第七章 非平稳时间序序列的特征与检验

第七章非平稳时间序序列的特征与检验第一页，共四十七页，编辑于2023年，星期四第一节非平稳时间序列的特征本节基本内容：非平稳时间序列的概念

非平稳序列的分类

非平稳时间序列的统计特征

2第二页，共四十七页，编辑于2023年，星期四一、非平稳时间序列的概念

严格平稳与严格非平稳：如果序列满足：其概率分布、均值、方差、协方差及其它各高阶矩均不随时间发生变化如果时间序列的统计特征随时间的推移而发生变化，则称为非平稳时间序列。3第三页，共四十七页，编辑于2023年，星期四

弱平稳，是指时间序列的均值、方差和协方差等一、二阶矩存在并不随时间改变，表现为时间的常数。

弱平稳的三个条件：

4第四页，共四十七页，编辑于2023年，星期四【例7.1】AR(1)时间序列的平稳性分析对于AR(1)：，假设初始值，干扰项为白噪声，满足零均值独立同分布，其方差为。讨论不同系数时序列的平稳性情况。对迭代，得到:

对均值，有：，与时间无关。对方差，有：5第五页，共四十七页，编辑于2023年，星期四【例7.1】当时，分子、分母取极限可得到：当时，有：当时，与时间相关并按指数增长。可见：当，方差与时间无关，其它情形与时间相关。容易证明，协方差与方差具有同样的特征。6第六页，共四十七页，编辑于2023年，星期四【例7.1】结论当时，AR(1)过程为平稳的，因为其均值、方差与协方差均与时间无关。当时，方差与协方差均与时间有关，为非平稳的。对于经济问题而言，很少出现的情形。通常将的情形称为随机漫步过程，或者称为单位根过程。当时，方差、协方差随时间指数增长，当然也是非平稳过程。此时时间序列经过短暂的时间间隔就会迅速增加到无穷，这对实际经济变量而言是比较少见的，故我们在实践中通常不考虑这种非平稳情形。7第七页，共四十七页，编辑于2023年，星期四二、非平稳时间序列的分类随机趋势非平稳过程（stochastictrendprocess）随机趋势非平稳过程又称为差分平稳过程（differencestationaryprocess）、有漂移项的非平稳过程（non-stationaryprocesswithdrift）。其生成过程为：

趋势平稳过程（trendstationaryprocess）趋势平稳过程又称为退势平稳过程，其生成过程为：

确定性趋势非平稳过程（non-stationaryprocesswithdeterministictrend）模型为

8第八页，共四十七页，编辑于2023年，星期四三、非平稳时间序列的统计特征对单位根过程而言，有可以看出，随着时间长度的增加，相关系数趋近于常数1；在小样本条件下，随着滞后期k的增加，相关系数会不断衰减。对于AR(1)的平稳过程而言，有

可以看出，相关系数随滞后期k的增加按指数迅速衰减到0。单位根过程与平稳过程的自相关系数随滞后期的增加有显著不同的衰减速度，这个区别为我们检验非平稳性提供了一个思路，样本相关图法就是利用这个性质来检验时间序列的非平稳性的。9第九页，共四十七页，编辑于2023年，星期四随机漫步过程与平稳一阶自回归过程特征的比较随机漫步过程平稳一阶自回归过程方差随时间线性增长保持不变协方差跟时间与时间间隔都有关与时间无关自相关系数不变或缓慢衰减按照指数衰减记忆性长记忆性短记忆性t统计量的有效性传统用法无效有效10第十页，共四十七页，编辑于2023年，星期四第二节非平稳时间序列的检验方法本节基本内容：数据图示法

相关图法逆序检验法11第十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期四一、数据图示法如果时间序列是平稳的，它有一固定不变的均值，并且应该在有限的时间穿越均值，方差也保持不变，在不同的区域的波动性应该是一致的。从图形看，曲线应该围绕一条水平线上下波动，无明显的趋势性。非平稳过程可能没固定均值，或者向均值回归的时间非常长。从图形上看，大多数点不会围绕一条水平线上下波动。12第十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期四二、基于相关图的平稳性检验法检验原理

平稳序列的自相关函数要么是截尾的，要么是按照指数快速衰减到零，也就是说，较长时间间隔后的自相关函数应该趋近于0。而单位根过程的序列自相关函数没有截尾现象，衰减是很缓慢的。可以利用它们的这个统计特征进行序列平稳与非平稳的检验。

检验方法

将样本相关系数随滞后期数变化的情形描点，可以得到样本相关图（SampleCorrelogram）。根据平稳与非平稳样本相关图的不同特征，可以得出序列平稳与否的结论。13第十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期四例子：平稳AR(1)的自相关图14第十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期四例子：非平稳过程的样本自相关图15第十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期四三、逆序检验法逆序数的定义逆序逆序数逆序检验方法检验原理检验步骤16第十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期四四、游程检验游程的概念游程检验17第十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期四第三节时间序列非平稳性的单位根检验法本节基本内容：单位根过程单位根过程检验基础DF单位根检验法PP单位根检验法与ADF单位根检验法其它高效的单位根检验法简介18第十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期四一、单位根过程时间序列称为随机漫步过程，如果有：其中独立同分布，其均值、方差分别满足随机漫步过程的方差、协方差皆与时间有关，是非平稳的。带漂移的随机漫步过程：其中，19第十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期四较随机漫步过程更一般的是单位根过程。单位根过程(UnitRootProcess)的定义如下：若随机过程满足：其中，为一平稳过程，且如果包含非0常数项，称为带漂移的单位根过程：随机漫步过程是单位根过程中退化为的一个特例。20第二十页，共四十七页，编辑于2023年，星期四经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列(IntegratedProcess)，或者叫可积序列，记为I(1)。如果序列经过二阶差分后才变成平稳过程，则称序列为二阶单整序列，记为I(2)。如果序列经过d次差分后平稳，而d-1次差分却不平稳，那么称为d阶单整序列，记为I(d)，d称为单整阶数。平稳序列为零阶单整序列，记为I(0)。21第二十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期四二、单位根过程检验基础维纳过程(WienerProcess)也称为布朗运动(BrownianMotion)。22第二十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期四23第二十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期四三、DF单位根检验法假设时间序列是由下列两种模型之一产生出来：

或其中。如果，第一种为随机漫步过程，第二种为带漂移的随机漫步过程，皆为非平稳过程。如果，则为平稳过程。所谓单位根检验，就是检验是否成立。24第二十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期四单位根检验的4种情形25第二十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期四（一）情形一的DF检验法回归模型(7.29)系数的OLS估计为：构造t统计量：其中为回归残差的方差。在成立的条件下，t统计量具有如下极限：26第二十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期四DF单位根检验在情形1时t统计量的概率分布密度函数(样本数200)27第二十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期四统计量分布特征t统计量依分布收敛于维纳过程的泛函，不再服从传统的t分布，传统的t检验法失效。上面的极限分布一般称为Dickey—Fuller分布，对应的检验称为DF检验。检验统计量的极限分布是非对称、左偏的，检验值大都是负数。Dickey—Fuller分布是非标准的，因此人们用MonteCarlo方法模拟得到检验的临界值，并编成DF检验临界值表供查。28第二十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期四检验方法：在进行DF检验时，比较t统计量值与DF检验临界值，就可在某个显著性水平上拒绝或接受原假设。若t统计量值小于DF检验临界值，则拒绝原假设，说明序列不存在单位根。若t统计量值大于或等于DF检验临界值，则接受原假设，说明序列存在单位根。29第二十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期四检验回归式的变形：30第三十页，共四十七页，编辑于2023年，星期四（二）情形二的DF检验法情形二参数的估计模型为：在成立时，序列服从随机漫步过程，有以下统计量极限分布：31第三十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期四情形2时t统计量概率分布密度函数（样本数为200）32第三十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期四情形2统计量分布特征当估计模型中含有常数项时，t统计量的极限分布发生了变化，从而临界值也就不同。比情形1时更加向左偏移。33第三十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期四（三）其它情形的DF检验法Dickey、Fuller还考察了情形三、情形四下的单位根检验问题，检验统计量同前。可以证明，在情形三下，检验用的t统计量的极限分布为正态分布，从而可按照传统OLS检验法进行。在情形四下，检验用的t统计量的极限分布为非正规分布，需要参考其特殊的临界值表。34第三十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期四四、PP单位根检验法与ADF单位根检验法数据模型：其中满足白噪声要求，独立同分布，且的自相关函数记为，记。回归模型为：检验假设为：35第三十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期四PP单位根检验法原假设下：统计量存在冗余参数，需要调整为：新统计量的极限分布为：t统计量同样需要进行修正：36第三十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期四PP检验统计量：37第三十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期四对于情形一、四，Phillips、Perron证明了，修正统计量的极限分布与DF检验中对应情形的极限分布相同，从而可使用DF检验的临界值表。PP单位根检验法是针对扰动项存在序列相关性而提出的，该方法是对DF单位根检验法的进一步推广，其关键点在于对DF检验统计量进行了适当的修正。修正后的统计量与DF检验中的统计量有相同的极限分布，因此可借用DF检验临界值表进行检验。38第三十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期四单位根过程的ADF检验法P阶自回归过程的变换：39第三十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期四ADF单位根检验的4种情形：40第四十页，共四十七页，编辑于2023年，星期四Dickey和Fuller证明，对于情形一、二、四，t统计量与DF检验中对应情形的极限分布完全一致，从而可直接使用DF检验对应情形的临界值表。ADF检验中，不需要对t统计量进行修正，就可直接利用DF检验中的临界值表进行检验。这一点与PP检验是明显不同的。情形三的t统计量的极限分布为常规的t分布，因此可用常规的t检验。41第四十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期四ADF检验中对回归式的修改：42第四十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期四五、其它高效的单位根检验法简介在样本数较小时，DF单位根检验的检验功效是很低的，常常会将平稳过程误判为存在单位根。ADF与PP的检验功效尽管有所改善，但也并不让人特别满意。为了解决这个问题，提出提高单位根检验功效的检验方法：W