河北省秦皇岛中学2024年高二数学第一学期期末统考试题含解析

河北省秦皇岛中学2024年高二数学第一学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于()A.6 B.5C.4 D.22．已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（）A.3 B.2C. D.3．观察：则第行的值为（）A. B.C. D.4．展开式的第项为（）A. B.C. D.5．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱?”，则第人得钱数为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱6．已知直线与圆相切，则的值是（）A. B.C. D.7．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.8．第届全运会于年月在陕西西安顺利举办，其中水上项目在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元，设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时值为（）A. B.C. D.9．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是A. B.C. D.10．已知等差数列的前项和为，，，则（）A. B.C. D.11．下列命题中正确的是（）A.抛物线的焦点坐标为B.抛物线的准线方程为x=−1C.抛物线的图象关于x轴对称D.抛物线的图象关于y轴对称12．曲线y＝lnx在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为（）A.1 B.eC.－1 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点，连接，则点到平面的距离为__________.14．点到直线的距离为______.15．已知直线与直线垂直，则实数的值为___________.16．设正方形的边长是，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于，两点（1）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（2）若点是直线上的动点，且，求面积的最小值18．（12分）已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式及前项的和.19．（12分）若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)（1）求双曲线的方程；（2）若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率20．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4人参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？21．（12分）设命题p：实数x满足，其中；命题q：若，且为真，求实数x的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围22．（10分）如图，多面体中，平面平面，，四边形为平行四边形.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】先求出,再利用焦半径公式即可获解.【题目详解】由题意，,解得所以故选：B.2、D【解题分析】利用抛物线的定义求解.【题目详解】因为点在抛物线上，，解得，利用抛物线的定义知故选：D3、B【解题分析】根据数阵可知第行为，利用等差数列求和，即可得到答案；【题目详解】根据数阵可知第行为，，故选：B4、B【解题分析】由展开式的通项公式求解即可【题目详解】因为，所以展开式的第项为，故选：B5、A【解题分析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值.【题目详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列，设数列、、、、公差为，则，解得，故.故选：A.6、D【解题分析】直线与圆相切，直接通过求解即可.【题目详解】因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以，.故选：D7、C【解题分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.【题目详解】解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝y，p＝，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，）.故选：C8、A【解题分析】根据题意得到泳池维修费用的的解析式，再利用导数求出最值即可【题目详解】解：设泳池维修的总费用为元，则由题意得，则，令，解得，当时，；当时，，故当时，有最小值因此，当较短池壁为时，泳池的总维修费用最低故选A9、A【解题分析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.【题目详解】,，且a,b为正数，，当且仅当，即时，，若不等式对任意实数x恒成立，则对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，，，故选：A【题目点拨】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.10、C【解题分析】利用已知条件求得，由此求得.【题目详解】依题意，解得，所以.故选：C【题目点拨】本小题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.11、C【解题分析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案.【题目详解】抛物线的焦点坐标为，故A错误；抛物线的准线方程为，故B错误；抛物线的图象关于x轴对称，故C正确，D错误；故选：C.12、D【解题分析】设出点坐标，结合导数列方程，由此求得切点坐标并求得切线的斜率.【题目详解】设切点为，，故在点的切线的斜率为，所以，所以切点为，切线的斜率为.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】利用转化法，根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.【题目详解】设是的中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，因为平面，所以，，于是有，底面为矩形，所以有，，因为平面，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因为，所以，故答案为：14、【解题分析】直接利用点到直线的距离公式计算即可.【题目详解】点到直线的距离为.故答案为：.15、【解题分析】由直线垂直的充要条件列式计算即可得答案.【题目详解】解：因为直线与直线垂直，所以，解得故答案为：16、【解题分析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.【题目详解】正方形的面积为，如下图所示：阴影部分的面积为:，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.【题目点拨】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）是,；（2）【解题分析】（1）由题意设出所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得为定值；（2）当的斜率为0时，求得三角形的面积为；当的斜率不为0时，由弦长公式求解，再由点到直线的距离公式求到的距离，代入三角形面积公式，利用函数单调性可得三角形的面积大于，由此可得面积的最小值【题目详解】（1）由题意知，直线斜率存在，不妨设其方程为，联立抛物线的方程可得，设，，则，，所以，，所以，所以是定值（2）当直线的斜率为0时，，又，，此时当直线的斜率不力0时，，又因为，且直线的斜率不为0，所以，即，所以点到直线的距离，此时，因为，所以，综上，面积的最小值为18、（1）证明见解析；（2），.【解题分析】（1）证明出，即可证得结论成立；（2）由（1）的结论并确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，再利用分组求和法可求得.【小问1详解】证明：因为数列满足，，则，且，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，故数列为等比数列.【小问2详解】解：由（1）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，，因此，.19、（1）（2）【解题分析】（1）根据题意列方程组求解（2）待定系数法设直线后，由条件求出坐标后代入双曲线方程求解【小问1详解】，解得，故双曲线方程为【小问2详解】，故设直线方程为则，由得：故，点在双曲线上，则，解得直线l的斜率为20、（1）105种（2）105种（3）87种【解题分析】（1）至多有1名主任参加，包括两种情况：一种是无主任参加，另一种是只有1名主任参加，利用分类计数原理可得结果；（2）呼吸内科至少2名医生参加，分三种情况：第一种是呼吸内科2名医生参加，第二种呼吸内科3名医生参加，第三种呼吸内科4名医生参加，然后利用分类计数原理可得结果；（3）由于张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，分有张雅和无张雅两种情况求解即可.【题目详解】（1）直接法：若无主任，若只有1名主任，共105种，间接法：（2）直接法：，间接法：（3）张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类第一类：若有张雅，第二类：若无张雅，则李亮必定去，共87种【题目点拨】此题考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决此题的关键，属于中档题.21、(1)(2)【解题分析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；写出命题所对应的集合，命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式组可求解【题目详解】解：(1)由，其中；解得，又，即，由得：，又为真，则，得：，故实数x的取值范围为；由得：命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，A是B的真子集，所以，即故实数m取值范围为：.【题目点拨】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题22、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）先通过平面平面得到，再结合，可得平面，进而可得结论；（2）取的中点，的中点，连接，，以点为坐标原点，分别以，，为轴，