北京市顺义区、通州区2024届高二数学第一学期期末质量检测试题含解析

北京市顺义区、通州区2024届高二数学第一学期期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.2．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边OM相切于点C时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0），R是y轴正半轴上的一动点，当最大时，点R的纵坐标为（）A.1 B.C. D.23．甲、乙、丙、丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（）种不同情况.A.6 B.8C.10 D.124．双曲线的虚轴长为（）A. B.C.3 D.65．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则的形状为（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6．若实数x，y满足不等式组，则的最小值为（）A. B.0C. D.27．已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.8．在数列中，，则（）A. B.C.2 D.19．已知等差数列的公差，若，，则该数列的前项和的最大值为（）A.30 B.35C.40 D.4510．展开式的第项为（）A. B.C. D.11．已知等差数列满足，，则（）A. B.C. D.12．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，若面积，则______14．若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为______15．已知实数，，，满足，，，则的最大值是______16．已知曲线在点处的切线的斜率为，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列中，，且（1）求证：数列是等差数列，并求出；（2）数列前项和为，求18．（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆相交于，两点，求的面积19．（12分）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别，，求证：为定值.20．（12分）设等差数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21．（12分）设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.（1）求动点D的轨迹E的方程；（2）直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两不同的点A、B，T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.22．（10分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3（1）求椭圆E的方程；（2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，，求

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】设点，其中，，求得，且有，，利用两角和的正切公式可求得的值，进而可求得的值，即可得出该双曲线的渐近线的方程.【题目详解】易知点、，设点，其中，，且，，且，，，所以，，，因为，所以，，则，因此，该双曲线渐近线方程为.故选：B.2、C【解题分析】由题意，借助米勒定理，可设出坐标，表示出的外接圆方程，然后在求解点R的纵坐标.【题目详解】因为点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0）是x轴正半轴上的两个定点，点R是y轴正半轴上的一动点，根据米勒定理，当的外接圆与y轴相切时，最大，由垂径定理可知，弦的垂直平分线必经过的外接圆圆心，所以弦的中点为（3，0），故弦中点的横坐标即为的外接圆半径，即，由垂径定理可得，圆心坐标为，故的外接圆的方程为，所以点R的纵坐标为.故选：C.3、C【解题分析】由题可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分类讨论可得答案.【题目详解】若甲是最后一名，则其他三人没有限制，4人排名即为，若甲是第三名，4人的排名为，所以4人的排名有种情况.故选：C4、D【解题分析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案【题目详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.故选：D.5、B【解题分析】直接利用正弦定理以及已知条件，求出、、的关系，即可判断三角形的形状【题目详解】解：在中，已知，，，分别为角，，的对边），由正弦定理可知：，所以，解得，所以为等边三角形故选：【题目点拨】本题考查三角形的形状的判断，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题6、A【解题分析】画出可行域，令，则，结合图形求出最小值，即可得解；【题目详解】解：画出不等式组，表示的平面区域如图阴影部分所示，由，解得，即，令，则．结合图形可知当过点时，取得最小值，且，即故选：A7、B【解题分析】根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.【题目详解】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选：B.【题目点拨】本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.8、A【解题分析】利用条件可得数列为周期数列，再借助周期性计算得解.【题目详解】∵∴，，所以数列是以3为周期的周期数列，∴，故选：A.9、D【解题分析】利用等差数列的性质求出公差以及首项，再由等差数列的前项和公式即可求解.【题目详解】等差数列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴当或10时，最大，，故选：D10、B【解题分析】由展开式的通项公式求解即可【题目详解】因为，所以展开式的第项为，故选：B11、D【解题分析】根据等差数列的通项公式求出公差，再结合即可得的值.【题目详解】因为是等差数列，设公差为，所以，即，所以，所以，故选：D.12、B【解题分析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.【题目详解】由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，∴，则故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解题分析】结合三角形面积公式与余弦定理得，进而得答案.【题目详解】解：由三角形的面积公式得，所以，因为，所以，即，因为，所以故答案为：14、【解题分析】由双曲线方程写出渐近线，根据相切关系，结合点线距离公式求参数a，即可确定实轴长.【题目详解】由题设，渐近线方程为，且圆心为，半径为1，所以，由相切关系知：，可得，又，即，所以双曲线的实轴长为.故答案为：15、10【解题分析】采用数形结合法，将所求问题转化为两点到直线的距离和的倍，结合梯形中位线性质和三角形三边关系可求得答案.【题目详解】由，，，可知，点在圆上，由，即为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式可理解为圆心到直线的距离，变形得，即所求问题可转化为两点到直线的距离和的倍，作于于，中点为，中点为，由梯形中位线性质可得，，作于，于，连接，则，当且仅当与重合，三点共线时，有最大值，由点到直线距离公式可得，由几何性质可得，，此时，故的最大值为.故答案为：10.16、【解题分析】对求导，根据题设有且，即可得目标式的值.【题目详解】由题设，且定义域为，则，所以，整理得，又，所以，两边取对数有，得：，即.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，（2）【解题分析】（1）利用等差数列的定义可证是等差数列，利用等差数列的通项公式可求.（2）利用错位相减法可求.【小问1详解】因为，是以为首项，为公差的等差数列，，.【小问2详解】，，，.18、（1）（2）4【解题分析】（1）由已知设圆心，再由相切求圆半径从而得解.（2）求弦长，再求点到直线的距离，进而可得解.【小问1详解】因为圆心在直线上，所以设圆心，又圆与轴相切于点，所以，即圆与轴相切，则圆的半径，于是圆的方程为【小问2详解】圆心到直线的距离，则，又到直线的距离为，所以.19、（1）（2）证明见解析【解题分析】（1）将点代入抛物线方程即可求解；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理即可求出的值;当直线AB的斜率不存在时，由过点即可求出点和点的坐标,即可求出的值.【小问1详解】将点代入得，，∴抛物线的标准方程为.【小问2详解】当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，，将联立得，，由韦达定理得：，，，当直线AB的斜率不存在时，由直线过点,则，，，，综上所述可知，为定值为.20、（1）（2）【解题分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，由此求得.（2）利用裂项求和法求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，则,解得，.∴.【小问2详解】由（1）知.∴.∴.21、（1）；（2）.【解题分析】(1)设出点D的坐标，借助向量运算表示出点P的坐标代入圆O的方程计算作答.(2)在直线的斜率存在时设出其方程，与轨迹E的方程联立，借助韦达定理表示出，再利用二次函数性质计算得解，然后计算直线的斜率不存在的值作答.【小问1详解】设点，则，因，则有，又点P在圆上，即，所以动点D的轨迹E的方程是.【小问2详解】当直线的斜率存在时，设其方程为：，因直线与圆相切，则，即，而时，直线与椭圆E相切，不符合题意，因此，由消去x并整理得：，设，则，而点T是线段AB中点，则有：，令，则，而，当，即时，，当，即时，，而，于是得，当直线的斜率不存在时，直线，，此时，所以的取值范围是.【题目点拨】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.22、（1）；