红对勾高一数学第一册2021版电子

第五章三角函数5．4

三角函数的图象与性质5.4.2

正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的性质(2)[课标解读]1.了解正弦函数、余弦函数的单调性、最大(小)值.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．[素养目标]水平一：1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(数学运算).2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小(数学运算).3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间(逻辑推理)．水平二：让学生探究学习正、余弦函数的图象性质，体会数形结合的思想(逻辑推理)．课时作业要点整合夯基础典例讲解破题型课堂达标练经典核心素养培优要点整合夯基础[答一答]1．正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数吗？正弦函数在第一象限是增函数吗？提示：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．正弦函数在第一象限不是增函数，在每一个区间(2kπ，2kπ

π

上是增函数．＋2)2．对于y＝sin(ωx＋φ)或y＝cos(ωx＋φ)，当ω>0时，如何求单调区间？当ω<0时，又如何求单调区间？提示：确定y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)或y＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，令z＝ωx＋φ，即通过求y＝sinz或y＝cosz的单调区间求出函数的单调区间，若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数再按上述方法求解．π

3π3．正弦函数在

－2，

2

上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？

π3π当x∈

2，

2

时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得

π

π在每一个闭区间

－2＋2kπ，2＋2kπ

(k∈Z)上，正弦函数y＝sinx是增函数，函数值由－1增大到1；在每一个闭区间π3π2＋2kπ，2

＋2kπ

(k∈Z)上，正弦函数y＝sinx是减函数，函数值由1减小到－1.4．余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.典例讲解破题型正弦、余弦函数的单调性类型一[例1]

求下列函数的单调递减区间．

π

π(1)y＝2sin4－x；(2)y＝cos2x＋3.[思路分析]

依据y＝sinx(x∈R)和y＝cosx(x∈R)的单调区间求解．π

ππ[解]

(1)y＝2sin4－x＝－2sinx－4，令z＝x－4，而函数y

ππ＝－2sinz的单调递减区间是2kπ－2，2kπ＋2

(k∈Z)．∴原函数单调递减时，得2kπ－

π

≤x－

π

≤2kπ＋

π

(k∈Z)，得2kπ－

π2

4

2

4≤x≤2kπ＋3π

k∈Z)．4

(π

3π∴原函数的单调递减区间是2kπ－4，2kπ＋4

(k∈Z)．(2)令z＝2x＋π3，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．π∴原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋3≤2kπ＋π(k∈Z)，π解得kπ－6≤x≤kπ＋π

k∈Z)．3(

ππ∴原函数的单调递减区间是kπ－6，kπ＋3(k∈Z)．A．[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)B．[kπ＋π，kπ＋2π](k∈Z)

πC．2kπ，2kπ＋2(k∈Z)D．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)解析：令u＝－cosx，则y＝2u.∵y＝2u在u∈(－∞，＋∞)上是增函数，∴y＝2－cosx的单调递增区间即u＝－cosx的单调递增区间，即v＝cosx的单调递减区间，为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．[变式训练1]

(1)函数y＝2－cosx的单调递增区间是(

D

)

π(2)函数y＝－2sin2x－3＋1的单调递减区间为

.

π解析：求函数y＝－2sin

2x－3

＋1的单调递减区间即求函

π数y＝2sin2x－3－1的单调递增区间，令－π＋2kπ≤2x－π≤π＋2kπ，k∈Z，得－π

＋kπ≤x≤5π2

3

2

12

12＋kπ，k∈Z，

π

5π－12＋kπ，12＋kπ，k∈Z所以函数y＝－2sin(2x－π

＋1的单调递减区间为3)π

5π－12＋kπ，12＋kπ，k∈Z.A．0≤ω≤233C.2

ω≤33≤3B．0≤ω≤2D.2≤ω≤3类型二

单调性在三角函数中的应用命题视角1：已知三角函数的单调情况求参问题[例2]

若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[

π，

π

]上单调递减，3

2则ω的取值范围是(

D

)[思路分析]

根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[π

，π

]上单3

2调递减，建立不等式(组)，即可求出ω的取值范围．π[解析]

令2＋2kπ≤ωx≤3π

2kπ，k∈Z，2

＋得

π

2kπ2ω＋

ω

≤x≤2ω3π

2kπ＋

ω

，k∈Z.∵函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间

π

][3，2π

上单调递减，∴π

π

3π2ω≤3且ω2π

3≥2，∴2≤ω≤3.[变式训练2]

已知函数f(x)＝

πcosωx＋3(ω>0)在区间π

5π)12A.0，15

1B.0，5

112C.5，1512D.15，1－3，

6

上单调递减，则ω的取值范围为(

Bπ解析：令u＝ωx＋3，则y＝|cosu|，π

π

5π其中u＝ωx＋3在－3，6

上单调递增，

π

π

5ππ且u∈－3ω＋3，6

ω＋3，

y＝|cosu|在

π上单调递减，0，2π

π－3ω＋3≥0，5π

π

π

6

3

2∴

ω＋

≤

，ω>0，1∴0<ω≤5.命题视角2：利用单调性比较三角函数值的大小[例3]

比较下列各组中函数值的大小：cos(－23π)与cos(－17π)；5

4sin194°与cos160°.[思路分析]

利用诱导公式将异名三角函数转化为同名三角函数，非同一单调区间上的角转化到同一单调区间上，利用函数的单调性来比较．[解]

(1)cos(－

5723π)＝cos(－6π＋

π)＝5cos5π7

，17

7

77

7cos(－

4

π)＝cos(－6π＋4π)＝cos4π，∵π<5π<4π<2π，7

7∴cos5π<cos4π，423

17即cos(－

5

π)<cos(－

π)．(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°.从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.[变式训练3]比较大小：(1)cos(－7π

与7π8

) cos

6

；7

5(2)sin4与cos3.解：(1)cos(－7π

＝7π8

) cos

8

＝cos(π－π

＝－π8)

cos8，7π

π而cos

6

＝－cos6，∵

π

π

π

π

π0<8<6<2，∴cos8>cos6.π

π∴－cos8<－cos6，∴cos(

7π

co

7π—

8

)< s

6

.5

π

5(2)∵cos3＝sin2＋3，π

7

π

5

3

2<4<2＋3<2π，π

3

又y＝sinx在2，2π上是减函数，π

57

5∴sin4>sin2＋3＝cos3，7

5即sin4>cos3.类型三

三角函数的值域(或最值)问题命题视角1：利用三角函数的有界性和单调性求值域(或最值)[例4]

求下列函数的值域：π

ππ(1)y＝2sin2x＋3，x∈－6，2；(2)y＝|sinx|＋sinx.[思路分析]

利用正弦函数的有界性和单调性来求解．(1)由x的取值范围，确定2x＋π

的取值范围，再由正弦函数的单调3性求解；(2)先去绝对值符号，再求解．

ππ[解]

(1)∵x∈－6，2，π

4π∴2x＋3∈0，

3

.π令u＝2x＋3，

又y＝sinu在

π上单调递增，0，2

π∴0≤sin2x＋3≤1，

π∴0≤2sin2x＋3≤2；

π4πy＝sinu在2，3

上单调递减，

3

π∴－

2

≤sin2x＋3≤1，π∴－

3≤2sin2x＋3≤2，

∴函数的值域为[－3，2]．(2)∵y＝|sinx|＋sinx＝2sinx，sinx≥0，0，sinx<0，又sinx≥0时，0≤2sinx≤2，∴函数y＝|sinx|＋sinx的值域为[0,2]．

π

ππ[变式训练4]

求函数y＝3－4cos

2x＋3

，x∈

－3，6

的最大、最小值及相应的x值．

ππ解：因为x∈－3，6，

π

π

2π所以2x＋3∈－3，3

，1

π从而－2≤cos2x＋3≤1.

π所以当cos2x＋3＝1，π即2x＋3＝πmin0，x＝－6时，y

＝3－4＝－1.

π1当cos2x＋3＝－2，π

2π

π即2x＋3＝

3

，x＝6时，max

12y

＝3－4×

－

＝5.π综上所述，当x＝－6时，miny

＝－1；π当x＝6时，ymax＝5.命题视角2：化为f(sinx)或g(cosx)型函数求值域(或最值)[例5]

求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值：y＝cos2x＋2sinx－2；y＝

2sin2x＋3cosx－3.[思路分析]

转化成关于sinx(或cosx)为整体的二次函数的形式求解．[解]

(1)y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝－1，即x

π

2kπ，k∈Z时，＝－2＋函数取得最小值，ymin＝－(－1－1)2＝－4；当sinx＝1，即x＝π

2kπ，k∈Z时，2＋函数取得最大值，ymax＝－(1－1)2＝0.(2)y＝

－2cos2x＋3cosx－1

321＝ －2cosx－4

＋8.因为－1≤cosx≤1，且－2cos2x＋3cosx－1≥0，1所以2≤cosx≤1.3max所以当cosx＝4时，y

＝81＝

24

；1当cosx＝2或mincosx＝1时，y

＝0.2[变式训练5]

求函数y＝－2cos

x＋2sinx＋3，x∈π5π6，

6

的最大值和最小值．解：y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝

12

π1

5π

12sinx＋2

＋2.∵x∈6，

6

，∴2≤sinx≤1.当sinx＝1时，ymax＝5；当sinx＝2时，y1

5min＝2.命题视角3：分离常量求值域(或最值)2＋cosx[例6]

求函数y＝2－cosx的值域．[解]

方法一：(分离常数)y＝2＋cosx＝－1＋

4

2－cosx

2－cosx，因为－1≤cosx≤1，3所以1≤2－cosx≤3，4≤42－cosx≤4.1

1

所以3≤y≤3，即函数的值域为3，3.PA而k

＝2－12－(－1)13＝

，PBk

＝2－(－1)2－1＝3.1所以3≤kPQ≤3.

即函数的值域为1

3，3.方法三：由y＝2＋cosx得(1＋y)cosx＝2y－2，2－cosx因为1＋y≠0(否则两边不成立)，2y－2所以cosx＝

1＋y

.2y－2

1＋y

13由|cosx|≤1，即

≤1，解得

≤y≤3.

所以函数值域为1

3，3.sinx－21[变式训练6]

求函数y＝sinx－

的值域．sinx－2解：方法一：y＝

＝1＋1sinx－1

1－sinx.因为－1≤sinx<1，所以0<1－sinx≤2，即1

1

1

31－sinx≥2，所以1＋－sinx≥2，1

3所以函数的值域为2，＋∞.方法二：由y＝sinx－2sinx－1，得ysinx－y＝sinx－2，y－21即(y－1)sinx＝y－2，显然y≠1，故sinx＝y－.因为－1≤sinx<1，所以1y－2y－1<1，y－2

2y－3y－

≥－1，

y－1

≥0，即－1y－1<0，3

3解得y≥2，所以函数的值域为2，＋∞.课堂达标练经典7πA．[3π

]8

，

8π

3πB．[－8，

8

]5πC．[3π

]4

，

4π

πD．[－4，4]1．函数y＝2sin(2x－π

的一个单调递减区间是(

)4)

Aπ解析：令z＝2x－4，函数y＝2sinz的单调递减区间是[π

3π2＋2kπ，

2

＋2kπ](k∈Z)．π

π

3π3π

7π由2＋2kπ≤2x－4≤2

＋2kπ，k∈Z，得8

＋kπ≤x≤8

＋kπ，k∈Z.令k＝0

3π

x≤7π，得

8

≤

8

.2．下列关系式中正确的是(

C

)A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin80°，sin11°<sin12°<sin80°.∴sin11°<sin168°<cos10°.

π

3．函数y＝cos6－x的单调递增区间为

解析：y＝co

π－

＝co

－πs6

x

sx

6，π由2kπ－π≤x－6≤2kπ，k∈Z，5π

π得2kπ－6

≤x≤2kπ＋6，k∈Z，∴原函数的单调递增区间为

5ππ2kπ－

6

，2kπ＋6(k∈Z)．

．5ππ2kπ－

6

，2kπ＋6(k∈Z)4．当—π

x≤π

f(x)＝2≤

2时，函数

π2sinx＋3的最大值π

π

π

π

5

π解析：∵－2≤x≤2，∴－6≤x＋3≤6π，∴sinx＋32∈

－

，1

，∴ymax1

2＝

2，ymin＝－

2

.2—2是

，最小值是

2

.5．求函数y＝1－2cos2x＋5sinx的最大值和最小值．解：y＝1－2cos2x＋5sinx＝2sin2x＋5sinx－133＝2(sinx＋5

2－

.4)

8∵sinx∈[－1,1]，而y在[－1,1]上是增函数，∴当sinx＝－1时，函数取得最小值－4；当sinx＝1时，函数取得最大值6.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．求三角函数值域或最值的常用方法将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次的复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．温提

示馨自我检测：请完成课时作业49PPT文稿（点击进入）核心素养培优[典例1]

求函数y＝log2

sin

x＋求关于三角函数问题时忽略定义域或分类讨论致误考点1

忽略函数的定义域

π3的单调递增区间．

[错解]

令u＝si

＋π，因为2>1，nx

3

所以只需要求u＝si

＋πnx

3的单调递增区间即可，π

π

π于是－2＋2kπ≤x＋3≤2＋2kπ(k∈Z)，5π

π即－6

＋2kπ≤x≤6＋2kπ(k∈Z)，

5π

π所以单调递增区间为－6

＋2kπ，6＋2kπ(k∈Z)．

[错解分析]

本题若忽略对数函数的定义域，即si

＋πnx

3>0，就会得到错误答案：函数y＝log2

sin

x＋

π3的单调递增区间5π

π为－6

＋2kπ，6＋2kπ，k∈Z.

ππ[正解]

由题意，得sinx