第一节 映射与函数

第一节映射与函数第一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四高等数学联系地点长春工业大学基础学院电子邮件qinxiwen@第二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

初等数学研究对象：常量初等方法：有限的方法初等数学是用有限的方法研究常量的数学

高等数学

研究对象：变量（函数）

研究方法：极限的方法

高等数学是用极限的方法研究变量的数学绪第三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四一元微分学一元积分学多元微分学空间解析几何多元积分学级数常微分方程高等数学第四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四第一章函数与极限第一节映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四第七节无穷小的比较第八节函数的连续性与间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质第六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四第一节映射与函数一、集合二、映射三、函数第七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

一、集合集合与元素之间的关系a∈M：若x是集合的元素；1.集合概念(1)集合：具有某种特定性质的事物的总体，集合的元素通常用A，B，S，T等表示.元素:组成这个集合的事物集合的元素通常用a，b，x，y等表示.集合分为有限集和无限集.a

M:若x不是集合的元素.(2)集合的表示法列举法:将集合的元素一一列举出来,描述法:如:第八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四N={全体自然数}，Z={全体整数}，Q={全体有理数}，R={全体实数}.(3)常用的集合记号

如果，必有,则称A是B的子集，记为

不含任何元素的集合，则称为空集记为Φ.Φ是任何集合的子集.(4)集合的关系集合:集合A内排除0的集.集合:集合B内排除0与负数的集.若，且,则称A是B的真子集,记为.若，且,则称A与B相等,记为.第九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.集合的运算设A、B是二个集合，定义(A与B的并集)(A与B的交集)(A与B的差集)设I表示我们研究某个问题的全体,则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集.A的余集或补集记为:例如:在实数集R中则有第十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）对偶律以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.集合的运算法则第十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四3.区间和邻域设a,b∈R,且a<b,开区间闭区间半开区间称a,b为区间的端点，称b－a为这些区间的长度.以上这些区间都称为有限区间.第十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四无限区间用数轴可以表示区间,区间常用I表示.引进记号：

+∞

－∞

∞（读作正无穷大）(读作负无穷大）（读作无穷大）第十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四(2)点a的去心邻域：注若不强调δ的大小，点a的去心邻域记为U(a)邻域点a的左δ邻域:开区间(a-δ,a)点a的右δ邻域:开区间(a,a+δ)(1)设δ是任一正数，称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域，记为U(a,δ)，即点a称为该邻域的中心，称δ为该邻域的半径.a第十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四二、映射1、映射的概念定义

设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记为

其中y称为元素x(在映射f下)的像,记作f(x),即y=f(x),元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作D

f,即D

f=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作Rf或f(X),即第十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四注意:(1)

一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域D

f=X集合Y,即值域的范围:对应法则f,使对每个有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个,元素x的像y是唯一的;对每个,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域是Y的一个子集,即,不一定.第十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四例1设,对每个,.显然,f是一个映射,f的定义域,值域

它是R的一个真子集.对于Rf中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设对每个,有唯一确定的

与之对应.显然,f是一个映射,f的定义域,值域Oxy-11这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上.第十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四例3设对每个,这里f是一个映射,其定义域,值域

f称为X到Y上的满射：若Rf=Y.即Y中任一元素y

f为X到Y上的单射:若对X中任意两个不同元素满射单射一一映射都是X中某元素的像.f为一一映射(或双射):若映射f既是单射又是满射.如:例1既非单射,又非满射;例2不是单射,是满射;例3既是单射,又是满射,因此是一一映射.它们的像第十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.如:从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.第十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.逆映射与复合映射设f是X到Y上的单射,定义一个从Rf到X的新映射g即对每个规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f的逆映射,记作其定义域值域注意:只有单射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第二十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四设有两个映射其中则可以确定一个从X到Z的映射,称为复合映射记作即注意:(1)映射g和f构成复合映射的条件:两者也不同时有意义.第二十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四例4设有映射对每个对每个第二十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四三、函数1.函数概念因变量自变量对每个,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作f(x),即y=函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域,定义设数集,则称映射为定义D上的函数，通常简记为f(x).D称为定义域,记作,即

记作或f(D),即第二十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的两要素:定义域与对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．例如:第二十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程给出的对应法则中,附加“”的条件,就可得到一个单值分支表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.定义:点集称为函数的图形.第二十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四常见的几种函数例5函数y=2它的定义域值域它的图形是一条平行于x轴的直线.Oxyy=2例6函数定义域D=(－∞,+∞),值域=[0,+∞).这个函数称为绝对值函数.Oxy第二十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四1-1xyo例7函数称为符号函数,定义域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.注:对任意的x,有第二十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线[x]表示不超过x的最大整数例8取整函数y=[x]如[-3.4]=-4,[－1]=－1,定义域D=(－∞,+∞),值域=Z.第二十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四例9函数是一个分段函数.它的定义域D=[0,+∞).如:yxO1第二十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.函数的几种特性(1)函数的有界性:oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX无界则称函数若有成立，f(x)在X上有界.否则称为无界.(2)有界与否是和X有关的.(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:使(3)证明无界的方法:对于任意正数M,总存在第三十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四(2)函数的单调性:xyo设函数f(x)的定义域为D,区间如果对于区间I上任意两点x1和x2,当x1<x2时,恒有则称函数f(x)在区间I上是单调增加的(单调减少的);xyo第三十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四(3)函数的奇偶性:偶函数yxox-x设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于有f(-x)=f(x)恒成立,则称f(x)为偶函数;偶函数的图形关于y轴对称.函数y=cosx是偶函数.第三十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四奇函数yxox-x设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于有f(-x)=-f(x)恒成立,则称f(x)为奇函数.奇函数的图形关于原点对称.函数y=sinx是偶函数.函数y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.第三十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四(4)函数的周期性:函数sinx,cosx的周期是函数tanx的周期是（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.有对于任一且恒成立,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l,使得第三十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四有理数点无理数点•1xyo例10狄利克雷函数

它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.第三十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四3.反函数与复合函数反函数的定义:设函数是单射,则它存在如:函数是单射,其反函数为若函数f(x)在D上是单调函数,则f-1也是f(D)上的单调函数.DD)(xfy=函数称此映射为函数f的反函数.逆映射第三十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称.相对于反函数原来的函数y=f(x)称为直接函数.第三十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四复合函数定义:设函数y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有定义,且则由下式确定的函数称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f构成的复合函数通常记为函数g与函数f构成复合函数的条件是:函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域内,即第三十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

注:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.如:如:第三十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四4.函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为则可以定义这两个函数的下列运算：和(差)

积商第四十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四例11设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)和奇函数h(x),使得证先分析如下:假若这样的g(x)、h(x)存在,使得(1)且于是有(2)利用(1)、(2)式,就可作出g(x),h(x).作则证毕.第四十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四5.初等函数(1)幂函数(