2024学年云南省龙陵一中数学高二上期末统考模拟试题含解析

2024学年云南省龙陵一中数学高二上期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在的展开式中，的系数为（）A. B.5C. D.102．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，，则的离心率为（）A. B.C. D.3．某市统计局网站公布了2017年至2020年该市政府部门网站的每年的两项访问量，数据如下：年度项目2017年2018年2019年2020年独立用户访问总量（单位：个）2512573924400060989网站总访问量（单位：次）23435370348194783219288下列表述中错误的是（）A.2017年至2018年，两项访问量都增长幅度较大；B.2018年至2019年，两项访问量都有所回落；C.2019年至2020年，两项访问量都又有所增长；D.从数据可以看出，该市政府部门网站的两项访问量都呈逐年增长态势4．将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为、，记事件A为“为偶数”，事件B为“”，则的值为（）A. B.C. D.5．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.6．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为A. B.C. D.7．已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则的值为A. B.C. D.8．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）A. B.C. D.9．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝，＝，＝，则＝（）A.++ B.+C.++ D.+10．如图在平行六面体中，与的交点记为．设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.11．已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.12．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件，则的最大值为_________14．已知抛物线的焦点为，定点，若直线与抛物线相交于、两点（点在、中间），且与抛物线的准线交于点，若，则的长为______.15．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.16．过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为4，则线段AB的长度为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的方程;（2）过原点的直线与圆交于M，N两点，若的面积为，求直线的方程.18．（12分）已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值.20．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点（1）求证：平面，并求直线与平面的距离；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值21．（12分）设或，（1）若时，p是q的什么条件？（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围22．（10分）如图，四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，且，为的中点（1）求证：；（2）求点到平面的距离

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【题目详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【题目点拨】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项2、B【解题分析】由题意结合几何性质可得为等腰三角形，且，所以，求出的长，结合椭圆的定义可得答案.【题目详解】如图，由题意轴，轴，则又为的中点，则为的中点，又，则为等腰三角形，且，所以将代入椭圆方程得，，即所以，则由椭圆的定义可得，即则椭圆的离心率故选：B3、D【解题分析】根据表格数据，结合各选项的描述判断正误即可.【题目详解】A：2017年至2018年，两项访问量分别增长、，显然增长幅度相较于后两年是最大的，正确；B：2018年至2019年，两项访问量相较于2017年至2018年都有回落，正确；C：2019年至2020年，两项访问量分别增长、，正确；D：由B分析知，该市政府部门网站的两项访问量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增长态势，错误.故选：D.4、B【解题分析】利用条件概率的公式求解即可.【题目详解】根据题意可知，若事件为“为偶数”发生，则、两个数均为奇数或均为偶数，其中基本事件数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共个基本事件，∴,而A、同时发生，基本事件有当一共有9个基本事件，∴，则在事件A发生的情况下，发生的概率为,故选:5、B【解题分析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.【题目详解】解：根据题意，设，所以①，②，所以，①②得：，即，因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，所以，即，所以抛物线，准线方程为.故选：B6、D【解题分析】由题意，双曲线的渐近线方程为，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴椭圆方程为：.故选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.7、C【解题分析】根据题意可知，结合的条件，可知，故选C考点：椭圆和双曲线性质8、C【解题分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.【题目详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.故选：C.9、B【解题分析】利用向量三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出【题目详解】如图所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故选：B10、B【解题分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于、、的表达式.【题目详解】故选：B.11、B【解题分析】根据抛物线和写出焦点坐标，利用题干中的坐标相等，解出，结合从而求出答案.【题目详解】抛物线的焦点为，双曲线的，，所以，所以双曲线的右焦点为：，由题意，，两边平方解得，，则双曲线的渐近线方程为：.故选：B.12、C【解题分析】当平面时，三棱锥体积最大，根据棱长与球半径关系即可求出球半径，从而求出表面积.【题目详解】当平面时，三棱锥体积最大.又，则三棱锥体积，解得；故表面积.故选：C.【题目点拨】关键点点睛：本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题，本题的关键是判断当平面时，三棱锥体积最大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】根据题意，画出可行域，找出最优解，即可求解.【题目详解】根据题意，不等式组所表示的可行域如图阴影部分，由图易知，取最大值的最优解为，故.故答案为：314、【解题分析】分别过点、作、垂直于抛物线的准线于、，则，求出直线的方程，可求得抛物线的焦点的坐标，可得出抛物线的标准方程，再将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的纵坐标，利用抛物线的定义可求得线段的长.【题目详解】如图，分别过点、作、垂直于抛物线的准线于、，则，由得，所以，，又，所以，直线的方程为，所以，，则，则抛物线的方程为，设点的纵坐标为，由，得或，因为点在、之间，则，所以，.故答案为：.15、2【解题分析】题中几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.【题目详解】解：因为，又，所以，，则.故答案为：2.【题目点拨】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.16、9【解题分析】由焦点弦公式和中点坐标公式可得.详解】设，则，即，.故答案为：9三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）直线的方程为或或【解题分析】（1）由弦的中垂线与直线的交点为圆心即可求解；（2）由，可得或，进而有或，显然直线斜率存在，设直线，由点到直线的距离公式求出的值即可得答案.【小问1详解】解：设弦的中点为，则有，因为，所以直线，所以直线的中垂线为，则圆心在直线上，且在直线上，联立方程解得圆心，则圆的半径为，所以圆方程为；【小问2详解】解：设圆心到直线的距离为，因为，所以或，所以或，显然直线斜率存在，所以设直线，则或，解得或或，故直线的方程为或或.18、（1）（2）6【解题分析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【小问1详解】由题意可得，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；【小问2详解】由题意可设的方程为，联立方程得，设，，则由根与系数关系有，所以，根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，所以四边形ABDE面积为，令得，由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．19、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据周长可求，再根据离心率可求，求出后可求椭圆的方程.（2）当直线轴时，计算可得的面积的最大值为，直线不垂直轴时，可设，联立直线方程和椭圆方程可求，设与平行且与椭圆相切的直线为：，结合椭圆方程可求的关系，从而求出该直线到直线的距离，从而可求的面积的最大值为.【题目详解】（1）由椭圆的定义可知，的周长为，∴，，又离心率为，∴，，所以椭圆方程为.（2）当直线轴时，；当直线不垂直轴时，设，，，∴.设与平行且与椭圆相切的直线为：，，∵，∴，∴距的最大距离为，∴，综上，面积的最大值为.【题目点拨】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，而面积的最值的计算，则可以转化为与已知直线平行且与椭圆相切的直线与已知直线的距离来计算，此类转化为面积最值计算过程的常规转化.20、（1）证明见解析，直线与平面的距离为（2）【解题分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得平面，以及求得直线与平面的距离；（2）利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值【小问1详解】解：因为平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、，，，，，所以，，，所以，，，又因为，因此，平面.所以，平面的一个法向量为，，平面，平面，则平面，所以，直线到平面的距离为.【小问2详解】解：若，则、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，.因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.21、（1）充要条件；（2）.【解题分析】（1）根据解一元二次不等式的方法，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【小问1详解】因为，所以，解得或，显然p是q的充要条件；【小问2详解】，当时，该不等式的解集为全体实数集，显然由，但不成立，因此p是q的充分不必要条件，不符合题意；当时，该不等式的解集为：，显然当时，不一定成立，因此p不是q的必要不充分条件，当时，该不等式解集为：，要想p是q的必要不充分条件，只需，而，所以，因此a的取值范围为：.22、（1）证明见