吉林省重点中学2024届数学高二上期末质量检测试题含解析

吉林省重点中学2024届数学高二上期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．渐近线方程为的双曲线的离心率是（）A.1 B.C. D.22．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（）A.0 B.C. D.3．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线4．设R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A. B.C. D.6．如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，在上，且平面，则M点的坐标为（）A. B.C. D.7．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.8．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量=(m,n)与向量=(1,-1)垂直的概率为()A. B.C. D.9．设函数在R上存在导数，对任意的有，若，则k的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则最大值为A.3 B.4C.7 D.911．双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.12．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则A.2 B.3C. D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，若，则实数___________.14．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，，，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥外接球的表面积是___________.15．在等差数列中，，公差，则_________16．已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线，过点作直线（1）若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程（2）若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，求弦长18．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的极大值与极小值；（2）若函数在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.19．（12分）已知二次函数.（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.（2）解关于的不等式（其中）.20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点（A、B非椭圆顶点），求的最大值.21．（12分）已知函数（1）求的单调区间；（2）若，求的最大值与最小值22．（10分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】根据双曲线渐近线方程可确定a,b的关系，进而求得离心率.【题目详解】因为双曲线近线方程为，故双曲线为等轴双曲线，则a=b,故离心率为，则，故选：B.2、D【解题分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切线坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离【题目详解】点是曲线上的任意一点，设，令，解得1或（舍去），，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，点到直线的最小距离.故选：D.3、C【解题分析】设是界限上的一点，则，即，再根据双曲线的定义即可得出答案.【题目详解】解：设是界限上的一点，则，所以，即，在中，，所以点的轨迹为双曲线，即该界线所在曲线为双曲线.故选：C.4、A【解题分析】根据不等式性质判断即可.【题目详解】若“”，则成立；反之，若，当，时，不一定成立.如，但.故“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A.【题目点拨】本题考查充分条件、必要调价的判断，考查不等式与不等关系，属于基础题.5、A【解题分析】分别由矩形面积公式与微积分几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【题目详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于，故选：A6、A【解题分析】设点的坐标为，由平面,可得出，利用空间向量数量积为0求得、的值，即可得出点的坐标.【题目详解】设点的坐标为，,,，，则，,，平面,即，所以，，解得，所以，点的坐标为，故选：A.7、D【解题分析】利用抽样的性质求解【题目详解】所有学生数为，所以所求概率为.故选：D8、A【解题分析】根据分步计数乘法原理求得所有的)共有12个，满足两个向量垂直的共有2个，利用古典概型公式可得结果.【题目详解】集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数,有4种方法；从集合{1,3,5}中随机抽取一个数，有3种方法，所以，所有的共有个，由向量与向量垂直,可得，即,故满足向量与向量垂直的共有2个：，所以向量与向量垂直的概率为，故选A.【题目点拨】本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.9、C【解题分析】构造函数，求导后利用单调性，对题干条件变形后得到不等关系，求出答案.【题目详解】令，则恒成立，故单调递增，变形为，即，从而，解得：，故k的取值范围是故选：C10、A【解题分析】整理数列的通项公式有：，结合可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，，原问题即：恒成立，当时，，即>3，综上可得：的最大值为3.本题选择A选项点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项11、A【解题分析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.12、D【解题分析】由题意，圆心到直线的距离，∴，∵直线∴直线的倾斜角为，∵过分别作的垂线与轴交于两点，∴，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】利用向量平行的条件直接解出.【题目详解】因为向量，且，所以，解得：2故答案为：214、##【解题分析】根据球的截面圆圆心与球心的连线垂直截面可确定垂直平面ABCD，构造直角三角形求解球的半径即可得解.【题目详解】如图，分别取BC，AD的中点，E，连接PE，，，.因为是边长为4的等边三角形，所以.因为四边形ABCD是等腰梯形，，，，所以，.因为四棱锥的体积为24，所以，所以.因为E是AD的中点，所以.因为，所以平面ABCD.因为，所以四边形ABCD外接圆的圆心为，半径.设四棱锥外接球的球心为O，连接，OP，OB，过点О作，垂足为F.易证四边形是矩形，则，.设四棱锥外接球的半径为R，则，即，解得，故四棱锥外接球的表面积是.故答案为：15、15【解题分析】由等差数列通项公式直接可得.【题目详解】.故答案为：1516、【解题分析】利用椭圆的定义可得轨迹方程.【题目详解】连接，由题意，，则，由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，故短半轴长为1，故轨迹方程为：.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）8【解题分析】（1）根据题意设直线的方程为，联立，消去得，因为只有一个公共点，则求解.（2）抛物线的焦点为，设直线的方程为，联立，消去得，再根据过抛物线焦点的弦长公式求解.【题目详解】（1）设直线的方程为，联立，消去得，则，解得或，∴直线的方程为：或（2）抛物线的焦点为，则直线的方程为，设，联立，消去得，∴，∴【题目点拨】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18、（1）的极大值为0,的极小值为（2）2【解题分析】（1）先求导可得，再利用导函数判断的单调性，进而求解；（2）由（1）可得在上的最小值为，由，，可得的最大值为，进而根据求解即可.【题目详解】解:（1）当时，，所以，令，则或，则当和时，；当时，，则在和上单调递增，在上单调递减,所以极大值为；的极小值为.（2）由题,，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值即为的极小值；因为,,所以，因为，则，所以.【题目点拨】本题考查利用导函数求函数的极值,考查利用导函数求函数的最值,考查运算能力.19、（1）；（2）答案见解析.【解题分析】（1）结合分离常数法、基本不等式求得的取值范围.（2）将原不等式转化为，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【题目详解】（1）不等式即为：，当时，可变形为：，即.又，当且仅当，即时，等号成立，，即.实数的取值范围是：.（2）不等式，即，等价于，即，①当时，不等式整理为，解得：；当时，方程的两根为：，.②当时，可得，解不等式得：或；③当时，因为，解不等式得：；④当时，因为，不等式的解集为；⑤当时，因为，解不等式得：；综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为.20、（1）（2）【解题分析】（1）根据离心率和点在椭圆上建立方程，结合，然后解出方程即可（2）设直线的斜率为，联立直线与椭圆的方程，然后利用韦达定理表示出，两点的坐标关系，并表示出为直线斜率的函数，然后求出的最大值【小问1详解】由椭圆过点，则有：由可得：解得：则椭圆的方程为：【小问2详解】由（1）得，，已知直线不过椭圆长轴顶点则直线的斜率不为，设直线的方程为：设，，联立直线方程和椭圆方程整理可得：故是恒成立的根据韦达定理可得：，则有：由，可得：所以的最大值为：21、（1）单调递增区间是和，单调递减是；（2）函数的最大值是，函数的最小值是.【解题分析】（1）利用导数和函数单调性关系，求函数的单调区间；（2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.【小问1详解】