陕西省西安市2024届高二数学第一学期期末调研试题含解析

陕西省西安市2024届高二数学第一学期期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A.2 B.C. D.2．已知两圆相交于两点和，两圆的圆心都在直线上，则的值为A. B.2C.3 D.03．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为()A B.C. D.4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（）A. B.C. D.5．已知点，是椭圆：的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，且，则的离心率为（）A. B.C. D.6．下列说法正确的是（）A.空间中的任意三点可以确定一个平面B.四边相等的四边形一定是菱形C.两条相交直线可以确定一个平面D.正四棱柱的侧面都是正方形7．已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（）A. B.C. D.8．若，满足约束条件则的最大值是A.-8 B.-3C.0 D.19．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B.C. D.10．方程表示的图形是A.两个半圆 B.两个圆C.圆 D.半圆11．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.112．已知集合，,则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X服从正态分布，若，则成绩在140分以上的大约为______人14．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是_________.15．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率____________.16．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C：（）的焦点为F，原点O关于点F的对称点为Q，点关于点Q的对称点，也在抛物线C上（1）求p的值；（2）设直线l交抛物线C于不同两点A、B，直线、与抛物线C的另一个交点分别为M、N，，，且，求直线l的横截距的最大值.18．（12分）（1）已知双曲线的离心率为2，求E的渐近线方程；（2）已知F是抛物线的焦点，是C上一点，且，求C的方程.19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M、N、Q分别为AD、PD、BC的中点（1）证明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值20．（12分）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为567.表示2台设备使用期间需更换的零件数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.（1）求的分布列；（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？21．（12分）如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.（1）求椭圆C的方程；（2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.22．（10分）在等比数列中，是与的等比中项，与的等差中项为6（1）求的通项公式；（2）设，求数列前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】根据抛物线的定义得出当点P在抛物线的顶点时，|PF|取最小值.【题目详解】根据题意，设抛物线y＝2x2上点P到准线的距离为d，则有|PF|＝d，抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝y，其准线方程为y＝－，∴当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min＝.故选：D2、C【解题分析】根据条件知：两圆的圆心的所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，以及两圆的交点的中点在两圆的圆心的所在的直线上，由此得到方程，得解.【题目详解】由已知两圆的交点与两圆的圆心的所在的直线垂直，，所以，又因为两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，所以，解得：，所以，故选.【题目点拨】此题主要考查圆与圆的位置关系，解答此题的关键是需知两圆的圆心所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，并且两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，此题属于基础题.3、C【解题分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.【题目详解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距离故选：C.4、B【解题分析】首先根据题意设出抛物线的方程，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.【题目详解】解：根据题意设出抛物线的方程，因为点在抛物线上，所以有，解得，所以抛物线的方程是：，故选：B.5、D【解题分析】设，先求出点，得，化简即得解【题目详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上，如图所示，设，则，∵为等腰三角形，且，∴.过作垂直轴于点，则，∴，，即点.∵点在过点且斜率为的直线上，∴，解得，∴.故选：D【题目点拨】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出椭圆的代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（通过已知找到关于离心率的方程解方程即得解）.6、C【解题分析】根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.【题目详解】对于A，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B错误；对于C，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；对于D，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D错误.故选：C7、C【解题分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，即可求出答案.【题目详解】圆心到直线的距离，弦长为..当，即时，取得最大值.故选：C.8、C【解题分析】作出可行域，把变形为，平移直线过点时，最大.【题目详解】作出可行域如图：由得：，作出直线，平移直线过点时，.故选C.【题目点拨】本题主要考查了简单线性规划问题，属于中档题.9、B【解题分析】写出每次循环的结果，即可得到答案.【题目详解】当时，，，，；，此时，退出循环，输出的的为.故选：B【题目点拨】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.10、D【解题分析】其中，再两边同时平方，由此确定图形【题目详解】根据题意，，再两边同时平方，由此确定图形为半圆.故选：D【题目点拨】几何图像中要注意与方程式是一一对应，故方程的中未知数的的取值范围对应到图形中的坐标的取值范围11、B【解题分析】由可得抛物线标椎方程为：，由焦点和准线方程即可得解.【题目详解】由可得抛物线标准方程为：，所以抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离为，故选：B【题目点拨】本题考了抛物线标准方程，考查了焦点和准线相关基本量，属于基础题.12、A【解题分析】由已知得，因为，所以，故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、150【解题分析】根据考试的成绩X服从正态分布．得到考试的成绩X的正太密度曲线关于对称，根据，得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数【题目详解】由题意，考试的成绩X服从正态分布考试的成绩X的正太密度曲线关于对称，，，，该市成绩在140分以上的人数为故答案为：15014、##【解题分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.【题目详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到点时，取得最大值为.故答案为：15、##【解题分析】根据线段为边作正，得到M在y轴上，求得M的坐标，再由，得到边的中点坐标，代入双曲线方程求解.【题目详解】以线段为边作正，则M在y轴上，设，则，因为，所以边的中点坐标为，因为边的中点在双曲线上，所以，因为，所以，即，解得，因为，所以，故答案为：16、【解题分析】取的中点，连接，，过点A作，垂足为，设，利用三角形的边角关系求出，利用锥体的体积公式求出的值，确定三棱锥外接球的球心，求解外接球的半径，由表面积公式求解即可【题目详解】取的中点，连接，，过点A作，交DE的延长线于点，所以为二面角的平面角，设，则，，所以，所以，EH=，因为三棱锥的体积为，所以，解得：，，设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，，，过点O作OF⊥AH于点F，则，，，，设，则，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱锥外接球的半径满足，则三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【题目点拨】本题考查了几何体的外接球问题，棱锥的体积公式的理解与应用，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大横截距为.【解题分析】（1）首先写出的坐标，根据对称关系求出的坐标，带入即可求出.（2）设直线l的方程为，带入抛物线方程利用韦达定理，计算出直线l的横截距的表达式从而求出其最大值.【题目详解】（1）由题知，，故，代入C的方程得，∴；（2）设直线l的方程为，与抛物线C：联立得，由题知，可设方程两根为，，则，，（*）由得，∴，，又点M在抛物线C上，∴，化简得，由题知M，A为不同两点，故，，即，同理可得，∴，将（*）式代入得，即，将其代入解得，∴在时取得最大值，即直线l的最大横截距为.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）由可知，即可求出，故可得渐近线方程；（2）利用点在抛物线上及其抛物线的定义列方程求解即可.【题目详解】（1）∵E的离心率，∴，即，解得，故E的渐近线方程为.（2）∵是C上一点，∴①，由抛物线的定义可知②，两式联立可得，解得则C的方程为.19、（1）证明过程见解析（2）【解题分析】（1）由线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值.【小问1详解】因为M，N是DA，PD的中点，所以MN//AP，因为平面PAQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因为四边形ABCD为正方形，且Q为BC中点，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四边形MAQC为平行四边形，所以CM//AQ，因为平面PAQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因为，所以面PAQ//面MNC【小问2详解】因为PD⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面NMC的法向量为，则，令得：，所以，平面NDC的法向量为，则，设二面角M-NC-D的大小为，显然为锐角，则20、（1）答案见解析；（2）应选择.【解题分析】(1)由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解.(2)分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答.【小问1详解】的可能取值为10，11，12，13，14，，，，，，则的分布列为：10111213140.090.30.370.20.04【小问2详解】记为当时购买零件所需费用，，，，，元，记为当时购买零件所需费用，，，，元，显然，所以应选择.21、（1）（2）不一定共线，理由见解析【解题分析】（1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线.【小问