2024届惠州市实验中学高二上数学期末教学质量检测试题含解析

2024届惠州市实验中学高二上数学期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列抛物线中，以点为焦点的是（）A. B.C. D.2．已知函数(且，)的一个极值点为2，则的最小值为（）A. B.C. D.73．已知数列中，，()，则（）A. B.C. D.24．方程化简的结果是（）A. B.C. D.5．已知p、q是两个命题，若“（￢p）∨q”是假命题，则（）A.p、q都是假命题 B.p、q都是真命题C.p是假命题q是真命题 D.p是真命题q是假命题6．积分（）A. B.C. D.7．若直线与圆：相切，则（）A.-2 B.-2或6C.2 D.-6或28．在长方体中，若，，则异而直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．某地为应对极端天气抢险救灾，需调用A，B两种卡车，其中A型卡车x辆，B型卡车y辆，以备不时之需，若x和y满足约束条件则最多需调用卡车的数量为（）A.7 B.9C.13 D.1410．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（）A.底面边长为6米 B.体积为立方米C.侧面积为平方米 D.侧棱与底面所成角的正弦值为11．在棱长为4的正方体中，为的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足，则点P轨迹围成的图形的面积为（）A. B.C. D.12．在三棱柱中，，，，则这个三棱柱的高（）A1 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂______盏灯笼14．过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的一般式方程为___________.15．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.16．若无论实数取何值，直线与圆恒有两个公共点，则实数的取值范围为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（2）试估计测评成绩的75%分位数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例18．（12分）（１）求焦点在x轴上,虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程；（2）求经过点的抛物线的标准方程；19．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由21．（12分）已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.22．（10分）已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程.【题目详解】∵抛物线为，∴可设抛物线方程为，∴即，∴抛物线方程为，故选：A.2、B【解题分析】求出函数的导数，由给定极值点可得a与b的关系，再借助“1”的妙用求解即得.【题目详解】对求导得：，因函数的一个极值点为2，则，此时，，，因，即，因此，在2左右两侧邻近的区域值一正一负，2是函数的一个极值点，则有，又，，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：B3、A【解题分析】由已知条件求出，可得数是以3为周期的周期数列，从而可得，进而可求得答案【题目详解】因为，()，所以，所以数列的周期为3，，故选：A4、D【解题分析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解.【题目详解】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；∴；∴椭圆的方程是，即为化简的结果故选：D5、D【解题分析】由已知可得￢p，q都是假命题，从而可分析判断各选项【题目详解】∵“（￢p）∨q”是假命题，∴￢p，q都是假命题，∴p真，q假，故选：D.6、B【解题分析】根据定积分的几何意义求值即可.【题目详解】由题设，定积分表示圆在x轴的上半部分，所以.故选：B7、B【解题分析】利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出的值.【题目详解】圆心为，半径为，由题意得：，解得：或6.故选：B8、C【解题分析】通过平移把异面直线平移到同一平面中，所以取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线与所成角为和所成角，通过解三角形即可得解.【题目详解】根据长方体的对称性可得体对角线过中心点，取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线和所成角为和所成角，连接，在中，，，，所以则异而直线与所成角的余弦值为：，故选：C.9、B【解题分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【题目详解】设调用卡车的数量为z，则，其中x和y满足约束条件，作出可行域如图所示：当目标函数经过时，纵截距最大，最大.故选：B10、D【解题分析】连接底面正方形的对角线交于点，连接，则为该正四棱锥的高，即平面，取的中点，连接，则的大小为侧面与底面所成，设正方形的边长为，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.【题目详解】连接底面正方形的对角线交于点，连接则为该正四棱锥的高，即平面取的中点，连接，由正四棱锥的性质，可得由分别为的中点，所以，则所以为二面角的平面角，由条件可得设正方形的边长为，则,又则,解得故选项A正确.所以,则该正四棱锥的体积为，故选项B正确.该正四棱锥的侧面积为，故选项C正确.由题意为侧棱与底面所成角，则，故选项D不正确.故选：D11、A【解题分析】构造辅助线，找到点P轨迹围成的图形为长方形，从而求出面积.【题目详解】取的中点E，的中点F，连接BE，EF，AF，则由于为的中点，可得，所以∠CBE=∠ECN，从而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因为BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以点P轨迹围成的图形为矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面积为.故选：A12、D【解题分析】先求出平面ABC的法向量，然后将高看作为向量在平面ABC的法向量上的投影的绝对值，则答案可求.【题目详解】设平面ABC的法向量为，而，，则,即有,不妨令,则,故,设三棱柱的高为h，则,故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据给定条件，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，利用等比数列前n项和公式计算作答.【题目详解】依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，公比，前9项和为1533，于是得，解得，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.故答案为：314、【解题分析】已知圆的圆心，点在以为直径的圆上，两圆相减就是直线的方程.【题目详解】，圆心，点在以为直径的圆上，，所以圆心是，以为直径的圆的圆的方程是，直线是两圆相交的公共弦所在直线，所以两圆相减就是直线的方程，，所以直线的一般式方程为.故答案为：【题目点拨】结论点睛：过圆外一点引圆的切线，那么以圆心和圆外一点连线段为直径的圆与已知圆相减，就是切点所在直线方程，或是两圆相交，两圆相减，就是公共弦所在直线方程.15、【解题分析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【题目详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，①步：即步两阶，有种；②步：即步两阶与步一阶，有种；③步：即步两阶与步一阶，有种；④步：即步两阶与步一阶，有种；⑤步：即步两阶与步一阶，有种；⑥步：即步一阶，有种；综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；故7步登完楼梯的概率为故答案为：16、【解题分析】根据点到直线的距离公式得到，根据，解不等式得到答案.【题目详解】依题意有圆心到直线的距离，即，又无论取何值，，故，故.故答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）20人（2）（3）【解题分析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例【小问1详解】由频率分布直方图知，分数在[50，90）频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以分数在[40，90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人【小问2详解】测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为【小问3详解】由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为18、（1）；（2）或.【解题分析】（1）由虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2=a2+b2以及离心率，求出a2，写出双曲线的标准方程；（2）设出抛物线方程，利用经过，求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程【题目详解】焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1（a>0,b>0）由题意，得解得b=6,解得，所以焦点在x轴上的双曲线的方程为（2）由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：或（p>0）当方程为，将点代入得16=4p，即p=4,抛物线方程为：；当方程为，将点代入得4=8p，即p=,抛物线方程为：；19、（1）证明见解析；（2）【解题分析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.【题目详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，则，所以，，，，由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，所以，因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.【题目点拨】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角20、（1）；（2）存在，理由见解析.【解题分析】（1）根据题意用定义法求解轨迹方程；（2）在第一问的基础上，设出直线l的方程，联立椭圆方程，用韦达定理表达出两根之和，两根之积，求出直线l的垂直平分线，从而得到D点坐标，证明出结论.【小问1详解】由题意得：，所以，，而，故动点P的轨迹E的方程为以点、为焦点的椭圆方程，由得：，，所以动点P的轨迹E的方程为；【小问2详解】存，理由如下：显然，直线l的斜率存在，设为，联立椭圆方程得：，设，，则，，要想以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，则点D为AB垂直平分线上一点，其中，，则，故AB的中点坐标为，则AB的垂直平分线为：，令得：，且无论为何值，，点D在线段