第三章数字特征

第三章数字特征第一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四解：直接比较，难知两射手技术的优劣。故只能也只需找出更能集中、突出地描述两射手技术水平的数字特征。让我们先来研究概率论中刻划平均值的数字特征。

例：甲乙两人各射击1000

次，射击情况如表1

所示。试问甲乙二人谁的水平较高？表1甲525200501007550乙

40020024515500环数x

i1098765不难计算出两射手命中目标的“平均环数”分别为从平均环数看，甲比乙水平高一点。频率以频率为权数的加权平均值第二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四不难看出，由于频率的随机性，如果让甲乙二人再各射击1000次

同样计算，结果一般不会相同。若令fi

表示频率，则上述二式可表示为由概率的统计定义知道，在大量试验下频率fi概率pi

稳定于从而稳定于表2P(X1=x

i)0.5260.20.050.10.0740.05环数x

i1098765P(X2=x

i)0.3980.20.2450.15700

若甲、乙的命中环数X1,

X2的分布列如表2所示，概率以概率为权数的加权平均值数学期望则

第三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第一节数学期望（均值）一离散型随机变量的数学期望

定义：设离散型随机变量X的概率函数为

P

(X=x

i

)=pii=1,2,…若级数绝对收敛，则称为随机变量X的数学期望简称期望或均值。记作EX

，即EX=如果级数不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在

数学期望的直观含义：平均值

第四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第2题：离散型随机变量X的概率函数为问X是否有数学期望?解:级数发散,所以X没有数学期望.相关知识:p-级数:p>1时级数收敛,p≤1时级数发散.第五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例：一批产品中有一、二、三、四等品、废品5种,相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其产值分别为6元、5.4元、5元、4元、0元。产值X是一个随机变量，其分布如表3求：产品的平均产值。第5题：设离散型随机变量X的概率函数为解：EX=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04=5.48(元)解：0.040.060.10.10.7P0455.46X表3求：EX

第六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四记为设连续型随机变量X

的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分为X的数学期望。例：计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量X的数学期望解：依题意二连续型随机变量的数学期望第七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例：设随机变量X

服从参数为的指数分布，求X的数学期望则解：指数分布的密度函数为这表明指数分布的数学期望为

。例：设

X~N(,2)，求

X

的数学期望。解：这表明正态分布的数学期望为。第八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四定理3.1：设Y

=g(X)，g(x)

是连续函数，那么(2)若X为连续型随机变量，其密度函数为

f(x)，(1)若X为离散型随机变量，其概率函数为求EY

时，可以不求Y=g(X)

的分布，而直接利用X

的分布。三随机变量函数的数学期望第九页，共四十一页，编辑于2023年，星期四

解：例：设随机变量X的分布列为求：EX2，E(2X-1)。P

1/81/43/81/4X

-1023例：求：EY

解：第十页，共四十一页，编辑于2023年，星期四定理3.2若(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X

,Y

)(1)若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布为(2)若(X,Y)为二维连续型随机变量，联合密度函数为f(x,y)且第十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四解：设(X,Y)的联合密度为例：求：

EXY设(X,Y)的联合概率分布为例：求：

E(X+Y)XY

1

2

1

2

3

0.1

0.30.150.2

00.25

解：(1+1)0.1+(1+2)0.2+(1+3)0+(2+1)0.3+(2+2)0.15+(2+3)0.25=3.55第十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四性质1：常量的期望就是这个常量本身,即E(c)=c.推论：E(EX)=EX性质2：随机变量X与常量c之和的数学期望等于X的期望与这个常量c的和E(X+c)=EX+c

四数学期望的性质性质3：常量c与随机变量X的乘积的期望等于c与X的期望的乘积，E(cX

)=cEX

第十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望

的同一线性函数，即E(kX

+c)=kEX+c证：

E(kX

+c)=E(kX)+c=kEX

+c性质5：两个随机变量之和（差）的数学期望等于这两个随机变量数学期望的和（差）

E(X

Y)=EXEY第十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四推论：对任意常数ci(i=1,2,…,n)、常数b及随机变量X

i(i=1,2,…,n)特别地，n个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值等于这n个随机变量期望的算术平均数。性质6：两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积,即E(XY)=EX•EY第十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四解：

EX=90.3+100.5+110.2=9.9EY

2

=620.4+720.6=43.8

例：两相互独立的随机变量X,Y

的分布如下面两表所示。0.20.50.3P11109X0.60.4P76Y求：E(X+Y

)、E(XY

)和EY2且因X与Y

相互独立，所以E(XY)=EXE

Y=9.96.6=65.34则E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5EY

=60.4+70.6=6.6设(X,Y)的联合概率分布为例：求：

E(X+Y)XY

1

2

1

2

3

0.1

0.30.150.2

00.25

解：

0.250.350.4P321Y

0.70.3P21X

EX

=10.3+20.7=1.7

EY

=10.4+20.35+30.25=1.85

E(X+Y)=EX+EY=1.7+1.85=3.55第十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二节方差解：甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量X1,

X2（单位：秒），其概率函数分别如表1、表2所示。试比较两块手表的优劣？例：P0.10.80.1X1

-101表1P0.20.60.2X2

-101表2从平均值意义上看，两块手表质量相同。从离散程度意义上看，甲表质量优于乙表。方差第十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四

一方差的定义随机变量X的方差记作DX

或VarX，即方差的定义：

标准差的定义：

称为X的标准差（均方差）DX

=E(X

-EX

)2

随机变量的方差是非负数，即DX

0，粗略地讲，当X

的可能取值密集在它的期望值

EX附近时，方差较小，反之方差则较大。因此方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度。第十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四

二方差的计算公式方差的计算公式：证：

DX

=E(X

-EX

)2=E{X

2-2XEX+(EX

)2}=EX

2-E(2X

EX)+E[(EX

)2]=EX

2-2•EX

•(EX)+(EX)2=EX

2-(EX

)2如果X是连续型随机变量，并且有密度函数f

(x)，则如果X是离散型随机变量，并且P{X

=xk}=pk

(k=1,2,…)，则DX

=E(X

-EX

)2第十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期四甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量X1,

X2,其概率函数分别如表1、表2所示。试比较两块手表的优劣？例：P0.10.80.1X1

-101表1P0.20.60.2X2

-101表2解：第二十页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例：计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量X

的方差解：依题意例：

2x0<x<1已知X~f

(x)=求：DX0其他解：第二十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四

因

DX=EX

2

-(EX

)2=

0.15ax2+bx+c0<x<1

例：X

的密度函数是f(x)=

0其他

已知EX

=0.5，DX=0.15

求系数：a,b,c解：

所以

EX

2=DX+(EX

)2=

0.15+0.25=0.4第二十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四三方差的性质性质1：常量的方差等于零。即：设c为常数，则Dc=0证:D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0性质2：

随机变量与常量之和的方差就等于随机变量的方差本身即：D(X+c)=DX

证：D(X+c)=E{X+c-E(X+c)}2=E{X+c-EX-c)2=E(X-EX)2=DX

性质3：常量与随机变量乘积的方差，等于常量的平方与随机变量方差的乘积。即：D(cX)=c2DX证：D(cX)=E{cX

-E(cX

)}2=E{cX-cEX

}2=E{c(X-EX)}2

=E{c

2(X

-EX)2}=c2DX性质4：设k,b为常数，则：D(kX+b)=k2DX第二十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四性质5：两个独立随机变量和(差)的方差，等于这两个随机变量

方差的和。即：D(X

Y)=DX

+DY证：D(X

Y)=E{（X

Y）-E(X

Y

)}2=E{(X

-EX)(Y

-EY

)}2 =E{(X

-EX

)2+(Y-EY

)22(X

-EX

)(Y-EY)} =DX

+DY

2E(XY-X

EY-Y

EX+EX

EY

)=E(X

-EX

)2+E(Y-EY

)22E{(X

-EX

)(Y-EY)}=DX

+DY

2（EXY-EX

EY-EY

EX+EX

EY

)=DX

+DY

2（EXY-EXEY）=DX

+DY

性质

5可以推广到任意有限个随机变量的情况

即，若X1,X2,…,X

n相互独立，则有

D(X1+X2+…+X

n)=DX1+DX

2+...+DX

nD(a1X1+a2X2+…+anX

n+b)=a12DX1+a22DX2+...+an2DX

n=DX

+DY

2(EXEY-EXEY）第二十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四性质6：随机变量X的方差为DX=0的充要条件是P(X=EX)=1定义：随机变量X的标准化随机变量第二十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四

第五节协方差相关系数一协方差1协方差的定义定义:对于二维随机变量(X,Y),称E[(X-EX)(Y-EY)]为X与Y的协方差记做Cov(X,Y),即

Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]注：X与Y的协方差是反映X与Y之间相关关系的一个特征数2协方差的计算协方差的计算公式证：Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=E(XY-YEX-XEY+EXEY)=E(XY)-E(YEX)-E(XEY)+E(EXEY)=E(XY)-EXEY由协方差的计算公式知（1）若X与Y独立，则

Cov(X,Y)=0（2）对X与Y有D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)第二十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例：设二维随机变量(X,Y)的联合分布如下表所示，求Cov(X,Y),并判断X,Y是否独立.XY-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8X-101Y-101P3/82/83/8P3/82/83/8解：可求出(X,Y)关于X,Y的边缘分布：

EX

=(-1)3/8+02/8+13/8=0EY=0

Cov(X,Y)=E(XY)-EX

EY=0虽然Cov(X,Y)=0，但P(X

=0,Y

=0)P(X=0)P(Y

=0)X,Y不独立

X与Y独立Cov(X,Y)=0第二十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四解：由联合密度可求出(X,Y)关于X,Y

的边缘密度函数分别为：例：设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为：

x+y0x1,0y1

f(x,y)=0其他求：Cov(X,Y)。

x+1/20x1

fX(x)=

0其他

y+1/20y1

fY(y)=

0其他第二十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四性质4：Cov(X1+X2

,Y)=Cov(X

1,Y)+Cov(X2,Y)

性质1：

Cov(X,Y)=Cov(Y,X）

协方差性质2：Cov(X,c)=0

性质3：Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)Cov(X,Y)=E[(X–EX)(Y-EY)]3协方差的性质

Cov(X,Y1+Y2)=Cov(X,Y1)+Cov(X,Y2)

Cov(X,X)=DX

第二十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期四定义：对于二维随机向量(X,Y)

，如果DX

>0，DY

>0，则称为X,Y

的线性相关系数，简称相关系数，记作

X,Y或XY

或

。即：

二相关系数第三十页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例：设二维随机变量(X,Y)的联合分布如下表所示，求

X,Y

X

Y

-101100.20.120.30.40解：可求出X,Y的边缘分布：X

12Y-101P0.30.7P0.30.60.1

EX=10.3+20.7=1.7EY

=-0.2

Cov(X,Y)=E(XY)-EX

EY=-0.5-1.7(-0.2)=-0.16第三十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四解：例：设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为：

x+y0x1,0y1

f(x,y)=0其他求：X,Y

x+1/20x1

fX(x)=

0其他

y+1/20y1

fY(y)=

0其他第三十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2相关系数的性质性质1：

x,Y=

Y,X

ax,aY=

X,Y

性质2：|

|1性质3：||=

1的充要条件是X与Y以概率1存在线性关系。即存在常数a,b

使得P(Y=aX+b)=1||=

1称X

与Y

完全线性相关=

1完全正相关=-1完全负相关||<

1X与Y

之间线性相关的程度随着||的减少而减弱

=

0称X

与Y

不相关或零相关相关系数

是刻划随机变量X,Y之间线性关系强弱的特征数

注:

由于=

0等价于Cov(X,Y)=0,所以判断X,Y是否相关,

只需判断Cov(X,Y)是否为0第三十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四注：X

与Y独立，则X

与Y

不相关（=

0）。但