高中物理第一章机械振动3简谐运动的图像和公式讲义教科版选修

3简谐运动的图像和公式第一章机械振动[学习目标]1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息.内容索引重点探究启迪思维探究重点达标检测检测评价达标过关自主预习预习新知夯实基础自主预习一、简谐运动的图像1.图像的建立以横轴表示做简谐运动的物体的运动

，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的

.2.图像的特点：简谐运动的图像是一条

(或

)曲线.3.由简谐运动的图像，可找出物体振动的

和

.时间t

位移x

正弦余弦周期振幅二、简谐运动的表达式及相位简谐运动的表达式x＝

.(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的

；t表示振动的

.(2)A表示

.(3)ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝

＝

.所以表达式也可写成：(4)2πft＋φ代表简谐运动的相位；其中φ是t＝

时的相位，称为初相位或初相.Asin(ωt＋φ)位移时间振幅2πf0[即学即用]1.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图1所示，根据图像，判断下列说法的正误.(1)质点振动的频率是4Hz.()(2)质点振动的振幅是2cm.()(3)在t＝3s时，质点的速度最大.()(4)在t＝4s时，质点所受的合外力为零.()×√√×答案图12.有一弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时(t＝0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x＝

m.答案重点探究一、简谐运动的图像[导学探究]1.甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图像：如图2所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸.答案是一条垂直于OO′的直线.答案图2(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？答案垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以平衡位置为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿OO′方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以平衡位置为出发点)或位置.(2)乙同学匀速向右慢慢拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？答案轨迹如图所示，类似于正弦曲线.答案(3)分析白纸慢慢拖动时画出的曲线，沿OO′与垂直OO′方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么物理意义？2.绘制简谐运动的x－t图像

如图3所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线.若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x轴，垂直于振动方向建立t轴，则这些曲线就是漏斗的位移—时间图像.为什么这些曲线能描述漏斗的位移随时间变化的规律？答案当单摆(漏斗)摆动时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比，因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律.答案图3[知识深化]1.对x－t图像的理解x－t图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律，不是振子的运动轨迹.2.图像的应用(1)确定振动物体在任一时刻的位移.如图4所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝7cm，x2＝－5cm.图4(2)确定振动的振幅.由图可知，振动的振幅是10cm.(3)确定振动的周期和频率.由图可知，T＝0.2s，频率(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动.(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.例1如图5所示为某一弹簧振子做简谐运动的图像，则A.振动的振幅为6mB.振动的周期为6sC.t＝1.5s时和t＝2.5s时，振子的速度相同D.t＝2.5s时，振子的加速度正在减小，沿x轴的负方向√答案解析图5解析

由题图知，振子运动的周期为T＝4s；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由题图知，振幅A＝3cm，故A、B错误；在t＝1.5s时和t＝2.5s时，据题图可知，振子关于平衡位置对称，所以两时刻速度大小相等，方向相同，沿x轴的负方向，故C正确；t＝2.5s时，振子正远离平衡位置，位移增大，其加速度增大，故D错误.针对训练

如图6甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动(以向右为正方向)，其振动图像如图乙所示.由振动图像可以得知A.振子的振动周期等于t1B.在t＝0时刻，振子的位置在a点C.在t＝t1时刻，振子的速度为零D.从t1到t2，振子正从O点向b点运动√答案解析图6解析振子的振动周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由题图乙直接读出其周期T＝2t1，故A错误；由题图乙知在t＝0时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，所以振子的位置在O点，故B错误；在t＝t1时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，故C错误；从t1到t2，振子的位移从0变化到正向最大，说明振子正从O点向b点运动，故D正确.二、简谐运动的表达式及相位差[导学探究]1.将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度，然后同时静止释放.两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致”，相位相同，相位差为0.答案2.将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后同时静止释放，观察两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案

它们各时刻的位移总是相反，相位差为π.答案3.图7是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义.答案图7[知识深化]1.简谐运动的表达式的理解2.从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性.当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝

＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动.例2

(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则A.弹簧振子的振幅为0.2mB.弹簧振子的周期为1.25sC.在t＝0.2s时，振子的运动速度为零D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝答案解析√√在t＝0.2s时，振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；方法点拨应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中

然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系.例3如图8所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝8cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.2s，则小球的振动周期为

s，振动方程为x＝

cm.答案解析图80.8故T＝0.8s；达标检测A.质点振动的频率是4Hz，振幅是2cmB.质点经过1s通过的路程总是2cmC.0～3s内，质点通过的路程为6cmD.t＝2s时，质点的振幅为零12341.(简谐运动的图像)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图9所示，由图可知√答案解析图91234解析由题图可以直接看出振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，所以A错误；质点在1s即

周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B错误；因为t＝0时质点在平衡位置处，0～3s为

质点通过的路程为3A＝6cm，所以C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝2s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，所以D错误.A.两弹簧振子完全相同B.振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大D.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶112342.(简谐运动的图像)(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图10所示，则可知√√答案解析图101234解析由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同，则两弹簧振子一定不完全相同，故A错误；两弹簧振子振动周期之比T甲∶T乙＝2∶1，频率之比是f甲∶f乙＝1∶2，故B正确；由题图看出，甲在最大位移处时，乙在平衡位置，即振子甲速度为零时，振子乙速度最大，故C正确；由振动图像读出两振子位移最大值之比x甲∶x乙＝2∶1，根据简谐运动的特征F＝－kx，由于弹簧的劲度系数k可能不等，回复力最大值之比F甲∶F乙不一定等于2∶1，故D错误.12343.(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝

的规律振动.(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；答案解析1234解析由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1(2)另一简谐运动表达式为

求它们的相位差.答案解析答案π1234解析由题图知：A的振幅是0.5cm，周期是0.4s；B的振幅是0.2