2021年贵州省遵义市湄潭县湄江中学高三数学文期末试题含解析

2021年贵州省遵义市湄潭县湄江中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线ax+by=0与圆x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由d=r可得出直线与圆位置关系是相切．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y+）2=，∴圆心坐标为（﹣，﹣），半径r=，∵圆心到直线ax+by=0的距离d===r，则圆与直线的位置关系是相切．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．2.已知函数的最小正周期为π，则该函数的图象是（）A．关于直线对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于点对称参考答案：A【考点】正弦函数的对称性．【分析】通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，得到选项．【解答】解：依题意得，故，所以，==≠0，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称．故选A．3.在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D略4.已知函数和都是定义在R上的偶函数，当时，，则（

）A.2 B. C. D.参考答案：B【分析】由和都是定义在R上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.【详解】因为都是定义在R上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，所以，故选B.5.参考答案：C6.已知是函数的零点，若，则的值满足（

）

A．

B．

C．

D．的符号不确定参考答案：C略7.如图所示的程序框图，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．1 B．5 C．16 D．48参考答案：D【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，可得当i=﹣1时不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为48．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=3，x=3，v=1，i=2满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=16，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=48，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为48．故选：D．8.己知，则“a=±1”是“i为纯虚数”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略9.i为虚数单位，复平面内表示复数的点在(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C10.“”是“”成立的A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则a3=80．参考答案：考点：二项式定理的应用．.专题：计算题．分析：根据二项式展开式的通项公式为Tr+1=?（2x）r，可得x3的系数a3=?23，运算求得结果．解答：解：二项式展开式的通项公式为Tr+1=?（2x）r，故x3的系数a3=?23=80，故答案为80．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12.已知函数，定义域为，则函数的定义域为_______;参考答案：13.设数列中，，，则通项

=

。参考答案：14.已知数列{an}满足an+1=qan+2q﹣2（q为常数），若a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，则a1=．参考答案：﹣2或﹣或79【考点】数列递推式．【专题】综合题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列．【分析】观察已知式子，移项变形为an+1+2=q（an+2），从而得到an+2与an+1+2的关系，分an=﹣2和an≠﹣2讨论，当an≠﹣2时构造公比为q的等比数列{an+2}，进而计算可得结论．【解答】解：∵an+1=qan+2q﹣2（q为常数，），∴an+1+2=q（an+2），n=1，2，…，下面对an是否为2进行讨论：①当an=﹣2时，显然有a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，此时a1=﹣2；②当an≠﹣2时，{an+2}为等比数列，又因为a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，所以a3+2，a4+2，a5+2∈{﹣3，0，1，9}，因为an≠﹣2，所以an+2≠0，从而a3+2=1，a4+2=﹣3，a5+2=9，q=﹣3或a3+2=9，a4+2=﹣3，a5+2=1，q=﹣代入an+1=qan+2q﹣2，可得到a1=﹣，或a1=79；综上所述，a1=﹣2或﹣或79，故答案为：﹣2或﹣或79．【点评】本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题．15.已知为锐角，且，那么的取值范围是

参考答案：略16.已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为

．参考答案：依题意，正方体的棱长为1；如图所示，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，截面为五边形，故线段的取值范围为17.已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得△构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.由4个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形，沿折起，使平面平面.（1）求证：；（2）求二面角的正切值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.

法二：（1）作于，连结，∵平面平面，∴平面.∵等腰，∴点为的中点，而等腰，∴.如图，建立空间直角坐标系，∴，，，，，，，，∵，∴.（2）显然平面的法向量，平面中，，，∴平面的法向量，∴，∴，∴二面角的正切值为2.考点：1.立体几何证明；2.空间向量法求面面角的正切值.19.已知各项均为正数的两个数列和满足：，，（1）设，，求证：数列是等差数列；（2）设，，且是等比数列，求和的值．参考答案：解：（1）∵，∴。

∴。∴

。

∴数列是以1为公差的等差数列。（2）∵，∴。

∴。（﹡）

设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明

若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，。∴，∴。

又∵，∴是公比是的等比数列。

若，则，于是。

又由即，得。

∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。

∴。

∴。20.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上有一个最低点为M（，﹣3）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=的最大值及对应x的值．参考答案：考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意，可求得A=3，由周期=π可求ω，2×+φ=+2kπ（k∈Z），0＜φ＜可求φ；（2）利用辅助角公式，可求y=f（x）+f（x+）=3sin（2x+），利用正弦函数的性质，即可求得其最大值及其取最大值时对应x的值．解答：解：（1）∵ω＞0，由=π得：ω=2，又f（x）=Asin（ωx+φ）经过最低点M（，﹣3），A＞0，故A=3，且2×+φ=+2kπ（k∈Z），0＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=3sin（2x+）；（2）y=f（x）+f（x+）=3sin（2x+）+3sin[2（x+）+]=3sin（2x+）+3cos（2x+）=3sin（2x+），∴ymax=3．此时2x+=2kπ+，即x=kπ+，k∈Z．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查辅助角公式即正弦函数的性质及其应用，属于中档题．21.已知，函数的最大值为最小值为，求和的值，并求出使取得最大值和最小值时的值.参考答案：22.（本小题满分12人）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差。

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。参考答案：见解析【知识点】概率综合茎叶图解：(Ⅰ)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10。

所以平均数为；

方差为

(Ⅱ)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；

乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。

分别从甲