2021年广西壮族自治区桂林市示范性普通中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021年广西壮族自治区桂林市示范性普通中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知首项为正数的等差数列满足:,,则使其前n项和成立的最大自然数n是（）.

A.4017

B.4014

C.4016

D.4018参考答案：答案：C2.已知复数z=，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．2+2i D．2﹣2i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z==1﹣i．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选A．4.依据小区管理条例，小区编制了如图所示的住户每月应缴纳卫生管理费的程序框图，并编写了相应的程序．已知小张家共有4口人，则他家每个月应缴纳的卫生管理费（单位：元）是 A．3．6 B．5．2 C．6．2 D．7．2参考答案：C当时，，选C.5.若三条直线，和只有两个不同的交点，则实数的值为__________参考答案：-3；6略6.已知满足条件，则目标函数从最小值变化到时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为A. B. C. D.参考答案：A7.“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件参考答案：A8.已知E，F，G，H分别是四面体ABCD棱AB，BC，CD，DA上的点，且，，,，则下列说法错误的是（

）A．平面

B．平面C.直线相交于同一点

D．参考答案：BA:，，,，可得到GH平行于AC，EF平行于AC，故平面得到，选项正确.B:因为BD和FH不平行，而且两条直线在同一平面内，故得到两直线延长后相交，可得到BD与平面EFG是相交的关系.选项不正确.D:，，,，可得到GH平行于AC，EF平行于AC，由平行线的传递性得到，选项正确.故答案为：B.

9.已知以坐标原点O为圆心，的交点为P，则当的面积为时，双曲线的离心率为A.

B.

C.

D.2参考答案：B10.已知正数、满足，则的最小值为（

）（A）1

（B）

（C）

（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为锐角，若，则的值为

参考答案：

12.已知点P（0，1）是圆内一点，AB为过点P的弦，且弦长为，则直线AB的方程为______________________．参考答案：x+y-1=0或x-y+1=013.已知二面角为，，，，为线段的中点，，，则直线与平面所成角的大小为________．参考答案：14.在边长为1的正三角形ABC中，，则的值等于

。参考答案：15.(几何证明选讲选做题)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于__

参考答案：5略16.在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为．参考答案：2【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：Tr+1==ar，令3﹣=0，解得r=2．∴=60，a＞0，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.等差数列{an}的前n项和Sn，若a1=2，S3=12，则a6= ．参考答案：12【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．【解答】解：∵S3=12，∴S3=3a1+d=3a1+3d=12．解得d=2，则a6=a1+5d=2+2×5=12，故答案为：12【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的求解和应用，根据条件求出公差是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（x2﹣x）ex（1）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=g（x），并证明f（x）≥g（x）（2）若方程f（x）=m（m∈R）有两个正实数根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜+m+1．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，可得切线方程，构造函数，证明函数的单调性，即可证明结论；（2）（x2﹣x）ex≥e（x﹣1），设y=m与y=﹣x和y=e（x﹣1）的两个交点的横坐标为x3，x4，x3＜x1＜x2＜x4，即可证明结论．【解答】证明：（1）f′（x）=（x2+x﹣1）ex，f′（1）=e，f（1）=0，∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=g（x）=e（x﹣1），设h（x）=f（x）﹣g（x），则h′（x）=（x2+x﹣1）ex﹣e，h″（x）=（x2+3x）ex，令h″（x）=0，可得x=﹣3或x=0，函数y=h′（x）在（﹣∞，﹣3），（0，+∞）上单调递增，在（﹣3，0）上单调递减，∵，∴x∈（﹣∞，1），h′（x）＜0，y=h（x）单调递减；x∈（1，+∞，），h′（x）＞0，y=h（x）单调递增，∴h（x≥h（1）=0，∴f（x）≥g（x）；（2）∵y=f（x）在x=0处的切线方程为y=﹣x，则（x2﹣x）ex≥﹣x又（x2﹣x）ex≥e（x﹣1），设y=m与y=﹣x和y=e（x﹣1）的两个交点的横坐标为x3，x4，∴x3＜x1＜x2＜x4，∴|x1﹣x2|＜x4﹣x3=+m+1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，属于中档题．19.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．参考答案：解：(Ⅰ)因为时，所以；(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；，令得当，，在上递增；当，，在上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.略20.11月11日在某购物网站消费不超过10000元的2000名网购者中有女士1100名，男士900名．该网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析得到下表（消费金额：元）女士消费情况：消费金额（0，2000）[2000，4000）[4000，6000）[6000，8000）[8000，10000]人数1025

35

35x男士消费情况：消费金额（0，2000）[2000，4000）[4000，6000）[6000，8000）[8000，10000]人数1530

25y3（Ⅰ）计算x，y的值，在抽出的200名且消费金额在[8000，10000]（单位：元）的网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于6000元的网购者为“网购达人”，低于6000元的网购者为“非网购达人”，根据以上数据填写下面2×2列连表，并回答能否在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”？

女士男士总计网购达人

非网购达人

总计

附：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010.005k02.7063.8415.0246.6357.879．参考答案：【考点】独立性检验．【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样方法求出x、y的值，利用组合数计算基本事件数，即可求得相对应的概率；（Ⅱ）列出2×2列联表，计算得观测值K2，对照表中数据，即可判断结论是否成立．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，样本中应抽取女士200×=110人，男士200﹣110=90人；∴x=110﹣（10+25+35+35）=5，y=90﹣（15+30+25+3）=17；∴消费金额在[8000，10000]（单位：元）的网购者有女士5人，男士3人，从中任选2名，基本事件为=28种，其中选出的2名都是男士的基本事件为3种，∴所求的概率为；（Ⅱ）

女士男士总计网购达人402060非网购达人7070140总计11090200可以在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”．【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，考查2×2列联表的应用问题，考查学生的计算能力，属于中档题．21.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a1+a5==63．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=a1且bn+1﹣bn=an+1，求数列的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据已知条件建立方程组，通过解方程求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（Ⅱ）首先利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和．【解答】解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列{an}的首项为a1，公差为d，an＞0则，得∴an=2n+1法二：∵{an}是等差数列且，∴，又∵an＞0∴a3=7．…∵，∴d=a4﹣a3=2，∴an=a3+（n﹣3）d=2n+1．

（Ⅱ）∵bn+1﹣bn=an+1且an=2n+1，∴bn+1﹣bn=2n+3当n≥2时，bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3=n（n+2），当n=1时，b1=3满足上式，bn=n（n+2）∴=．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型．22.（本题满分12分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．已知函数．（1）化简并求函数的最小正