3,

/.a-b=—1,

|a-b|=a2+b2-2a-b=4+1+2=7.

故答案为：7.

对|a+b|=3两边平方即可求出a-b的值，然后即可求出|a-b|=(a-b)2的值.

本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题.

12.【答案】6

【解析】解：过F2的直线交椭圆C于A,B两点，设|AF2|=m,

BF2|=n,由椭圆的定义可得|AFl|=2a—m,|BFl|=2a—n,

又因为AFIAB是等边三角形可得|AFI|=|BF1|,

所以可得2a—m=2a—n,可得m=n,即AB_Lx轴，

可得m=b2a=33-2c,

而由椭圆的方程可得a=3,c2=a2—b2-9—b2,

解得：b2=6,解得b=6,

故答案为：6.

设|AF2|,|BF2|,由椭圆的定义可得|AFII，|BF1|的表达式，再由aFIAB是等边三角形可得AB

_Lx轴，可得A的纵坐标，进而可得a,b,c的关系，再由a,b,c之间的关系求出b的值.

本题考查椭圆的性质的应用及等边三角形的性质的应用，属于中档题.

13.【答案】n(n+l)2

【解析】解：由题可得，2(alq+l)=al+alq2al+alq+alq2=14,而q>L解得：al=2q=2,

所以an=2n,即bn=log2an=n,

所以Tn=n(n+1)2.

故答案为：n(n+l)2.

先根据等比数列｛an｝的前n项和的基本量的计算求出an,即可得到数列｛bn｝的通项公式，再根据

等差数列的前n项和公式即可解出.

本题考查了数列的通项公式和求和公式，属于基础题.

14.【答案】兀3

【解析】解：(sinA+icosA)(sinB+icosB)

=sinAsinB+sinAcosBi+sinBcosAi-cosAcosB

=—(cosAcosB-sinAsinB)+(sinBcosA+cosBsinA)i

=-cos(A+B)+sin(B+A)i

=cosC+sinCi=12+32C,

・・・C是4ABC的内角，

.\C=JI3.

故答案为：Ji3.

根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查三角函数的恒等变换，以及复数的四则运算，属于基础题.

15.【答案】5+2

【解析】

【分析】

本题考查了圆的轨迹方程，考查了转化思想.

根据直线11,12的方程易知11_U2,而直线11,12分别过定点A,B,所以11与12的交点M

在以AB为直径的圆上，直线13过定点(0,0),即可利用圆心到(0,0)的距离加半径解出.

【解答】

解：因为aXl+(-l)Xa=0,所以

而直线11：ax-y-2a+5=0即a(x—2)—y+5=0过定点A(2,5),

12：x+ay—3a—4=0即x—4+a(y-3)=0过定点B(4,3),

所以11与12的交点M在以AB为直径的圆上，

可求得圆心为(3,4),半径为2,方程为(x—3)2+(y—4)2=2,

因为13：y=kx为过原点的直线，

所以M到13的距离的最大值为(3-0)2+(4-0)2+2=5+2.

故答案为：5+2.

16.【答案】［-2,2］

【解析】解：当x〈a时，函数f(x)=|x-a-11+a=a+l—x+a=-x+2a+l,

函数f(x)在(-8,a)上单调递减，

则f(x)>f(a)=a+l,

当a20时，函数y=x2—1在［a,+8)上单调递增，

则y2a2—1,

：f(x)存在最小值，

，a+l2a2-l,化简可得一lWaW2,

„0,

；.0WaW2,

当a〈0时，函数y=x2-l在［a,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故当x=0时，函数y=x2-l有最小值为02-1=-1,

存在最小值，

♦,.a+l，-1,故a2—2,而a<0,所以—2Wa<0,

综上所述：—2WaW2,

故a的取值范围为[-2,2].

故答案为：1-2,2].

根据分段函数的单调性分类讨论，即可求解.

本题主要考查分段函数的应用，考查分类讨论的思想，属于中档题.

17.【答案】解：⑴；PDJ_底面ABCD,

二直线PB与平面ABCD所成的角为/PBD=n6,

又PD=1,；.DB=3,i

又底面ABCD是矩形，且DC=1,，BC=2,匕

四棱锥P-ABCD的体积为13X2X1X1=23；

(2)取AD的中点N,连接NC,NP,又M为BC中点，

AN=DN=MC=22,且AN//MC,

•••四边形AMCN为平行四边形，

.,.AM//NC,

直线AM与PC所成的角即为NC与PC所成的角，

即直线AM与PC所成的角为/PCN=6或其补角，

又NP=NC=12+1=32,又PC=1+1=2,

Acos9=12PCNC=2232=33,

9=arccos33>

.,.异面直线AM与PC所成的角的大小为arccos33.

【解析】(D根据线面角的定义，锥体的体积公式即可求解；

(2)将两异面直线平移成相交直线，再结合解三角形知识即可求解.

本题考查线面角的定义，锥体的体积公式，两异面直线所成角，属基础题.

18.【答案】解：⑴...fG)为定义在R上的奇函数,

.'.f(0)=l+bl+l=0,解得b=—1,经检验，b=-1,符合题意,

.'.f(x)=3x-13x+l=3x+l-23x+l=l-23x+l,

设xl〈x2,贝U(x2)=23x2+l-23x1+1=2(3x1-3x2)(3x1+1)(3x2+1)，

又xl<x2,则3xl-3x2<0,3x1>0,3x2>0,

.,.f(xl)-f(x2)<0,则f(xl)〈f(x2),

.••f(x)在R上单调递增；

(2)依题意，［f(x)+32］min》(ax-2)max在［1,3］上恒成立,

又f(x)在R上单调递增，

.,.当xG［1,3］时，f(x)+32的最小值为f(1)+32=1—231+1+32=2,

当0<a<l时，(ax—2)max=a-1,则22a—1,解得a>12,此时ad［12,1)；

当a〉l时，(ax—2)max=a2,则22a2,解得l〈aW2；

综上，实数a的取值范围为［12,1)U(1,2］.

【解析】(1)由f(0)=0,可求得b的值，由单调性的定义可证明f(x)在R上单调递增；

⑵问题等价于［f(x)+32］min》(ax-2)max在［1,3］上恒成立，易知f(x)+32的最小值为2,然后

分0<a〈l及a>l讨论即可得解.

本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想，分类讨论

思想及运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20C°C.

(2)由图可以看出，从6〜14时的图象是函数丫=4$行(3*+。)+1)的半个周期的图象，所以

A=12(30—10)=10,b=12(30+10)=20.

因为12X2n3=14—6,所以3=JI8.

将A=10,b=20,3=n8,x=6,y=10代入①式，可得6=3n4.

综上，所求解析式为

y=10sin(n8x+3n4)+20,x£［6,14］.

【解析】本题主要考查由函数y=Asin(3x+<l>)+b的图象性质和求解析式，属于基础题.

(1)由三角函数性质根据图象直接观察可知；

(2)由函数的图象的顶点坐标求出A和b,由周期求出3,由最低点得到。的值即可.

20.【答案】解：(1)因为准线为1：x=-p2,所以MF|+|NF|=xl+p2+x2+p2=3p；

(2)设直线MN的方程x=my-p2,联立y2=2px(p>0)可得，y2-2mpy+p2=0,

所以△=4m2—4p2>0,yl+y2=2mp,yly2=p2,

而M是线段AN的中点，所以yl=y22,

解得：yl=2p2,y2=2p,即2P2+2p=2mp,解得:m=324,

所以直线MN的方程为x=324y-p2,即4x-32y+2P=0；

⑶直线MN的方程x=my-p2，设P(-p2,y0),Q(-p2,-y0),yO^O,

则PM：y=y1-yOxl+p2(x+p2)+yO=y1—yOmy1(x+p2)+y0,QN：

y=y2+y0x2+p2(x+p2)-y0=y2+y0my2(x+p2)-y0,

联立可得：(x+p2)(lyl+ly2)=2ni,由yl+y2=2nip,yly2二p2,代入解得：

x=2myly2yl+y2-p2=2mXp22mp-p2=p2,

所以直线PM与QN的交点在定直线x二p2上.

【解析】(1)根据焦半径公式即可求出；

⑵设直线MN的方程x=my-p2,与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m,从而解出；

(3)设P(—p2,yO),Q(—p2,—yO),即可求出直线PM与QN的方程,联立即可解出交点,从而可以

判断交点在定直线上.

本题考查了抛物线的性质，属于中档题.

21.【答案】解：(1)设单调递增的等比数列｛an｝的公比为q,

由a2+a3+a4=28,可得a2+a4=28—a3,

又由a3+2是a2,a4的等差中项.口J得2(a3+2)=a2+a4=28-a3,

解得a3=8,a2+a4=20,

即有alq2=8,alq+alq3=20,

解得al=2q=2或al=32q=12(舍去)，

所以bn=n・an=n-2n,

Sn=l,2+2,22+3423+...+n,2n,

2Sn=L22+2・23+3・24+.・.+n・2n+l,

上面两式相减可得-Sn=2+22+23+...+2n—n-2n+l

=2(1—2n)1—2—n-2n+l,

化简可得Sn=(n—1)・2n+l+2；

(2)(n—l)2Wm(Sn—n—1)即为(n—l)2Wm(n—1)(2n+l—1),

因为n22,所以m^n-12n+l-l对于n22恒成立.

设cn=n—12n+l—1(n22),则

cn—cn—l=n—12n+l—1—n—22n—1=-1—(n-3),2n(2n—1)(2n+1-1)>

因为nN3,所以—1—(n—3)・2n<0,(2n—1)(2n+1—1)>0,

则cn—cn—1<0,即有{cn}在n22且n6N*为递减数列，

所以{cn}中的最大项为c2=17,

所以m217,即m的取值范围是［17,+8).

【解析】(1)由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，再由数列的

错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；

⑵原不等式等价为Gn-12n+l-l对于n12恒成立，然后构造数列，判断单调性，求得最值，

可得所求取值范围.

本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和、不等式恒成立问

题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上

无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.己知集合A={-1,0,1,2},8则Afi3=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.若z(l+i)=2i,贝！Jz=()

A.-1—iB.-1+zC.1—zD.1+i

3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四

大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西

游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》

且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值

的估计值为()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.(1+2/)(1+幻4的展开式中/的系数为()

A.12B.16C.20D.24

5.已知各项均为正数的等比数列｛4｝的前4项和为15,且%=3%+4q,则的=()

A.16B.8C.4D.2

6.已知曲线y=a/+xlnx在(l,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()

A.a=e,h=—}B.a=e,h=\C.a=e~',b=\D.a=e~',b=-l

7.函数y=二^在［-6,6］的图像大致为()

2X+2-X

(开始)

I

/输尸/

8.如图，点N为正方形A8CD的中心，△ECD为正三角形，平面

ECO,平面A8C0,M是线段的中点，则()

A.BM=EN,且直线BM，EN是相交直线x=1,s=0

B.BM手EN,且直线BM，EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM，EN是异面直线

D.BM。EN,且直线BM,E7V是异面直线S=S+X

E

9.执行右边的程序框图，如果输入的£为0.01,则输出s的值等于()

c1c1

A.2----B.2----

2425

cIC1

C-2-FD.2--

22

10.双曲线C：5-5=1的右焦点为E,点P在C的一条渐近线上，。为坐标原点.若IPO|=|,

则△PR2的面积为()

A3V2B3V|C2^D

42

11.设/(x)是定义域为/?的偶函数，且在(0,+。。)单调递减，则()

132,23

-3-

A./(log.-)>/(2乱)>/(2飞)B./(log3-)>/(2)>/(22)

3_2123］

C./(2^)>/(2")>/(log3-)D./(2")>/(2^)>/(log3-)

jr

12.设函数/(x)=sin(<ox+y)(®>0),已知/(x)在［0,2万］有且仅有5个零点，下述四个结论：

①/(x)在(0,2万)有且仅有3个极大值点；

②/(x)在(0,2万)有且仅有2个极小值点；

③/(X)在(0,京)单调递增；

1229

④切的取值范围是［三,正).

其中所有正确结论的编号是()

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13,已知凡。为单位向量，且。力=0，若Z=2Z一也b，则cos<a,c>=.

S

14.记S”为等差数列｛a,,｝的前〃项和，若qkO,4=3q,则言=

15.设6，工为椭圆C:工+匕=1的两个焦点，M为。上一点且在第一象限，若为等

3620

腰三角形，则"的坐标为.

16.学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型，如图，该模

型为长方体ABC。-44G2挖去四棱锥O-EFG”后所得的几

何体，其中。为长方体的中心，E,尸,G,"分别为所在棱的中点,

AB=BC=6cm,M=4cm.3D打印所用的材料密度为

Q.9g/cm\不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

_______g.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验:将200只小鼠随机分成A8两组，

每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，8组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体

积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根

记C为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于55',根据直方图得到HC）的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中人的值：

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.

18.（12分）

4C

△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知asin--------=6sinA.

2

（1）求8；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=l,求△ABC面积的取值范围.

19.（12分）

图1是由矩形ABE。，&AABC和菱形8FGC组成的一个平面图形，其中AB=1,

BE=BF=2,NEBC=60°.将其沿折起使得BE与5E重合.连结OG,如图2.

（1）证明：图2中的ACG,。四点共面，且平面ABC_L平面BCGE；

（2）求图2中的二面角3—CG-A的大小.

20.（12分）

己知函数/（x）=2xJ-ax2+b.

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）是否存在a,使得/（x）在区间［0,1］的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出a,〃的

所有值；若不存在，说明理由.

21.（12分）

2|

已知曲线C:y=］r,。为直线〉=一,上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为4,B.

（1）证明：直线A6过定点;

(2)若以E(O,g)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段A3的中点，求四边形ADBE的面

积.

(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计

分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

如图，在极坐标系Ox中，A(2,0),B(&q,C(V2,^),。(2,»)，AB,BC,所

在的圆的圆心分别是(1,0),(l,y),(1,万)，曲线A71是弧AB，曲线是弧BC，曲线知3是

弧CZ).

(1)分别写出M，弧，弧的极坐标方程；

(2)曲线M由构成，若点P在“上，且|OP|=G，求P的极坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

设x,y,zeR,且x+y+z=l.

(1)求(X-I)?+()>+I)2+(Z+I)2的最小值；

(2)若(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2z；成立，证明：a<-3^a>-l.

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学-参考答案

一、选择题：

1.【答案】A

【分析】先求出集合B再求出交集.

【详解】x2<1,.,.-1<X<1>B=1<X<1},则AcB={-1,0,1},故选A.

【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.

2.【答案】D

【分析】根据复数运算法则求解即可.

2i2i(l-i),.

【详解】丁由故选D.

【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养.采取运算法则法，利用方程思想解题.

3.【答案】C

【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.

【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为

70-M00=0.7.故选C.

【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法，利用转化与

化归思想解题.

4.【答案】A

【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数.

【详解】由题意得的系数为C：+2C；=4+8=12,故选A.

【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.

5.【答案】C

【分析】利用方程思想列出关于4,4的方程组，求出q,4,再利用通项公式即可求得名的值•

q+qq+qg+a]q^=15,

【详解】设正数的等比数列{斯}的公比为4,则

Q闻4=3a1q2+4〃]

4=1,

解得《*,*4■4q-4,故C.

q=2

【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。

6.【答案】D

【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得。，将点的坐标代入直线方程，求得从

【详解】详解：y'=ae'+lnx+l,4=y'li=ae+l=2,.•.a=eT,将(1,1)代入y=2x+6得

2+b=\,b=-1,故选D.

【点睛】本题关键等到含有m%的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。

7.【答案】B

【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由/(4)的近似值即可得出结果.

【详解】设y=/(x)=,则f(-x)=''=一一——=-/(%)，所以/(x)是奇函

T+Tx2T+2X2A+2r

?x43

数，图象关于原点成中心对称，排除选项C.又/«)=汽不＞0,排除选项D；

/(6)=-T——-®7.排除选项A,故选B.

26+2^

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本

题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

8.【答案】B

【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.

【详解】如图所示，作EOLC。于0,连接QV,过M作于尸.

连3尸，平面CDEJ•平面ABCD.

£0_18,£0匚平面。。5，，£10_1平面48。0,而，平面ABCE,

.•.AMF8与AEON均为直角三角形.设正方形边长为2,易知E0=6,ON=1EN=2,

MF=昱,BF=，,：.BM=布.：.BM^EN,故选B.

22

【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角性。

9.【答案】D

【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.

【详解】输入的£为0.01，x=l.S=0,x=0.5<0.01?不满足条件;

S=O+1+［，x=1<0.01?不满足条件：…,

24

5=0+1+-++4，％=-!-=0.0078125<0.01?满足条件,

226128

输出S=1+；+…+最

,故选D.

【点晴】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析.

10.【答案】A

【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算

素养.采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.

【详解】由a=2,b=&c=，/2+/=瓜归0|=归"，,全=手，又P在C的一条渐

近线上，不妨设为在y上，Sap/.。=g|°F|・|%|=gx几*等=2/,故选A.

【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出

三角形的高，便可求三角形面积.

11.【答案】C

(3\

【分析】由已知函数为偶函数，把一,f2工转化为同一个单调区间上,

\7

再比较大小.

【详解】“X)是R的偶函数，・•./[og3；)=/(log34).

log34>log,3=1,1=2°>2^,:.log34>2^>2-3-又/(%)在Q+M单调递减,

/_2\

-

.-./(log34)</23故选C.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取

值.

12.【答案】D

【分析】本题三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求大，理解

深度高，考查数形结合思想.

【详解】，(x)=sinNx+"o>0),在［0,2加有且仅有5个零点.，0<%<2n,

1兀兀1229

—<wxH—<2JIWH—,—Ww<—,④正确.如图玉，尤2，忍为极大值点为3个，①正确；极

55551

小值点为2个或3个.•・・②不正确.

yr兀兀W7U兀29W7r7t29乃20749乃冗

当0cx<一时,-<WX-\----<-------F—当卬=」时,___1__—_____1_____—_______

105/10510105-100100-1002'

，③正确，故选D.

【点睛】极小值点个数动态，易错，③正确性考查需认真计算，易出错.

二、填空题

2

13.【答案】一.

3

【分析】根据|C『结合向量夹角公式求出匕|,进一步求出结果.

【详解】因为c=2a-A,ab=0,所以a-c=2/一后.。=2,

la-c22

匕|2=4|〃|2_4氐2+5|。|2=9,所以|c|=3,所以cosva,c>=「馆=丁3=£.

6ZHC1XJJ

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使用

转化思想得出答案.

14.【答案】4.

分析】根据己知求出q和△的关系，再结合等差数列前〃项和公式求得结果.

s10x9

S10a,d--------aJ

【详解】因。2=3。］,所以4+4=34,即2%=d,所以詈=------z-A—='—=4.

S'5a］+^d25“

12

【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算.渗透了数学运算素养.使用转化思想得

出答案.

15.【答案】(3,岳)

【分析】根据椭圆的定义分别求出|摩|、|叫|,设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的

坐标.

【详解】由已知可得/=36,〃=36,，/=〃一〃=i6,，c=4,

：.\MF\=\F^=2C=?>..\|M^|=4.

设点M的坐标为(%,%)(%>0,%>0),则5岫钻=g•忻用•%=4%,

又S4MFA=gx4xj82-22=4厉,.•.4%=4岳,解得为=岳，

.片।(3=i，解得毛=3(%=-3舍去)，\M的坐标为(3,后).

"3620

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的

落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

16.【答案】118.8

【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出

模型的质量.

2

【详解】由题意得，SFFGH=4x6-4xlx2x3=12cm,

皿…

又长方体ABCD-A4G2的体积为匕=4x6x6=144cm2,

所以该模型体积为V=匕-V=144-12=132cn?,其质量为0.9x132=118.8g.

【点睛】本题考查几何体体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公

式求解.

三、解答题

17.【分析】⑴由P(C)=0.70可解得。和)的值；(2)根据公式求平均数.

【详解】(1)由题得。+0.20+0.15=0.70,解得a=0.35,由0.05+0+0.15=1-尸(0=1-0.70,

解得匕=0.10

(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为

().15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙离子残留百分比的平均值为0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.

18.【分析】（1）利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形

110

内角解得3=《.（2）根据三角形面积公式SABC=-ac-sinB,又根据正弦定理和会得到S.^c

7T

关于C的函数，由于VABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于一来计算C的定义域，最

2

后求解sABC（C）的值域.

【详解】（1）根据题意asin---■u/jsinA由正弦定理得sinAsin------=sinBsinA,因为

22

A+r

0<A<»,故sinA>0,消去sinA得sin-----=sinB。

2

ACA+r

0<B,0<£一上〈乃因为故---+--=8或者------+B=7T,而根据题意A+3+C=7,故

222

1

yd_1_6*/AA2jr

-----+8=乃不成立，所以------=B,又因为A+3+C=〃，代入得33=兀，所以8=—.

223

TTTTTF2

（2）因为VABC是锐角三角形，又由前问8=不，7<4。<二，A+B+C=T?•得到A+C=二万，

3623

jr7TaC12

故2<C<上又应用正弦定理——=-^,一，由三角形面积公式有

62sinAsinC25

c

c1P12«.o12sinAV3，皿^--)

S=-acsmB=—c--sinB=—c-----sinB=--------------

■AlB)Cr22c2sinC4sinC

.2万门2兀.尸

Asin——cosC-cos——smC6ccoWph

V333，3..2%2万3.又因

=---------------------------=----(sin——cotC-cos——)=-cotCH----

4sinC43388

7in痂63兀下>03兀0)6痂6°

—<C<—，故———cot—I---<SA<-cot—I---——>।&—<S

628828Rr868284-

故S4BC的取值范围是

【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余

弦定理求解），最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考

题.

19.【分析】（1）因为折纸和粘合不改变矩形ABED，RfABC和菱形内部的夹角，所以

AD//BE,3b//CG依然成立，又因£和尸粘在一起，所以得证.因为A3是平面BCGE垂线，

所以易证.（2）在图中找到3-CG-A对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑8关于GC的垂

线，发现此垂足与A的连线也垂直于CG.按照此思路即证.

【详解】(1)证：BE//CG,又因为E和尸粘在一起.

AD//CG,A,C,G,D四点共面.

又・AB±BE,AB±BC.

二A8_L平面BCGE,ABu平面ABC,.•・平面ABCJ_平面BCGE,得证.

(2)过B作8"J_GC延长线于H,连结AH,因为AB_L平面BCGE,所以A3LGC

而又8HLGC,故GC_L平面所