第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一页，共九十一页，编辑于2023年，星期四本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质．然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．第二页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第一节矩阵的初等变换

(ElementaryOperationsofMatrix)一、消元法解线性方程组

二、矩阵的初等变换

三、小结

第三页，共九十一页，编辑于2023年，星期四引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．第四页，共九十一页，编辑于2023年，星期四解第五页，共九十一页，编辑于2023年，星期四用“回代”的方法求出解：第六页，共九十一页，编辑于2023年，星期四于是解得（2）第七页，共九十一页，编辑于2023年，星期四小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）第八页，共九十一页，编辑于2023年，星期四3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．第九页，共九十一页，编辑于2023年，星期四

因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．(augmentedmatrix)第十页，共九十一页，编辑于2023年，星期四定义1二、矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(Elementaryrowoperations)第十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期四定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换第十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期四等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价第十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期四用矩阵的初等行变换解方程组（1）：第十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期四特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．(rowechelonform)第十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期四注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．(Rowechelonformandreducedrowechelonform)(reducedrowechelonform)第二十页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例如，第二十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期四特点：

所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.第二十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期四行变换第二十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期四定理1设与为矩阵，那么（1）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵，使（2）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵，使（3）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵,使第二十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期四推论：方阵可逆的充分必要条件是，即并可验证1-==AXEAX第二十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期四利用初等变换求逆阵的方法：第二十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期四解例１第二十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第二十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期四即初等行变换第二十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例２解第三十页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第三十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第三十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例3求解矩阵方程，其中解：第三十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例4设的行最简形矩阵为，求，并求一个可逆矩阵，使第三十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期四三、小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换第三十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期四4.利用初等变换求逆阵的步骤是:第三十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第二节矩阵的秩

(Rankofamatrix)一、矩阵秩的概念

二、矩阵秩的求法

三、小结

第三十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期四一、矩阵秩的概念矩阵的秩第三十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期四简单结论:1、第三十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期四(nonsingularmatrix)(singularmatrix)4、2、3、第四十页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例1解第四十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例2解第四十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例3解计算A的3阶子式，第四十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期四另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！第四十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期四问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法推论若可逆矩阵使则第四十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期四初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解第四十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第四十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第四十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第四十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期四由阶梯形矩阵有三个非零行可知第五十页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第五十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期四则这个子式便是的一个最高阶非零子式.第五十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例5解分析：第五十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第五十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第五十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例6设已知，求与的值。第五十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期四矩阵秩的的性质：1、2、第五十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期四证明：例7设A为n阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)第五十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例8证明：若且，则第五十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期四四、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);第六十页，共九十一页，编辑于2023年，星期四思考题第六十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第三节线性方程组的解

(solutionoflinearequations)一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法三、小结、思考题

第六十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期四一、线性方程组有解的判定条件问题：(coefficientmatrix)(augmentedmatrix)（3）线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容。第六十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期四证明：只需证条件的充分性即可。第六十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期四故方程有惟一解。第六十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第六十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期四（*）解（*）称为线性方程组（3）的通解。由于参数可取任意值，故方程组（3）有无限多个解。第六十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期四定理4n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n.定理5线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b).定理6矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B).定理7设AB=C，则第六十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期四小结有唯一解bAx=()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；第六十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例1求解齐次线性方程组解二、线性方程组的解法第七十页，共九十一页，编辑于2023年，星期四即得与原方程组同解的方程组第七十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期四由此即得第七十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．第七十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换第七十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期四故方程组有解，且有第七十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期四所以方程组的通解为第七十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例４

解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为第七十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第七十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期四由于原方程组等价于方程组由此得通解：第七十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期四例５设有线性方程组解第八十页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第八十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期四其通解为第八十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期四这时又分两种情形：第八十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期四第八十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期四()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结