新教材人教版高中物理必修第二册第六章圆周运动知识点考点重点难点提炼汇总

第六章圆周运动

6.1圆周运动................................................................-1-

6.2向心力..................................................................-9-

6.3向心加速度.............................................................-16-

6.4生活中的圆周运动......................................................-21-

专题课向心力的应用和计算................................................-32-

专题课生活中的圆周运动...................................................-36-

6.1圆周运动

一、圆周运动及线速度

1.圆周运动的概念

运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动,称为圆周运动。圆周运动为曲线运

动，故一定是变速运动。

2.线速度

(1)定义：做圆周运动的物体，通过的盹氐与所用时间的比值叫作线速度的大

小。用o表示。

(2)表达式：v==,单位为米/秒，符号是业

(3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该

点的切线方向。

(4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当加很小时，其

物理意义与瞬时速度相同。

(5)匀速圆周运动：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等,这

种运动叫作匀速圆周运动。

［注意］匀速圆周运动是线速度大小不变的曲线运动，它的线速度方向时刻在

变化，因而匀速圆周运动不是匀速运动，严格地说，应该将其称为匀速率圆周运

动。

—、角速度

1.定义：如图所示，物体在加时间内由A运动到瓦半径在这段时间内

转过的角配与所用时间加之比叫作角速度，用符号。表示。

二p

*As

2.表达式：3=不。

3.国际单位：弧度每秒，符号rad/s。

An

在国际单位制中角的度量单位为“弧度”，在利用公式0=詈计算角速度时,

△。的单位是“弧度”。360。=2兀弧度。

4.物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。

5.匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。

三'周期

1.周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期,用工表示,

单位为秒⑸。

2.转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号比表示，

单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。

3.物理意义：描述物体做圆周运动的快慢。

四'线速度与角速度的关系

1.两者关系：在圆周运动中，线速度大小等于角速度的大小与半径的乘积。

2.表达式：V—MTo

7点1描述圆周运动的物理量

如图所示是一个玩具陀螺，4、氏C是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面

的轴线以角速度/稳定旋转时：

(1)陀螺绕垂直于地面的轴线稳定旋转时，。、仄C三点角速度和周期各有什么

关系？

(2)4、仄C三点做圆周运动的线速度有什么关系?

===

提示：(l)co(,=(y/)(wc>TaTbTco

(2)va=vc>vho

1.描述圆周运动的各物理量之间的关系

圆

周

运

动

各

物

理

量

间

的

关

系

2.描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧

(1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由。=爷=

2无〃知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个

物理量也唯一确定了。

(2)线速度与角速度之间关系的分析：由知，r一定时，o一定

时，①8：；①一定时，

［特别提示］在讨论。、①、r三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中

一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系。T和〃三个物理量可相互换算，

只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了。

【例1】某品牌电动自行车的铭牌如下:

车型：20寸(车轮直径：508mm)电池规格：36V,12A-h(蓄电量)

整车质量：40kg额定转速：210r/min

外形尺寸：L1800mmX充电时间：2〜8h

W650mmXHl100mm

电机：后轮驱动、直流永磁式电机额定工作电压/电流：36V/5A

根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为（）

A.15km/hB.18km/h

C.20km/hD.25km/h

［思路点拨］车的速度与车轮边缘的线速度大小相等，再根据“=需和。=。尸

可求得车速。

C［由题目所给信息可知额定转速〃=210r/min,则车轮转动的角速度s=

由于车轮直径d=508mm,则车轮半径〃=g=0.254m,则车轮转动的线速

,2兀〃271X210X0.254

度v=(or=Wr=60m/s=5.6m/s=20km/ho]

求解圆周运动中各物理量间的关系问题时，首先必须明确线速度、角速度、

周期、频率（即转速）等，都是从不同角度描述圆周运动的物理量，通过分析题给条

件，弄清问题中哪些物理量不变，然后根据。=必，8号,T=半等关系式求解。

冷点2三种传动方式

跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。

讨论：（1）在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速

度的大小关系如何？

（2）如果跷跷板的支点不在板的中点，线速度和角速度的关系如何？

提示：（1）线速度和角速度都相同。

（2）角速度相同，线速度不同。

1.三种传动装置

同轴传动皮带传动齿轮传动

两个齿轮轮齿啮合，A、

两个轮子用皮带连B

A、8两点在同轴的两点分别是两个齿轮边

接，A、B两点分别

一个圆盘上缘上的点(两齿轮的齿数

是两个轮子边缘的

装置@B

分别为〃1、〃2)

点

AB

特点角速度、周期相同线速度大小相同线速度大小相同

转动

相同相同相反

方向

角速度与半径成反角速度与半径成反比：

比：

COAr2

线速度与半径成正co~r\~n

3=工B2

规律COBR

比:崇=:周期与半径成正比：~=

DRK周期与半径成正比：

n

TA_R

T1Tr丫2

2.求解传动问题的思路

(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小

相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。

(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径

关系。

(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据。J：分析，若角速度大小相等，则

根据00c「分析。

【例2】如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，A、B两

轮用皮带传动，三个轮的半径关系是以=rc=2-B。若皮带不打滑，求A、B、。三

轮边缘上4、从c三点的角速度之比和线速度之比。

a

［解析］A、3两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大

小相等，即为=办或%：内=1：1①

由v=cor得coa:6yb=78：以=1:2②

8、C两轮固定在一起同轴转动，则8、C两轮的角速度相等，即®=g或0匕：coc

=1：1③

由v—cor得V］,:Vc==B：t~c~1'2④

由②③得coa：(Ob'.(oc=1：2：2

由①④得va:Vb:0c=1：1：2。

［答案］1：2：21：1：2

［一题多变］

上例中，若C轮的转速为〃r/s,其他条件不变，则A轮边缘的线速度和角速

度各为多大？

提小：由CO=271/?,Vb=COKB

得。"=。b=2兀〃,

传动装置的特点

在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量。

(1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不

同的各点线速度不同。

(2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘

的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关。

*点3

圆周运动的周期性和多解问题

如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴。上

装有3个扇叶，它们互成120。角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动。

讨论：(1)扇叶上的每一点都在做什么运动？

(2)观察者感觉扇叶不动，为什么？此时扇叶的转速为多少？

提示：(1)扇叶上每一点都在绕风扇转轴做圆周运动。

(2)每经过特定的时间扇叶上每一点就会回到初始位置，所以观察者感觉扇叶

不动。

T=£S,在一个周期T内，扇叶转动的角度应为120。的整数倍，则转动的角

速度

Q

a>=y=30/171rad/s(»=1,2,3…)，

转速〃=/=为肾X60r/min=900〃(r/min)(〃=l,2,3…)

1.问题特点

(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。

(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平

抛运动，匀速直线运动等)。

(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求

物理量。

2.分析技巧

(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。

(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多

个周期时的规律。

【例3】如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为"，飞镖距圆

盘3且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为加，飞镖抛出的同时，圆盘

绕垂直圆盘过盘心。的水平轴匀速转动，角速度为口。若飞镖恰好击中A点，则

下列关系式正确的是()

1L01

A.dvv°=L-g

B.CDL=TI［\+2n)v()(n=0,1,2,3…)

-d

C.Vo=a)2

D.痴2=8兀2(］+2汾2(〃=o,1,2,3,…)

［思路点拨］圆周运动是一种周期性运动，每经过一个周期物体都会回到原来

的位置，本题中飞镖恰好击中A点说明在飞镖做平抛运动的这段时间内圆盘应转

过的弧度为(2"+1)兀(〃=0,1,2,3,…)。飞镖的水平位移为L,竖直位移为d,

根据圆周运动和平抛运动的相关知识求解。

B［依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击

中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间平抛的时

间则有%*1，2,3,…)，B正确,C错误；平抛的竖直位

移为乩则联立有流/=%兀2(2〃+1尸(〃=0,1,2,3,…)，dwi=^l}g,

A、D错误。］

解决圆周运动多解问题的方法

(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽

然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联

系点是解题关键。

(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表

示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度。上再加上2〃兀，具体

n的取值应视情况而定。

6.2向心力

一、向心力

1.定义

做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心

力。

2.方向

向心力的方向始终沿半径指向圆心。

(1)向心力的方向时刻在变，向心力是变力。

(2)向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

V1

3.公式：Fn=ma>2r或者

4.效果力

向心力是根据力的作用效果来命名的,凡是由某个力或者几个力的合力提供

的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。

二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点

1.变速圆周运动的合力

变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两

个方面的效果：

(1)合外力/跟圆周相切的分力Ft,此分力与物体运动的速度在一条直线上，

改变线速度的大小。

(2)合外力/指向圆心的分力Fn,此分力提供物体做圆周运动所需的向心力,

改变物体速度的方向。

2.一般曲线运动

(1)曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动,称为一般的曲线

运动，如图所示。

(2)处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运

动都可以看作圆周运动的一部分。

一般的曲线运动通过以上方法进行处理后，就可以采用圆周运动的分析方法

进行处理了。

冷点1

对匀速圆周运动向心力的理解

飞机在空中水平面内做匀速圆周运动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周

运动。

(1)飞机和小球在运动过程中受到哪些力的作用？

(2)这些力的合力方向及作用效果是什么？

提示：(1)重力和支持力。

(2)这些力的合力指向圆心，充当向心力，改变速度的方向。

1.匀速圆周运动中向心力的方向：

方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。

2.向心力的特点：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力是

变力。其作用不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。

3.向心力的来源：匀速圆周运动中，向心力等于物体的合外力，常等效为三

种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力。

向心力来源的实例分析

向心力来源实例分析

如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖L

重力提供向直面内转动，当它经过最高点时，若细绳(

的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所[°

心力

受的重力提供J5

如图所不，绳子的一端系在光滑水平桌面//

弹力提供向上的0点，另一端系一小球，使小球在桌/[弋J/

心力面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周L一/

运动的向心力由绳子的拉力（弹力）提供

如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运

动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木

块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背

离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势C

摩擦力提供的方向相反。但是，当圆盘光滑（无摩擦力）晨

向心力

时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相7bJ

对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，7

而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径

向外

如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀f

合力提供向速圆周运动，当小球经过最低点时，向心1°

心力

力由细线的拉力和小球重力的合力提供

////////////

彳

如图所示，小球在细线作用下，在水平面外］

分力提供向内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在%

心力水平方向的分力提供「

【例1】如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰

受力的说法正确的是（）

A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用

B.老鹰受重力和空气对它的作用力

C.老鹰受重力和向心力的作用

D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用

［思路点拨】①分析受哪些力，②分析向心力是什么。

B［老鹰在空中做匀速圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用,

两个力的合力充当它做圆周运动的向心力，不能说老鹰受重力、空气对它的作用

力和向心力三个力的作用。选项B正确。］

分析向心力来源的思路

(1)明确研究对象。

(2)确定圆周运动所在平面，明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置。

(3)进行受力分析，指向圆心方向的合力即为向心力。

___实___验__：__探__究__向__心__力__大___小__的__表__达__式__

1.实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法)

1.转动手柄

2.3变速塔轮

54.长槽

35.短梢

6.横臂

7.弹簧测力套筒

向心力演示仪8.标尺

~~［特别提示］向心力演示器原理及实验操作简介

(1)如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的

小球就做匀速圆周运动。

(2)小球做圆周运动的向心力由横臂挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作

用力通过横臂的杠杆使弹簧测力简下降，露出的标尺上的红白相间的等分格可显

示出两个球所受向心力的比值。

(3)传动皮带分别套在塔轮上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，即改

变角速度；球放在长槽上的不同位置，可改变半径；使用不同质量的球可改变质

量。

2.实验方法：控制变量法

3.实验过程

(1)保持两个小球质量m和角速度/相同，使两球运动半径r不同进行实验，

比较向心力吊与运动半径r之间的关系。

(2)保持两个小球质量m和运动半径「相同，使两球的角速度“不同进行实验,

比较向心力吊与角速度0J之间的关系。

(3)保持运动半径「和角速度"相同，用质量机不同的钢球和铝球进行实验，

比较向心力居与质量相的关系。

4.实验结论

两球相同的物理量不同的物理量实验结论

1m、corr越大，居越大，F产r

2m、rco①越大，入越大，耳①2

3r>com加越大，K越大，Fn8m

精确的实验表明向心力的大小可以表示为

2_。__27r2

Fn=mco〃或工或Fn=m(^r)ro

【例2】用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的

大小与哪些因素有关。

铝球钢球

(1)本实验采用的科学方法是O

A.控制变量法B.累积法

C.微元法D.放大法

(2)图示情景正在探究的是o

A.向心力的大小与半径的关系

B.向心力的大小与线速度大小的关系

C.向心力的大小与角速度大小的关系

D.向心力的大小与物体质量的关系

⑶通过本实验可以得到的结果是O

A.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比

B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比

C.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比

D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比

［解析］⑴这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力

与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确。

(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，

所以选项D正确。

(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的

大小与质量成正比，所以选项C正确。

［答案］(1)A(2)D(3)C

«点3变速圆周运动与一般曲线运动

教材第29页“思考与讨论”答案提示：

线速度减小时，物体所受合力的方向与速度方向的夹角大于90%

荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景。

(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？

2

(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn=m—=mcor

还适用吗？

提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动。

(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，

:2

合力不指向悬挂点。公式Fn=nr^=mcor仍然适用。

1.变速圆周运动合力的作用效果

O

(1)跟圆周相切的分力E：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。

(2)指向圆心的分力K：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。

2.匀速圆周运动与变速圆周运动的比较

匀速圆周运动变速圆周运动

线速度线速度的方向不断改变、大小不

线速度的大小、方向都不断改变

特点变

合力可分解为与圆周相切的分力和

受力合力方向一定指向圆心，充当向

指向圆心的分力，指向圆心的分力

特点心力

充当向心力

周期性有不一定有

性质均是非匀变速曲线运动

廿V2,

公式2

Fn=nr^=m(or,an=7=0>都适用

3.一般曲线运动

(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。

(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点

在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。

［特别提示］(1)变速圆周运动中，某一点的向心力均可用£!="?：、居=加厂。2

公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们

仍然适用，只不过应用时要注意工、。、。必须是同一时刻的瞬时值。

(2)曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点

的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。

【例3】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的

一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上

的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情

况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径〃叫作A点的曲率半径。现将一物体

沿与水平面成a角的方向以速度内抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点尸处的

曲率半径是()

A,血B.褚sin2a

gg

［思路点拨］物体在轨迹最高点以某一曲率半径做圆周运动的向心力由重力

提供，列出重力等于向心力的表达式进行求解。

C［斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度0x=M)cosa

做匀速直线运动，竖直方向以初速度4=M)sina做匀减速直线运动。到最高点时,

竖直方向速度为零，其速度为%=o()cosa,且为水平方向。这时重力提供其做圆

周运动的向心力,由〃吆=〃产℃°：幻得d="℃°s.,所以C正确，A、B、D错误。］

pg

6.3向心加速度

匀速圆周运动的加速度方向和大小

1.向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它

叫作向心加速度。

2.向心加速度方向：总沿半径指向圆心,并且与线速度方向垂直。

3.向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。

4.向心加速度的大小：

2

v

2

(1)基本公式an=—=coro

4川

:

(2)拓展公式an=~^--r=CDVo

匀速圆周运动的向心加速度方向

M点_________________________________

甲乙

问题1:图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速

度？

问题2：做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？

问题3：除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确

定向心加速度的方向？

提示：(1)具有加速度。

(2)从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。

(3)从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方

向。

对向心加速度的理解

向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心与该点的线速度方向垂直。向

方向

心加速度的方向时刻在改变。

作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。

向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的快

意义

慢体现了向心加速度的大小。

［特别提醒］向心加速度方向的推导

如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在A、8两点的速度分别为以、VB，可以

分四步确定物体运动的加速度方向。

第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过A、3两点时

的速度方向，分别用2、0B表示，如图甲所示。

第二步，平移办至B点，如图乙所示。

第三步，根据矢量运算法则，作出物体由A点到8点的速度变化量其方

向由小的箭头位置指向。B的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动,

办、的大小相等，所以与办、物构成等腰三角形。

第四步，假设由A点到8点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的

情况下，A点到8点的距离将非常小，作出此时的如图丁所示。

仔细观察图丁，可以发现，此时，与内、独都几乎垂直，因此的方向

几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度。与△。的方向是一致的，所以从运

动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。

【例1】下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是（）

A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢

B.向心加速度表示角速度变化的快慢

C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢

D.匀速圆周运动的向心加速度不变

C［匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项错

误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变

化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速

度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是变化的，所

以D项错误。］

___匀___速__圆__周__运__动__的__向___心__加__速__度__大__小__

教材第32页“思考与讨论”答案提示：8、C两点的向心加速度与半径成正

比，因为3、。两点同轴转动，角速度口相同，由为=/「知，（2n与r成正比；A、

B两点的向心加速度与半径成反比，因为A、B两点线速度。大小一样，由念=7

知，4与r成反比。

如图所示，两个啮合的齿轮，其中A点为小齿轮边缘上的点，8点为大齿轮

边缘上的点，C点为大齿轮中间的点。

讨论：A和8、8和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？

心

提示：(1)4、8两个点的线速度相同，由小=7知向心加速度与半径成反比。

(2)3、C两个点的角速度相同，由42r知向心加速度与半径成正比。

1.向心加速度的大小

根据牛顿第二定律F=ma和向心力表达式无=，行，可得向心加速度的大小

/2

或an=co"rG

-2-

71

［特别提示］1.表达式%=7、出=/2「中各物理量是同一时刻的量，即它们是

瞬时对应关系。

廿

2.表达式出=:、小=啰2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运

动。

2.对向心加速度表达式的理解

(1)向心加速度的几种表达式

(2)向心加速度的大小与半径的关系

①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的

平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。

②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。

③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。

④知与「的关系图像：如图所示，由小寸图像可以看出，出与「成正比还是反

比，要看co恒定还是v恒定。

【例2】如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相

对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮

半径的;。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12mH时，大轮上的S点和小轮

边缘上的。点的向心加速度各为多少？

［思路点拨］①P和S在同一轮上，角速度相同，选用卬=。2r计算向心加速

度。

②P和。为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用%计算向

心加速度。

［解析］同一轮子上的s点和p点的角速度相同，

即C0s=8p

由向心加速度公式「品，嘴V

故as=~ap=^X12m/s2=4m/s2

。J

又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即

VP=VQ

由向心加速度公式a=

nrCIQrp

22

故义12m/s=24m/so

［答案］4m/s224m/s2

向心加速度公式的应用技巧

一看|力|看图片，分清是皮带传动模型还是同轴转动模型

二找找联系，找线速度、角速度、半径之间的关系

g

三选|引选公式，根据题目特点选4=32r或呼或3V

6.4生活中的圆周运动

一、火车转弯

1.火车在弯道上的运动特点

火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动,因而具有向心加速度,由于其质

量巨大，需要很大的向心力。

2.火车转弯时向心力的来源分析

(1)若转弯时内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，火车的

向心力由外轨对车轮轮缘的强力提供(如图所示)，由于火车的质量很大，转弯所需

的向心力很大，铁轨和车轮极易受损。

(2)若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适

当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力，由重力加2和支持力小的合力

提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压，如图所示。

二'汽车过拱形桥

汽车过拱形桥汽车过凹形桥

FN

尸N

受力分析—

'mgmg

v2V2

向心力父一外=m：Fn=氐一团女—呷

对桥的压v2V2

F^=mg+nv^

力

汽车对桥的压力小于汽车的重汽车对桥的压力大于汽车的重

结论力，而且汽车速度越大，对桥的力，而且汽车速度越大，对桥的

压力越小压力越大

三'航天器中的失重现象

1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他

V

提供向心力。侬一屈="不。

2.失重状态：当。=病时,座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全

失重状态。

四'离心运动

I.定义：物体沿切线方向飞出或做逐渐远离圆心的运动。

2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需向心力。

火车转弯

教材第36页“思考与讨论”答案提示：

利用支持力乐与重力G的合力提供向心力，减轻轮胎与地面的径向摩擦力以

防止侧滑。

火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考下列问题:

重力G与支持力入的合力尸是使火车转弯的向心力

(1)火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？运动特点如何？

(2)火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？

(3)火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？

提示：(1)火车转弯处，外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，火车所受支持力

的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车转弯处虽然

外轨高于内轨，但火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即在同一水平面内做

匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。

(2)火车以规定的速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力。

(3)火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力o

1.转弯轨道特点

(1)火车转弯时重心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内。

(2)转弯轨道外高内低，这样设计是使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以

提供做圆周运动的向心力。

2.转弯轨道受力与火车速度的关系

(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则〃吆tan3=

端,如图所示，则劭=4丽》,其中R为弯道半径，。为轨道平面与水平面的

h

夹角(tanJ^z),。0为转弯处的规定速度。

此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。

(2)若火车行驶速度ooXgRtan仇外轨对轮缘有侧压力。

(3)若火车行驶速度v0<yjgRtan0,内轨对轮缘有侧压力。

［特别提醒］

1.转弯轨道受力与火车速度的关系

2.其他弯道特点

高速公路、赛车的弯道处设计成外高内低，使重力和支持力的合力能提供车

辆转弯时的向心力，减少由于转弯产生的摩擦力对行驶车辆的影响，目的是在安

全许可的范围内提高车辆的运行速度。

【例1】有一列重为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内外轨

一样高的弯道，轨道半径为400m。(g取10m/s2)

(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；

(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适

当倾斜路基，试计算路基倾斜角度。的正切值。

［思路点拨］:①(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。

②(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。

［解析］(l)v=72km/h=20m/s,外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的

向心力，所以有:

v2105X202

FN=my=400N=1X105N

由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于IXIO^N。

(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所

2

_V

示，贝【JmgtanO=in~

由此可得tan。=一=0.1。

rg

［答案］⑴IX1()5N(2)0.1

［一题多变］

上例中，要提高火车的速度为108km/h,则火车要想安全通过弯道需要如何

改进铁轨？

3./

提不：速率变为原来的/倍，则由“zgtan。=加N，可知：

若只改变轨道半径，则变为900m,

若只改变路基倾角，则tan夕=0.225。

火车转弯问题的两点注意

(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不

是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的

向心力即合外力应沿水平面指向圆心。

(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火

车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、

支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力

及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。

考点2汽车过拱形桥

教材第37页“思考与讨论”答案提示：

地球可看作一个巨大的拱形桥，由重力与支持力的合力提供向心力，即K=

mg-F^nr^,当速度。增大时，汽车对地面的压力减小，当速度增大到。=痫

时，地面对车的支持力等于0,驾驶员与座椅间的压力为0,驾驶员躯体的各部分

之间的压力也为0,他有失重的感觉。

如图甲、乙为汽车在拱形桥、凹形路面上行驶的示意图，汽车行驶时可以看

作圆周运动。

甲乙

问题1:当你坐汽车经过如图甲所示的桥面时，你有什么感觉？汽车在最高点

时对桥的压力会有什么特点？

问题2：若质量为机的汽车在拱形桥上以速度。行驶，桥面的圆弧半径为R。

则汽车对桥的压力多大？如果汽车速度不断变大，会出现什么情况？

问题3：当你坐汽车经过如图乙所示因下陷形成的凹形路面时，你有什么感

觉？汽车在最低点时对路面的压力会有什么特点？

问题4：若质量为m的汽车在凹形路面上以速度。行驶,路面的圆弧半径为七

则汽车对凹形路面最低点的压力多大？

问题5：汽车对拱形桥的压力小于汽车的重力与汽车对凹形路面的压力大于汽

车的重力的原因是什么？与电梯中的超、失重现象背后的原因是否相同？

提示：(1)失重的感觉，压力小于重力。

⑵由牛顿第二定律知：mg—

F^—mg—nT^

当o增大时，入减小。

(3)超重感觉，压力大于重力。

v

(4)由牛顿第二定律知：F^—mg=nr^

FN

mg

v2

FNfngItnRo

(5)汽车在拱形桥的最高点，在凹形路面的最低点，压力大于重力与压力小于

重力的原因由加速度的方向决定，这种情况与电梯中超、失重现象的原因相同。

1.汽车过拱形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车

支持力的合力提供向心力。如图甲所示。

v2/

由牛顿第二定律得：G—八=加7，则FN=G一行。

汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即FN=FN=G-

行，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。

(1)当0W火丽•时，0<FN<GO

(2)当。=或?时，FN=0.

(3)当7时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。

甲乙

2.汽车过凹形桥

如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的

v2v2

支持力，两个力的合力提供向心力，则FN-G=/«7，故FN=G+〃I：。由牛顿第

三定律得：汽车对凹形桥面的压力尸N=G+〃rp大于汽车的重力。

【例2】如图所示，质量〃z=2.0Xl()4kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形

桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60mo如果桥面承受的压力不得超过

3.0X105N(^^10m/s2),则:

(1)汽车允许的最大速率是多少？

(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？

［解析］(1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最

大支持力FNI=3.OX1O5N,根据牛顿第二定律得凤1一〃吆="/7

3.0X1Q5

即V—2.0XIO’10X60m/s=

l(h/3m/s<y[gr=l(h/6m/s

故汽车在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为1即m/so

(2)汽车在凸形桥面的最高点时，由牛顿第二定律得

v2

mg—Fm=mr^

则尺2=加.一日=2.0*104*(10—黑N=1.0X105N

由牛顿第三定律得，在凸形桥面最高点汽车对桥面的压力为1.0X1()5N