方差公式的妙用

方差公式的妙用一、知识回顾若一组数据x,x,x…x的平均数为x，方差为S2，则有123nS2=—[(x一x)2+(x一x)2+(x一x)2+…+(X一X)2]n123n变形，得1-S2= [(X2+x2+x2+…兀2)一nx2]n— 2 3 n由方差定义公式，显然有S2—0,当且仅当x=x=•••=x时，S2=0.这个变形后— 2 n的方差公式很有用处，在解决有些问题中，巧妙地利用这个变形公式，往往让人耳目一新.比如，已知两数a和b，则a和b两数的方差为S2=—[(a2+b2)一2X()2]—0.22因此，当问题中具备平方和的特征时，不妨考虑采用方差公式试试看，或许会有不一样的体会.二、公式应用判断三角形的形状例1设AABC的三边为a、b、c,满足：b+c=8，bc=a2-12a+52，试问AABC是什么三角形?并证明你的结论.分析由题设可求得b2+c2,的值及b、c的平均数，因此，b、c两数的方差可求.解AABC为等腰三角形.证明如下:由已知，得b2+c2=(b+c)2一2bc=64一2bc=-2a2+24a一40.b+c・•・b、c两数的平均数x=〒=4，b、c两数的方差为S2=1[(b2+c2)-2X42]=-[(-2a2+24a-40)-2x42]2=-(a一6)2S2—0，即_(a—6)2—0，即(a—6)2<0，又(a—6)2—0

・•・此时，S2=0，故b=c=4,・•・AABC是以a为底，以b、c为腰的等腰三角形.例2例2解方程组S 9xy=—+2z2I 4分析两个方程三个未知数，一般情况下是求不出具体的未知数的值的•但根据x+y及xy的值就可以求出x2+y2的值，这符合变形后的方差公式的特点.因此，考虑利用方差变形公式，通过求x，y两数的方差尝试解决问题.解由题意，得x2+y2=(x+y)2—2xy9=9—2xy=9—2(_+2z2)49=一一4z22又x，y两数的平均数为2・x，y的方差为13S2=才(x2+y2)—2X(2)2]=1[9—4z2—9]=—2z2222则z2<0，而z2>0z二0，3S2=0，此时x=y=—2「 3x=—23・••原方程组的解为\y=z=0求参数的值例3设a，b，c为AABC的三边，且满足:(1)a>b>c；

2b二a+c；a2+b2+c2=84，贝y整数b二 .分析由题设，可得a2+b2+c2=84,a+b+c二3b,3b=b3故可以考虑通过计算a，故可以考虑通过计算a，b，c三个数的方差进行求解；或者a+c=2b,a2+c2=84-b2，可以考虑通过计算a,c两数的方差进行尝试求解.解由(2),得a+b+c=3b，a+b+c3b7.•・a,b,c三个数的平均数x= 3 =y=b又由(4)a2+b2+c2=84，得a,b,c的方差为S2=*[(a2+b2+c2)-3xb2]=1x(84-3b2)=28-b2>0b2<28a+c1 =b(也可由⑵⑷，得< 2a2+c2=84-b2所以，a，c的方差为S2=1[(a2+c2)-2xb2]=1x(84-b2-2b2)3=42--b2>02.b2<28)a+c7 =b由< 2 得a2+c2=84-b24b2-2ac=84-b2，45b2=84+2ac>84,b2>16—54・・.16—<b2<285又b为正整数，b2=25，b=5解多元方程例4解方程:4(Jx+Jy_1)=x+y+7.分析通过换元法构造出两数的平方和形式，并通过计算这两数的方差进行求解.解设=a,Jy-1=b,贝yx=a2,y=b2+1・•・原方程可化为4(a+b)=a2+b2+8,a2+b2=4(a+b)-8.a，b两数的方差为:S2=i[(a2+b2)-2x()2]22=丄[4(a+b)-8-丄(°+b)2]22=一丄[-8(a+b)+16+(a+b)2]4=-—(a+b-4)24•・•S2>0・(a+b一4)2<0，即a+b—4=0a+b=4，且S2=0,从而得到a=b=2,故x=a2=4,y=b2+1=5经检验x=4,y=5是原方程的解.证明等式例5已知实数a、b、c满足a=6—b,c2=ab一9,求证a=b.分析根据a=6-b，得出a+b=6，可求出a,b两数的平方和，故可考虑通过计

算a,b两数的方差进行探究•如果得出方差为0则自然得出a=b，命题就成立.证明由已知，得a+b二6,/.a2+b2=36-2ab二36-2(c2+9)=18-2c2a,b两数的方差为S2=-[(a2+b2)-2x(上纟)2]22=-[(18-2c2)-2x32]2S2>0，即c2<0.c=0此时S2=0，故有a=b.求函数的最值例64实数x、y满足4x2—5xy+4y2=5，设m=x2+y2，则m的最大值为 分析从x2+y2形式看，容易使我们联想到求x,y两数的方差公式.因此，不妨用方差公式尝试解答.解由4x2-5xy+4y2=5，得4m-5xy=—5.x，y两数的方差为:S