第七章 立体几何章末大盘点

第七章立体几何章末大盘点第一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四第二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四一、转化与化归思想转化与化归思想在立体几何中应用非常广泛主要有：1．由空间几何体可以画出它的三视图．以及由三视图可还原

几何体，两者之间相互转化，可培养对几何图形的直观能

力和空间想象能力．2．线线、线面、面面的位置关系，由转化思想使它们建立联

系，揭示本质，如线线平行线面平行面面平行，

线线垂直线面垂直面面垂直等．第三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四3．通过“平行平移”将一些线面关系转化平移，可间接证得

结论．4．通过添加辅助线而将立体几何问题转化为平面几何问

题．要在解题中很好地领会，自觉地运用．5．等积转换也是等价转化思想的运用．第四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四【示例1】如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为4，M、N分别是BC、CC1的中点．(1)求证：BN⊥平面AMB1；(2)求三棱锥B—AB1N的体积．第五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[解]

(1)∵M为BC中点，△ABC为正三角形，∴AM⊥BC.又侧面BCC1B1⊥底面ABC，∴AM⊥平面BCC1B1.又BN⊂平面BCC1B1，∴AM⊥BN.在正方形BCC1B1中，M、N分别为BC、CC1的中点，∴B1M⊥BN，又AM∩B1M=M，∴BN⊥平面AMB=.或第六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[领悟]

本题欲证线面垂直，先转化成证明线线垂直，而欲证线线垂直又转化为证明线面垂直．有关线面位置关系的论证往往就通过这种联系和转化得到解决．第七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四二、分类讨论思想点、线、面之间有多种位置关系，因此分类讨论思想也是立体几何中常用的思想，结合具体问题，想象到符合题设的所有可能情况，并逐一给出解答．第八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四【示例2】

(1)平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．[解析]

分类，如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面，如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．[答案]

1或4第九页，共六十五页，编辑于2023年，星期四(2)一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(

)A．l∥α

B．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α[解析]

分l∥α，l⊂α，l⊥α，l与α斜交四种情形判断．当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等，l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0，l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等，l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．[答案]

D第十页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[领悟]

当空间中线面位置关系不确定时，往往要分类讨论，如直线和平面的位置关系可分为线在平面内，线在面外，线在面外又可以分为线面平行，线面相交两种情况．第十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四三、数形结合思想[文]数形结合就是对题目中的题设和结论既分析其代数意义，又分析其几何意义，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种方法．此方法在立体几何中主要处理数学式与几何图形及某些综合问题，主要题型是研究图形的形状、位置关系、性质以及确定点、线、面之间的位置关系等．第十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四【示例3】等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．第十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[解析]如图为等腰梯形ABCD的平面图及直观图，作E′F⊥∴直观图A′B′C′D′的面积为[答案]

(1+3)第十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[领悟]

本题借助于平面图形与它的直观图之间边长的比例关系，寻找直观图中各边的长度，体现了以形助数的思想．第十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[理]数形结合思想在数学中占有重要的地位，它不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法．用向量法来解决立体几何问题，我们需要先观察几何体，通过空间图形来建立适当的空间直角坐标系，在将几何问题转化成向量问题时，需要通过图形来写出相应点的坐标，然后运用向量的坐标运算进行求解．第十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四【示例3】如图1，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．(1)确定F点的位置，使得D1E⊥平面AB1F；(2)当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的余弦值．第十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[解]以A为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系A—xyz.(1)设|DF|=x，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，E，F(x,1,0)．所以＝1－1＝0，即D1E⊥AB1.于是D1E⊥平面故当点F是棱CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.第十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四(2)连结BD，当D1E⊥平面AB1F时，F是棱CD的中点，又E是棱BC的中点，则EF∥BD.连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF.连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影，所以C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1­EF­A的平面角．因为

所以所求二面角的余弦值等于所以第十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[领悟]

“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．本题中通过数的计算论证得到形的位置关系是数形结合思想的很好体现．第二十页，共六十五页，编辑于2023年，星期四四、函数与方程思想函数思想是数学知识在更高层次上的抽象概括，即用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题，立体几何中的最值问题常用此思想去解决．第二十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四【示例4】

(2010·广州模拟)如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A＝AB＝2.(1)求证：BC⊥平面A1AC；(2)求三棱锥A1—ABC的体积的最大值．第二十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[解]

(1)证明：∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC.∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC.∵AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C，AC⊂平面AA1C，∴BC⊥平面AA1C.第二十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四(2)法一：设AC＝x，在Rt△ABC中，∵0＜x＜2,0＜x2＜4，∴当x2＝2，即x＝时，三棱锥A1—ABC的体积的最大值为BC=故即第二十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四法二：在RtABC中，AC2+BC2=AB2=4，当且仅当AC=BC时等号成立,此时AC=BC=∴三棱锥A1—ABC的体积的最大值为第二十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[领悟]解决空间中的体积最大等最值问题时，常转化成函数的最值间题，利用函数的有关方法解决．第二十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四五、反证法反证法也是立体几何中常用的数学方法，一般步骤为：反设，提出与结论相反的假设；归谬，由假设连同已知条件出发，通过逻辑推理推出矛盾(与假设或已知条件、公理、定理矛盾)；判断，矛盾的产生由假设错误引起，故原结论正确，以上三步缺一不可．第二十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四【示例5】

(2009·安徽高考)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．第二十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[解析]

对②，若成立，则可得相对棱相互垂直，故②错．对于③，当ABCD为正四面体时，高共面，故③错．①显然成立，④可转化为连接各中点的平行四边形对角线交于一点．⑤反证法．如图，设最长棱为AC，假设A，C两端点引出的另两条棱的长度之和都小于等于最长棱，即AB+AD≤AC①，BC+CD≤AC②.第二十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期四①+②得AB+BC+AD+CD≤2AC.说明：AB+BC≤AC，AD+CD≤AC中必有一个成立，这与三角形两边之和大于第三边矛盾，故⑤正确．[答案]

①④⑤第三十页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[领悟]

反证法逐年受到高考的重视，在立体几何中反证法是判定空间点、线、面的位置关系的较好方法，当正面条件较少时可以用反证法．即“正难则反”的原则．第三十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四第三十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四1．[理](2009·全国卷Ⅰ)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面

边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面

直线AB与CC1所成的角的余弦值为(

)第三十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四解析：如图，D为BC的中点，设AA1=2，由题意得连接A1B，在Rt△A1BD中∴由余弦定理得：又A1A∥C1C，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为.答案：D第三十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[文](2009·山东高考)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：α⊥β不一定推出m⊥β，反之m⊥β一定推出α⊥β，即为必要不充分条件．答案：B第三十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四2．(2008·山东高考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数

据，可得该几何体的表面积是(

)A．9π

B．10πC．11π

D．12π第三十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四解析：该几何体下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，上面是一个半径为1的球，其表面积是2π×1×3＋2×π×12＋4π×12＝12π.答案：D第三十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四3．[理](2009·重庆高考)已知二面角α－l－β的大小为50°，

P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都

是25°的直线的条数为(

)A．2B．3C．4D．5第三十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四解析：过P点作平面α、β的法向量n1、n2，过P有几条直线与α、β都成25°角即是过P有几条直线与n1、n2都成65°角．又∵α、β所成二面角为50°，∴n1、n2夹角中锐角为50°.相当于过P点有两相交直线n1、n2成50°角，过P点与n1、n2都成65°角的直线有3条，其中n1、n2所在平面内一条，平面外两条．答案：B第三十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[文]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线(

)A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条第四十页，共六十五页，编辑于2023年，星期四解析：如图，在直线CD上任取一点H，则直线A1D1与点H确定一平面A1D1HG.显然EF与平面A1D1HG有公共点O.又O∉HG.连接HO并延长，则一定与直线A1D1相交．由于点H有无数个，所以与A1D1、EF、CD都相交的直线有无数条．答案：D第四十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四4．(2010·济宁模拟)如图三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2

的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=2，则此三棱锥外接球

的半径为(

)C.2第四十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四解析：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC外接圆的直径为∴球的直径2R满足答案：D第四十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四5．(2009·天津高考)如图是一个几何体的三视图．若它的体

积是3则a＝________.第四十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，答案：第四十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四6．(2008·福建高考)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长

均为则其外接球的表面积是________．解析：设三棱锥为S－ABC，则依题意，三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝SB＝SC＝设球的半径为R，则由题意可得(R－1)2＋()2＝R2，球的表面积为S＝4πR2＝9π.答案：9π第四十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四7．[理](2009·宁夏、海南高考)如图，四棱锥S－ABCD的底面是

正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD

上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上

是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．第四十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四解：法一：(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，又SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD.(2)设正方形的边长a,则SD=又OD=所以∠SDO=60°.连接OP，由(1)知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．由SD⊥平面PAC知SD⊥OP，所以∠POD=30°，即二面角P-AC-D的大小为30°.第四十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四(3)在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.由(2)可得PD=故可在SP上取一点N，使PN=PD.过N作PC的平行线交SC于E.连接BE，BN.在△BDN中，由分析可知BN∥PO.又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，由于SN∶NP=2∶1，故SE∶EC=2∶1.第四十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期四法二：(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，如图．设底面边长为a，则高第五十页，共六十五页，编辑于2023年，星期四于是S(0,0，)，D(－a,0,0)，C(0，

a,0)，＝(0，a,0)，＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.第五十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四(2)由题设知，平面PAC的一个法向量平面DAC的一个法向量设所求二面角为θ，则cosθ＝＝所求二面角的大小为30°.第五十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四(3)在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，即当SE∶EC＝2∶1时，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.且设则而第五十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四[文](2009·安徽高考)如图，ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；(2)若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积．第五十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四解：(1)证明：连结E′A、E′D，由EA=ED，知Rt△EE′A≌Rt△EE′D，故在平面ABCD中，E′A=E′D，因此E′在线段AD的中垂线上．同理，F′在线段BC的中垂线上．由于ABCD是正方形，BC的中垂线就是AD的中垂线，所以F′也在AD的中垂线上，由于E′、F′都在AD的中垂线上，所以E′F′就是AD的中垂线，因此E′F′垂直且平分线段AD.

第五十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四(2)因为EE′∥FF′，所以E，F，E′，F′共面．因为EF∥平面ABCD，所以EF∥E′F′.又E′F′∥AB，得EF∥AB，又EF=AB=2，故四边形ABFE是平行四边形．同理，四边形CDEF是平行四边形．由∠DAE=60°，知△ADE是等边三角形．第五十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四连接BE，又由AB=AE，∠EAB=60°，知△ABE是等边三角形．由EA=EB=ED，知E′为正方形ABCD中心，连接EC，故EA=EC.因此，△CDE，△BEF，△CEF，△BCE，△BCF都是等边三角形，四面体BCEF是棱长为2的正四面体．四棱锥E-ABCD是正四棱锥，AE′＝，EE′＝，V多面体ABCDEF＝V正四棱锥E－ABCD＋V正四面体BCEF＝

第五十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四8.[理](2008·江苏高考)如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，记λ.当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．第五十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四解：由题设可知，以