第四章随机变量数字特征

1.

问题引入§4.2方差思考：如何筛选用来拼装户外显示屏的发光二极管？两个重要指标：亮度强，亮度均匀平均亮度，即期望如何用数学作定量分引例：两个工厂生产发光二极管，其亮度分别记为X和Y，分布律如下。试问哪个工厂的产品最佳？X8910pk0.30.20.5Y8910pl0.20.40.4解：EX

=

xk

pk

=

9.2,

EY

=

yl

pl

=

9.2平均亮度相等思考：亮度是否均匀，如何用数学语言描述？X-EXfi

|X-EX|fi

(X-EX)2

fi

E(X-EX)2方差2.

方差的定义20方差是衡量随机变量取值分散程度的量。思考：一般情况，方差小的量和方差大的量哪个更好？设

X

是一个随机变量

,

若E(

X

-

EX

)2

存在,称E(X

-EX

)2

为X

的方差,记为D(X

)或Var(X

),D(

X

)

=

Var(

X

)

=

E(

X

-

EX

)2

.称

D(

X

)

为标准差或均方差

,

记为

σ

(

X

).说明：10

方差描述随机变量取值与均值(期望)EX的偏离程度。方差越小，则偏离程度越小，取值集中，

EX代表性好；方差越大，则偏离程度越大，取值分散，

EX代表性差。3.

方差的计算(1)

定义计算（随机变量函数的期望）连续型随机变量的方差2-¥(

x

-

EX

)

f

(

x)d

x,DX

=k

k+¥-

EX

)2

p

,离散型随机变量的方差

DX

=

(

xk

=1其中

P{

X

=

xk}

=

pk,

k

=

1,2,是

X

的分布律.+¥其中f

(x)为X的概率密度.(2)公式计算DX

=E(X

2

)-(EX

)2

.DX

=

E(

X

-

EX

)2

=

E[

X

2

-

2X

*

EX

+(EX

)2

]=

E(

X

2

)

-

E

2

(

X

).求函数的期望引例1：两个工厂生产发光二极管，其亮度分别记为X和Y，其分布律如下。试问哪个工厂的产品最佳？X8910pk0.30.20.5Y8910pl0.20.40.4平均亮度相等0.7622k

k(

x

-

9.2)

p

=D(Y

)

=

E(Y

2

)

-(EY

)2

=

y

2

p

-

9.22

=

0.624l

lDY

<DX

:第二组亮度分散程度小，更合适解：

EX

=

9.2,

EY

=

9.2亮度的均匀度？D(

X

)

=

E(

X

-

EX

)

=思考：如何筛选用来拼装户外显示屏的发光二极管？两个重要指标：亮度强，亮度均匀步骤：1）测量发光二极管的亮度；2）根据亮度分级，挑选亮度接近的发光二极管。2.产品的品质管理（品管部门）？元器件的使用寿命：平均寿命，寿命的稳定情况1.

如何选择参赛运动员？

平均水平，发挥的稳定程度思考：方差的本质？描述随机变量取值分散程度(即稳定程度)的量。现实中哪些问题可以用方差来定量分析？X

8

9

10P

0.3

0.2

0.5Y

8

9

10P

0.2

0.4

0.4例2.甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：其中：X为甲击中的环数；Y为乙击中的环数。试问哪一个人的射击水平较高？解：比较两个人的平均环数．甲的平均环数EX

=

9.2(环)

乙的平均环数EY

=

9.2(环)从平均环数上看，甲乙两人的射击水平一样.但两个人射击环数的方差分别为DX

=

(8

-

9.2)2

·0.3

+

(9

-

9.2)2

·0.2

+

(10

-

9.2)2

·0.5

=

0.76DY

=

(8

-

9.2)2

·0.2

+

(9

-

9.2)2

·0.4

+

(10

-

9.2)2

·0.4

=

0.624由于DY

<DX，这表明乙的射击水平比甲稳定．-

1

£

x

<

0,0

£

x

<

1,其他.1

+

x,f

(

x)

=

-

x,10,例3

设随机变量

X

具有概率密度100-1x(1

-

x)d

xx(1

+

x)d

x

+求D(X

).解

E(

X

)

==

0,120-1

022x

(1

-

x)d

xx

(1

+

x)d

x

+E(

X

)

=,16=D(

X

)

=

E(

X

2

)

-[E(

X

)]2

=

1

-

02

=

1

.6

6：1).

(非负性)DX‡0。由DX

=EX

2

-(EX

)2

得EX

2

‡

(EX

)24.

方差的性质(下面所涉及到的数学期望和方差都存在)(常数的方差)若C

是常数，则DC=0。D(CX

)=C

2

DX

。DX=0⇔P{X=c}=1。此时c=EX。标准化的随机变量令，Y

=

(

X

-

EX

)

/

DX则EY=0,DY=1。称Y是X的标准化随机变量。证明:

D(aX

+bY

)

=

E[aX

+bY

-

E(aX

+

bY

)]2=

E[a(

X

-

EX

)

+b(Y

-

EY)]2=

E

[a

2

(

X

-

EX

)

2

]

+

E

[b

2

(Y

-

EY

)

2

]+

2

E

[ab

(

X

-

EX

)(Y

-

EY

)]=

a2

DX

+

b2

DY

+

2abE

(

X

-

EX

)

(Y

-

EY

)若X,Y独立，则：E(X-EX)(Y-EY)=E

(X-EX)E(Y-EY)=0，故：D(aX+bY)=a2DX+b2DYD(aX

+bY)

=

a2DX

+b2DY

+2abE[(X

-

EX)(Y

-

EY)]若X，Y独立，则D(aX

+

bY

)

=

a2

DX

+

b2

DYD(

X

+Y

)

=

DX

+

DY6).方差的线性运算a、b为是常数，则：Xp1

0p

1

-

p1.

两点分布已知随机变量X

的分布律为则有E(

X

)

=

1

p

+

0

q

=

pp,D(

X

)

=

E(

X

2

)

-[E(

X

)]2=

12

p

+

02

(1

-

p)

-

p2

=

ppqq.二、重要概率分布的数学期望方差n

k

P{

X

=

k}

=

p

(1

-

p)k

n-k,(k

=

0,1,2,,

n),

0

<

p

<

1.2.

二项分布设随机变量X

服从参数为n,p

二项分布,其分布律为DX

=

npqEX

=

npi

=1,2,,n)P{Xi

=

0}

=

q,

P{Xi

=1}

=

pnP{

X

=

k

}

=

C

k

p

k

q

n

-

k

,

k

=

0,

,

n由

EXi=p，

DX

i

=

pq

得：则X的可能取值为0,1,…n，且服从二项分布：nDX

=

DX

i

=

npqi

=1nEX

=

EXi

=

npi

=1解：令X

=X1

++Xn

，X1,,Xn

独立且Xi

服从（0-1）分布l

>

0.e-l

,k

=

0,1,2,,k!P{

X

=

k}

=lk3.

泊松分布设

X

~

π(l),

且分布律为则有¥k

=0E(

X

)

=

klk¥k!

k

=1

(k

-

1)!lk

-1e-l

=

e-l

ell

=

le-l=

ll.E(

X

2

)

=

E[

X

(

X

-

1)

+

X

]

=

E[

X

(

X

-

1)]

+

E(

X

)+¥k

=0k!=

k(k

-

1)lk2e-l

+

l

=

l

+

l.所以D(

X

)

=

E(

X

2

)

-[E(

X

)]2=

l2

+

l

-

l2泊松分布的期望和方差都等于参数l.=

ll

.1,

a

<

x

<

b,其他.f

(

x)

=

b

-

a4.

均匀分布设

X

~

U

(a,b),

其概率密度为

则有¥-¥E(

X

)

=bxf

(

x)d

x

=

a

b

-

a0,122x

d

x

=

11

((aa

++

bb))..结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.D(

X

)

=

E(

X

2

)

-[E(

X

)]222=1

a

+

b

2b

-

axba.d

x

-

=1122((bb

--

aa))225.

正态分布设

X

~

N

(

μ,σ

2

),

其概率密度为1--

¥

<

x

<

+¥

.e

,

σ

>

0,2πσf

(

x)

=2σ

2(

x-

μ

)2则有xf

(

x)d

x+¥-¥E(

X

)

=e1d

x.2πσx2σ

2(

x-

μ

)2-+¥-¥=σx

-

μ令

=

t

x

=

μ

+

σ

t,σte d

t2π2π1t

22+¥-¥-+¥-¥2-te

2

d

t

+=

μ2π12-t+¥-¥(μ

+

σt)e

2

dt==

μμ.e12d

x.2σ2(

x-μ)2-+¥-¥(x

-

μ)=2+¥-¥D(X)

=2πt

e

2

d

t2σ

2(x

-

μ)

f

(x)d

x2+¥-¥-t

=+¥-¥+¥-¥+

e=

-

te2π

2σ

22-t2-tσ2πσ=

tx

-

μ令2πσ

22

d

t

=

0

+

2π

=

σσ

22

.正态分布的期望和方差分别为两个参数μ

和σ

2

.x

>

00

x

£

0X服从指数分布,密度函数为：f

(x)=le-lxl2lEX

=

1

，DX

=

1+¥-¥+¥0EX

=

xf

(x)dx

=

xle-lx

dxl10+¥0e dx

=-lx+¥=

-

xe

-lx

++¥-¥+¥0EX2

=

x2

f

(x)dx

=

x2le-lxdx00l2=

2+¥+¥+

2xe

dx=-x

e-lx2

-lx6.

指数分布l2D(

X

)

=

E(

X

2

)

-[E(

X