新教材北师大版高中数学选择性必修第一册全册各章节知识点考点重点难点解题规律归纳总结

北师大版高中数学选择性必修第一册知识点

第一章直线与圆.............................................................-2-

1直线与直线的方程.....................................................-2-

2圆与圆的方程.......................................................-29-

第二章圆锥曲线............................................................-46-

1椭圆...............................................................-46-

2双曲线.............................................................-55-

3抛物线.............................................................-63-

4直线与圆锥曲线的位置关系...........................................-72-

第三章空间向量与立体几何.................................................-77-

1空间直角坐标系......................................................-77-

2空间向量与向量运算..................................................-85-

3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算...............................-98-

4向量在立体几何中的应用............................................-107-

5数学探究活动（一）：正方体截面探究..................................-127-

第四章数学建模活动（三）................................................-130-

第五章计数原理...........................................................-134-

1计数原理...........................................................-134-

2排列..............................................................-139-

3组合..............................................................-144-

4二项式定理.........................................................-148-

第六章概率...............................................................-157-

1随机事件的条件概率.................................................-157-

2离散型随机变量及其分布列..........................................-165-

3离散型随机变量的均值与方差........................................-172-

4二项分布与超几何分布..............................................-180-

5正态分布..........................................................-186-

第七章统计案例...........................................................-190-

1一元线性回归......................................................-190-

2成对数据的线性相关性..............................................-194-

3独立性检验........................................................-199-

第一章直线与圆

1直线与直线的方程

1.1一次函数的图象与直线的方程

1.2直线的倾斜角、斜率及其关系

1.直线的倾斜角

定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线/,把逢（正方向）

按逆时针方向绕着交点旋转到和直线/首次重合时所成的角，称为直线/的倾斜角.

规定：当直线/和x轴平行或重合时，它的倾斜角为。.

范围：倾斜角a的取值范围为［。3）.

2.直线的斜率

⑴直线过不同两点P1（X|,yi）,P2（X2,y2）,其斜率攵="_"（X1#X2）.

X2-Xl

⑵直线的斜率表示直线的倾斜程度.

3.直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系

（1）从函数角度看，攵是a的函数，其中攵=tana（其中aW幻，图象如图所示.

当aS0,舒时，斜率攵20,且左随倾斜角a的增大而增大;

当兀）时，斜率攵＜0,且攵随倾斜角a的增大而增大;

当a=^时，直线/与x轴垂直，此时直线/的斜率不存在.

(2)如图，在直线/上任取两个不同的点Pi(xi，yi),Pikxi,yi).由平面向量的

知识可知，向量万72是直线/的方向向量,它的坐标是(及一用，y2~yi)，直线的倾

斜角a、斜率公方向向量P>2分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标

系中x轴的倾斜程度.它们之间的关系是左="二九=tana(其中x^x2).

X2~X1

若攵是直线/的斜率，则。=(1,•是它的一个方向向量;若直线/的一个方向

向量的坐标为a，y),其中xWO,则它的斜率人号

垦考&任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗?

［提示］直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是

TTTT

2时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于X轴；当倾斜角不是2时，直线的斜

率存在且唯一.

疑难问题

类型1直线的倾斜角

【例1］求图中各直线的倾斜角.

(1)(2)(3)

［解］(1)如图(1),可知N0A8为直线/1的倾斜能.易知NA8O=30。,

ZOAB=60°,即直线/i的倾斜角为60°.

(2)(3)

(2)如图(2),可知NxAB为直线/2的倾斜角，易知NOBA=45。，

OA3=45。，

/.ZAAB=135°,即直线/2的倾斜角为135°.

(3)如图(3),可知NOAC为直线石的倾斜角，易知NABO=60。，

：.ZBA0=3Q°,

：.ZOAC=\50°,即直线/3的倾斜角为150°.

「.......•我思领悟.............................>.

求直线的倾斜角的两点注意

(1)直线倾斜角的取值范围是［0,兀).

(2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为

兀

2,

□类型2直线的斜率

【例2】(1)已知两条直线的倾斜角分别为60。，135。，求这两条直线的斜率;

(2)已知A(3,2),8(—4,1),求直线45的斜率；

(3)已知直线/的一个方向向量是(小，1),求该直线的斜率.

(4)求经过两点A(2,3),B(m,4)的直线的斜率.

［解］(1)直线的斜率分别为心=tan60o=M§,fe=tan135°=-1.

1—21

(2)直线AB的斜率kAB=二二3个

1S

(3)直线/的斜率Z=方=苧.

(4)当机=2时，直线的斜率不存在；当〃zW2时，直线A8的斜率为以B=

4一31

m~2m~2

厂.....思领悟•.......................

求直线斜率的三种方法

(1)已知直线的倾斜角a(aW90。)时，可利用斜率与倾斜角的关系，即Z=tana

求得；

(2)已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求.要注意，其前提条件

是X1WX2，若X|=X2时，直线斜率不存在；

(3)已知直线的方向向量0=(加，〃)时，可利用％=而来求，但要注意，当〃2=0

时，直线的斜率不存在.

□类型3直线的倾斜角、斜率的应用

命题角度1三点共线问题

【例3】如果三点A(2,1),B(-2,in),C(6,8)在同一条直线上，求机的

值.

.m―11—m8—17

I斛n］kAB=4，

VA,B,。三点共线，

17

「n

即-

・♦kAB=kAC,4-4

••777=-6.

厂.......・灰思领悟......................

斜率是反映直线相对于X轴正方向的倾斜程度的.任意两点所确定的直线的方

向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等

可证点共线的原因.

命题角度2数形结合法求倾斜角或斜率范围

【例4】直线/过点P(l,0),且与以A(2,1),5(0,小)为端点的线段有公

共点，求直线/的斜率和倾斜角的范围.

［解］如图所示.

..1—0仍一0

■:knp=2_]=1，kBP=0_]=_y3,

.•.y―8,-73]0[1,+8),

.•.45°WaW120°.

1.......•灰思领悟.............................

直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直

线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化

规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”.

归纳总结

1.直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对

于x轴的倾斜程度.

2.倾斜角是90。的直线没有斜率，倾斜角不是90。的直线都有斜率，即直线的

倾斜角不为90。时，斜率公式才成立.

3.斜率公式是以后研究直线方程的基础，需熟记并会灵活运用.

1.3直线的方程

第1课时直线方程的点斜式

1.直线/的方程

如果一条直线/上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为

坐标的点都在直线/上，那么这个方程称为直线/的方程.

2.直线的点斜式方程和斜截式方程

名称点斜式斜截式

已知条件点P(x(),泗)和斜率左斜率k和直线在y轴上的截距b

图示z4-

方程y—v()=Z(x—xo)尸"+〃

适用范围斜率存在

3.直线/在)，轴上的截距

定义：直线/与y轴交点(0,真的纵坐标1叫作直线/在v轴上的截距.

量至式1)斜截式方程应用的前提是什么？

(2)纵截距一定是距离吗？

［提示］(1)直线的斜率存在.

(2)纵截距不一定是距离，它是直线与)，轴交点的纵坐标，可取一切实数.

疑难问题

类型1直线方程的点斜式

【例1】根据条件写出下列直线的方程，并画出图形.

(1)经过点4(—1,4),斜率左=一3；

(2)经过坐标原点，倾斜角为45。；

(3)经过点5(3,-5),倾斜角为90。；

(4)经过点C(2,8),。(一3,-2).

[解](1)>'—4=—3[JC—(—1)],即y=-3x+l.如图⑴所示.

(2)A=tan45°=l,.,.j-0=x-0,即y=x.如图(2)所示.

(1)(2)

⑶斜率攵不存在，二直线方程为x=3.如图(3)所示.

Q—/—2)

(4»=)=2,.•.丁一8=2。-2),即y=2x+4.如图(4)所示.

(3)(4)

,反思领悟...........

求直线方程的点斜式的步骤

确定点H%%)

由点斜式,写方程|方程为工=反

类型2直线方程的斜截式

【例2］求满足下列条件的直线/的方程：

(1)过点P(0,1),斜率为2；

(2)与直线>=一》+1在y轴上的截距相等，且过点。(2,2)；

(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

［解］(l)j=2r+l.

(2)由题意知，该直线过点(0,1)和。(2,2),

故仁二^=J，«'•直线’的方程为1.

(3)..•直线的倾斜角为60°,其斜率A=tan6(T=小，

,/直线与y轴的交点到原点的距离为3,

直线在y轴上的截距b=3或〃=—3;

...所求直线方程为)=小%+3或y=,x—3.

「......思领悟••...............................

直线方程的斜截式求解策略

(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存

在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.

(2)直线的斜截式方程中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两

个独立的条件.

(3)利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率匕只需引入参数人；同理如果

已知截距4只需引入参数上

类型3直线过定点问题

【例3】求证：不论必为何值时，直线/：y=(加一l)x+2/w+1恒过定点.

［证明］法一：直线/的方程可化为y—3=(，*—1)(九+2),

二直线/过定点(一2,3).

法二：直线/的方程可化为机(x+2)—(x+y—l)=0.

尤+2=0,x=-2,

令彳解得《

&+y—1=0,)=3.

.•.无论相取何值，直线/总经过点(-2,3).

厂.....七反思领悟.............................

本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法

二体现了代数方法处理等式恒成立问题的基本思想.

归纳总结

直线方程的点斜式和斜截式的关系与使用条件

第2课时直线方程的两点式直线方程的一般式

1.直线方程的两点式与截距式

两点式截距式

P\(x\,yi)和22(x2，yi)在x轴上截距a,在y轴上截距/?

条件

其中X|WX2，其中必W0

牛

图形

y-yix-x\

方程>+.=1

\'2-yi-尢2一a-b---

适用不表示垂直于坐标轴的直线及过

不表示垂直于坐标轴的直线

范围原点的直线

思考t1.直线的方程一定能用两点式表示吗？

［提示］当直线与坐标轴垂直时，直线的方程不能用两点式表示.

2.直线方程的一般式

(1)直线与二元一次方程的关系

①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x,y的二元

一次方程表示.

②每个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.

(2)直线方程的一般式的定义

我们把关于x,y的二元一次方程Ar+3y+C=0(其中A,8不全为0)叫作直

线方程的一般式，简称一般式.

思考.2.在直线方程的一般式Ar+8y+C=0中，为什么规定A,B不同时为

0?

［提示］当A,8同时为0时，方程Ar+3y+C=0表示的不是直线.

疑难问题

类型1直线方程的两点式和截距式

命题角度1直线方程的两点式

【例1】已知△ABC三个顶点坐标A(2,-1),BQ,2),C(4,1),求三角

形三条边所在的直线方程.

［解］A,8两点横坐标相同，直线A3与x轴垂直，故其方程为x=2.

由直线方程的两点式可得，AC的方程为+27=尹左，即x—y—3=0.

—1-12—4

同理可由直线方程的两点式得，直线BC的方程为七|=七|，即％+2y—6

=0.

二三边AB,AC,所在的直线方程分别为x=2,x—y—3=0,x+2y—6=0.

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式

方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.

(2)一般用两点式求直线方程时，由于减法的顺序性，必须注意坐标的对应关

系，即及与”是同一点坐标，而xi与yi是另一点坐标.

命题角度2直线方程的截距式

【例2】求过点A(5,2),且在坐标轴上截距互为相反数的直线/的方程.

2

［解］法一：当直线/在坐标轴上的截距均为0时，方程为)，=尹，即2x—5y

=0;

当直线/在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为'+土=1,即x—y=a,

又•.,/过点A(5,2),：.5~2=a,a=3,

的方程为x-y-3=0,

综上所述，直线/的方程是2x—5y=0,或x—y—3=0.

法二：由题意知直线的斜率一定存在.设直线方程的点斜式为)，-2=小一5),

2

x=0时，y=2~5k,y=0时，x=5—v.

根据题意得2-5&=—(5—技解方程得仁|或1.

22

当后=§时，直线方程为y—2=5(x—5),即2x—5y=0;

当％=1时，直线方程为y—2=lX(x—5),即x—y—3=0.

厂.....七反思领悟......................

求解此类问题常用待定系数法，其求解步骤有两步：

(1)根据题中条件设出直线方程，如在X轴、y轴上的截距分别为伙aWO'WO)

的直线方程常设为2+方=L

(2)根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值.

□类型2直线方程的一般式

【例3】设直线/的方程为(根2—2加—3)尢一0/后+加-i)y+6—2m=0.

⑴若直线/在x轴上的截距为-3,则团=；

⑵若直线I的斜率为1,则m=.

5.,2m—6

⑴(2)-2[⑴令尸0,则x=£2—2晟二？

2m—6p5

・・工一~~=—3,何加=—孑或m=3.

m-2m3

当m=3时，m2—2/72—3=0,不合题意，舍去.

._5

..m-—g.

(2)由题意知，2机2+〃?一1#0,即mw—1且mwg,

加2—9/77—36—2加

由直线/化为斜截式方程，得产而而e，

，加2—2加—3

则2〃?2+利-1=L

得加=—2或相=—1(舍去).Am=­2.]

厂....••庆思领悟...............

直线方程的几种形式的转化

类型3直线方程的综合应用

【例4】已知直线/：5ax—5y—a+3=0.

(1)求证：不论a为何值，直线/总经过第一象限；

(2)为使直线/不经过第二象限，求。的取值范围.

3—a

f解］(1)证明：法一：将直线方程变形为y=ax+-y-,

当a>0时，直线一定经过第一象限；

3

当a=0时，旷=予直线显然经过第一象限；

3-a

当。<0时，-^->0,因此直线经过第一象限.

综上可知，不论a为何值时，直线5ax—5y—a+3=0一定经过第一象限.

法二：将直线方程变形为厂|=aQ—它表示经过点4区|),斜率为

的直线.

••,点A^，!)在第一象限，

二直线/必经过第一象限.

3

5-0

(2)如图，直线04的斜率-=3.

5~0

13

-

5

5,

•..直线/不经过第二象限,

.•.直线/的斜率223,

.•.如23,即a的取值范围为{。|〃23}.

厂.....七反思领悟.......

含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.若这无穷多

条直线过同一个点.则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点

的坐标.

归纳总结

1.截距式方程应用的注意事项

(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待

定系数法确定其系数即可.

(2)选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂

直.

(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.

2.直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式.一般

式化斜截式的步骤：

(1)移项，By=-Ax~C；

Ar

(2)当BWO时，得〉=一彦’一百.

C

3.在一般式Ax+8y+C=0(A2+B2W0)中，若A=0,则y=一5，它表示一条

与y轴垂直的直线；若8=0,则％=一,，它表示一条与x轴垂直的直线.

Z1

1.4两条直线的平行与垂直

1.两条直线平行

设两条不重合的直线/2,倾斜角分别为内，。2,斜率存在时斜率分别为所,

近.则对应关系如下：

类型斜率存在斜率不存在

前提条件8=a2790°«1=«2—90°

对应关系1\//120kl=%2仁两直线斜率都不存在

思考11.(1)如图，设直线人与，2的倾斜角分别为囚与a2,斜率分别为心与

女2,若/|〃，2,则如与之间有什么关系？心与比之间有什么关系？

(2)对于两条不重合的直线/1与/2,若kl=k2,是否一定有/|〃/2?为什么？

［提示］(1)若/1〃/2,ai与6(2之间的关系为ai=ot2；

对于M与女2之间的关系，当俗=0£2工90°时，k\=ki,当内=。2=90°时，防与

也不存在.

(2)一定有l\//h.

因为M=22,所以tanai=tan。2,所以ai=ot2,所以八〃/2.

2.两条直线垂直

类型斜率存在其中一条斜率不存在

前提条件|«2—ai|=90°«1=0°,6(2=90°

对应关系l\_L120kl,1<2=-1/］斜率为Q,/2斜率不存在

rAz%件

图示/7

思考K2.(1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？

(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是一1吗？

［提示］(1)设两直线的倾斜角分别为ai,«2,若两直线垂直，则⑶一Gt2|=90。.

(2)不一定.若一条直线的斜率为0,则与其垂直的直线斜率不存在.

疑难问题

类型1两直线平行、垂直的判定

【例1】⑴已知两条直线>=以-2和y=(a+2)x+l互相垂直，则实数。=

(2)“必=4”是直线2x+ay-l=0与直线bx+2y-2=0平行的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

［思路点拨］(1)利用心d2=-1解题.(2)先求出两直线平行的充要条件，再

判断.

(1)-1(2)C［(1)由题意知(a+2)a=-l,所以/+2a+l=0,则。=-1.

(2)直线2x+ay—1=0与直线bx+2y—2=0平行的充栗条件是一£=一叁且一/

W—1,即“。=4且aWl,则=4"是"直线2x+ay—1=0与直线bx+2y—2

=0平行”的必要而不充分条件.］

厂.......反思领悟..............................

判断两条不重合直线是否平行的步骤

类型2利用两直线平行、垂直求直线方程

【例2】已知点A(2,2)和直线/：3x+4y—20=0,求：

(1)过点A和直线I平行的直线方程；

(2)过点A和直线I垂直的直线方程.

［思路点拨］利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确

定直线方程.

［解］法一：•.•直线/的方程为3x+4y-20=0,

⑴设过点A与直线/平行的直线为h,

.&/=勺］,••勺］=一不

3

AZi的方程为y-2=-^x~2),即3x+4y—14=0.

(2)设过点A与直线/垂直的直线为li,

34

=-1,：.(—7)-k,=—1,

12412I?3

4

h的方程为y—2=水工一2),即4x~3y—2=0.

法二：(1)设所求直线方程为3x+4y+C=0,

•.,点(2,2)在直线上，

.,.3X2+4X2+C=0,/.C=-14.

.•.所求直线方程为3x+4y—14=0.

(2)设所求直线方程为4x-3y+z=0,

•.•点(2,2)在直线上,

.,.4X2-3X24-2=0,

."=一2,即所求直线方程为4x—3y—2=0.

1.....•灰思领悟......................

1.根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解，或利用待定系

数法求解.

2.直线方程的常用设法

①过定点尸(xo，yo),可设点斜式y—y()=Z(x—x())；

②知斜率k,设斜截式y=^+b；

③与直线Ax+8y+C=0平行，设为Ax+3y+m=0；

④与直线Ax+5y+C=0垂直，设为取—Ay+〃=0.

□类型3两条直线平行与垂直的综合应用

命题角度1求直线方程中参数的值

【例3】已知直线/i：(k—3)x+(4—攵)y+l=0与，2：2(k—3)x—2_y+3=0.

(1)若这两条直线垂直，求左的值；

(2)若这两条直线平行，求左的值.

5±\［5

［解］⑴根据题意，得(女一3)义2(%—3)+(4—幻><(-2)=0,解得z=箕-.I.

若这两条直线垂直，则后=晋6.

(2)根据题意，得(攵一3)义(—2)—2~一3)><(4一B=0,

解得攵=3或k=5.经检验，均符合题意.

,若这两条直线平行，则k=3或k=5.

厂.......反思领悟..............................

1.利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情

况进行讨论.

2.当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：

直线(：Aix+Biy+Ci=0,直线42：A2x+&y+C2=0.

①/i//l2^AiB2-A2B\=0且#0(或A1C2-A2C1W0)；

②八J_/20A1+Bi&=0.

命题角度2求点的坐标

【例4】已知四边形ABC。的顶点8(6,-1),C(5,2),£>(1,2).若四边

形A8CO为直角梯形，求A点坐标.

［解］①若NA=N0=9O°,如图(1),由已知AB〃0C,AD1AB,而kcD=0,

故A(l,-1).

②若NA=NB=90°,如图(2).

⑵

设4a,b）,则"BC=-3,kAD=—,kAB==.

b—2

由AD〃BC0kAD=kBc,即口=-3;①

,6+1

由碗也c=—1,即有.（-3）=-1.②

f_I2

Ia~5'(12in

解①②，得Ju故A§，-yj.

综上所述，A点坐标为(1,—1)或魅，—£)•

厂......思领悟•..........

此类题目应用数形结合法求解较为方便、简单.

归纳总结

I.两直线平行或垂直的判定方法

斜率直线

斜率均不存在平行或重合

一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在垂直

相等平行或重合

斜率均存在

积为一1垂直

2.与直线>=区+b平行的直线可设为y=Ax+c(c#A)；与直线Ax+8y+C=

0平行的直线可设为Ax+By+D=Q(D^Q.

3.设直线/i：y—k\x+b\,直线乙：y=kix+bi.若/1U2，则Zi/2=—1；反

之，若心的=—1,则八_1_/2；已知两直线/i：Aix+Biy+Ci=0,b：A2%+&y+C2

=0,/I1/2<=>AIA2+BIB2=0.

1.5两条直线的交点坐标

1.两条直线的交点坐标

几何元素及关系代数表示

点AA（〃，b）

直线/l：Ax+By+C=O

点A在直线1上Aa+郎+C=0

A]%+Biy+G=O[x=a

直线/1与/2的交点是A方程组“八的解是,

x।=

[A2x+32y+C2=0[yb

2.方程组的解的组数与两直线的位置关系

方程组的解交点个数直线的位置关系

无解Q个平行

有唯一解L个相交

有无数组解无数个重合

A\x-YB\y-\~C\—0

思考h方程组［妨十&什。?：。有唯一一组解的充要条件是什么？

［提示］4史一AzBWO.

疑难问题

□类型1两直线的交点问题

【例1】判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.

(1)/1：x—y=0,ht3x+3y—10=0；

(2)Zi：3x—y+4=0,Z2：6x—2y—1=0；

(3)/i：3尤+4y—5=0,Z2：6x+8jy-10=0.

f5

x—y=O,x=y

［解］(1)解方程组L「八八得qu所以/|与/2相交，交点坐

.3x+3y—10=0,_5

1＞，=3-

标是俘1）

'3x—y+4=0,①

⑵'

16x—2y—l=0,②

①义2一②得9=0,矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9#0,所

以l\//h.

'3x+4y-5=0,①

(3)1,„①X2得6x+8y—10=0,

［6x+8y—10=0,②)

因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，

所以/1与/2重合.

］.......・我思领悟.............................

方程组解的个数与两直线的位置关系.

一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；

若方程组有无数多组解，则两直线重合.这体现了“以形助数，以数释形”的数形

结合思想.

口类型2由交点求直线方程

【例2】求经过两直线2x—3y—3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x—y

—1=0平行的直线/的方程.

f思路点拨］思路一求出两直线2x—3y—3=0和x+y+2=0的交点坐标，由

平行关系得到/的斜率，利用点斜式方程求解；思路二利用过两直线的交点的直线

系方程求解.

2x—3y—3=0(37、

［解］法一：由方程组।；八，得两直线交点坐标为一之，-7,

.x十>+2=01,°，

•.•直线/和直线3x->—1=0平行，

...直线/的斜率左=3,

根据点斜式有>—(一,)=3%-'(一白).

即所求直线方程为15x—5y+2=0.

法二：•.•直线/过两直线2x—3y—3=0和x+y+2=0的交点，

•••可设直线/的方程为：2%—3y—3+2(x+y+2)=0,即(2+2)x+(2—3)y+22

-3=0.

•.•直线/与直线3》一＞一1=0平行,

.2+2—-32A—37

解得人=不

-i)

从而所求直线方程为15x—5y+2=0.

厂.....七反思领悟.............................

1.本题法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键.

2.经过两直线交点的直线系方程

①与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为By+C'=O(C#C)；

②与直线Ax+By+C=O垂直的直线系方程为Bx-Ay+C'=O；

③过两直线/i：Aix+Biy+Ci=O,Z2：A2x+&y+C2=0的交点的直线系方程

为九G4ix+8iy+G)+%2(A2x+&y+C2)=0(九，h为参数).

当九=1,七=0时，方程即为直线Q

当为=0,七=1时，方程即为直线江

类型3直线过定点问题

［探究问题］

1.不论左取什么值，直线)，=依+2恒过定点，试求出此定点.

［提示］由直线的方程可知当x=0时，＞=2,此时与k的取值无关.故直线

恒过点(0,2).

2.不论"2取什么值，直线y—2=〃z(x+3)恒过定点.求出此定点.

［提示］由直线方程可知当》=-3时，y=2,与〃，的取值无关，故直线恒过

定点(一3,2).

【例3】求证：无论左取何值时，直线/：(Z+l)x—(女一l)y—2%=0必过定

点，并求出该定点坐标.

［思路点拨］

［证明］法一：令攵=1,得到直线/］：x=l,

令k=0,得到直线为：x+y=O,

x=1

由彳，八，得人与/2交点M(l,-1),

［x+y=O

把M(l,-1)的坐标代入方程(攵+1立一/一1处一2左=0恒成立，

无论k取何值时，直线(%+1〃一代一1处一24=0必过定点，且定点为M(l,

-1)-

4+1

法二：由已知直线/的方程得出+1)%=(左一1»+2&,整理可得y+l==T(x

K1

—1)(21),

因此当女W1时，直线/必过定点M(l,-1);

当左=1时，原直线/的方程为x=l,也过点M(l,-1).

综上所述，不论《取任何实数值时，直线/必过定点M(l,-1).

法三：方程伏+l)x—(%—l)y—2%=0可化为攵(x—y—2)+(x+y)=0,

%—y-2=0

由〈，

.x+y=0

x=1

可得点

ly=-i

x=1

显然，，使方程(％+l)x—(A—l)y—2A=0恒成立，

ly=-i

无论攵取任何实数值时，直线/必过定点M(l,-1).

1......•思领悟••...........................

1.法一是特殊到一般的转化，法二是利用点斜式方程的特点，法三是利用直

线系.

2.处理动直线过定点问题的常用的方法：

(1)将直线方程化为点斜式；

(2)从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点；

(3)从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为.大x,

［fix,y)=0,

y)+mg(x,>)=0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，则十八由此

lg(x,y)=0.

方程组求得定点坐标.

D类型4对称问题

【例4】/XABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y=2x,若A,8两

点的坐标分别为A(—4,2),8(3,1),则点。的坐标为.

(2,4)[把A,8两点的坐标分别代入.y=2x知，点A,8都不在直线)，=2x

上，

，直线y=2x是NC的平分线所在的直线.

设点迷一4,2)关于直线y=2x的对称点为4(凡b),

b—2(a—46+2、

则既v=F，线段A4'的中点坐标为十一，牛，

。十4\22)'

b~2

—rrX2=-i,

a+4Q=4

则彳解得t\即4(4,-2).

b+2a-4{,b=-2,

、2=2乂2'

•••直线y=2x是NC的平分线所在的直线，

二4在直线8C上，

直线BC的方程为七二=丁一7，即3x+y—10=0.

1十23一4

x=2,

由1.解得

[3x+y-10=0,J=4,

...点。的坐标为(2,4).]

「....思领悟,........................

有关对称问题的两种主要类型

(1)中心对称：

x!—1a—x

①点P(x,y)关于。5，")的对称点尸(M>')满足，〜

[y=2b~y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

(2)轴对称：

①点A(a,b)关于直线4+切+C=0(3#0)的对称点4(加，〃)，，则有

n-h

--------X-1

m-a

b+n

卜B卜C=0.

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

归纳总结

1.解含有参数的直线过定点问题，将含有一个参数的二元一次方程常整理为

Aix+B\y+G+4A2X++Q)=0(其中2为常数)形式，可通过

Aix+Bi_y+Ci=0,

求解定点.

.A”+历），+C2=0

(Aix+Biy+G—0,

2.方程组“八有唯一解的等价条件是4&一42办W0,亦即