初升高数学衔接通用资料

初升高数学衔接初升高数学衔接班学法指导一、学习目标：1、认识初高中数学学习的特点和差异2、了解高中数学的考法3、了解高中数学的学习策略和学习方法二、学习重点：1、初高中数学知识差异与学法差异2、针对高中数学的特点与考法，培养适合高中数学的学习方法、养成良好的学习习惯。三、重点讲解：高中数学的特点是：注重抽象思维，内容庞杂、知识难度大。高中教材不再像初中教材那样贴近生活，生动形象，知识容量也更为紧密。客观的说，初高中知识之间存在断层，正是由于这种断层造成很多同学难以在较短时间内适应高中数学的学习。那么，如何做好初高中数学学习的衔接过渡，使得同学们对高中数学学习有一个正确的认识，并迅速适应新的教学模式呢？下面我们就一起探讨如何应对高中数学的学习。（一）高中数学教材分析第

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页高中数学课程分为必修和选修。必修课程由5个模块（5本书）构成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干模块构成（系列1初升高数学衔接两本书、系列2三本书），系列3、系列4由若干专题组成。内容涉及初等函数、数列、概率与统计、算法、平面解析几何、立体几何等等。进入高中，我们首先学习的是《必修1》模块，我们应先对这一模块有一个大体的了解。《必修1》模块由两章构成，分别是：第一章：集合第二章：函数如何理解集合呢？集合是一种数学语言，我们要能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，提高我们运用数学语言进行交流的能力。在初中学习函数的基础上，我们还要进一步学习函数，只不过高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，在初中一次函数、二次函数、反比例函数的基础上，我们还将学习指数函数、对数函数、幂函数这些新的函数类型，而函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。（二）高中数学与初中数学特点的变化1、数学语言在抽象程度上的突变。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高中数学一开始即在初中学习的“函数”的基础上触及抽象的“集合语言”。第

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页例如：初中是这样定义函数的：设在一个变化过程中有两个变量x

与

y，如果对于

x

的每一个值，都有惟一的值

y

与它对应，那么就说自变量

x

是

y

的函数。那么，y=1是函数吗？我们需要进一步深化初升高数学衔接函数的概念。在高中是用集合的语言来定义函数的：设

A、B

是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系

f，使对于集合

A

中的任意一个数

x，在集合

B

中都有惟一确定的数

f（x）和它对应，那么就称f：A→B

为从集合

A

到集合

B

的一个函数。记作：y=f（x），x∈A．可以得到

y=1是函数的结论。集合作为数学的基本语言可以简洁地表示数学对象，对刚步入高中的同学来说，也是抽象的。而后续的几何部分也削弱了直观性而突出了抽象性和空间的想象能力。这就是说，思维要从初中的直观、经验型向抽象、理论型过渡。2、思维方法向理性层次跃迁。高一的同学产生数学学习障碍的一个原因是高中数学的思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是解答思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套路。因此，同学们在初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上发生了很大的变化，同学们一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，第

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页最后还需初步形成辩证型思维。初升高数学衔接3、知识内容剧增初中数学知识少、浅、难度低、知识面窄。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识进行推广和引申，也是对初中数学知识的完善。如：初中学习的角的概念只是“0～180°”范围内的，但实际当中也有720°和“－360°等角，为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小的角。又如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积；还将学习“排列组合”知识，以便解决排队方法种数等问题。如：①三个人排成一行，有几种排队方法？（答：6种）；②四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场次？（答：3种），高中将学习统计这些排列方式的数学方法。初中的学习中对一个负数开平方无意义，但在高中规定了 于是令－1的平方根为±i，这样即可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在今后的学习中将逐渐接触到。第

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页初升高数学衔接4、综合性增强，学科间知识相互渗透，相互为用，加深了学习的难度。比如这样一个实际问题：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为

a，如果天平制造得不够精确，天平的两臂长短略有不同（其他因素不计），那么

a并非物体的实际质量。不过我们可以做第二次测量：把物体调换到另外一个盘子上，此时称得的物体的质量为

b，如何合理地表示物体的质量呢？要解决这个问题我们需要用到物理中力学的知识，且我们还可以从中得出一个重要的数学不等式。5、系统性增强。由于高中教材的理论性增强，常以某些基础理论为纲，根据一定的逻辑，把基本的概念、基本原理、基本方法联结在一起，构成一个完整的知识体系。前后知识的关联是其中一个表现。另外，知识结构的形成是另一个表现，因此高中教材知识的结构化明显升级。如函数，初中只简单地介绍一次、二次、反比例、正比例函数，对函数的性质很少研究，而高中的函数是一个大的知识体系。函数的定义域、值域、解析式、性质等是一个小系统；指数函数、对数函数、三角函数、二次函数也是一个小系统；函数图象也是一个小系统等等。这些小知识体系相互渗透、联系构成函数大体系。再比如小学里就有根据规律填数，如2，4，6，（

），10，而数列的理论体系到高中才建立起来。第

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页初升高数学衔接6、能力要求更高高中课程目标明确地提出要提高学生的五种基本能力，即空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理能力。平时要注重对这些能力的培养。比如空间想象能力是对空间形式进行观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。同学们在初中学习过三视图，可以画出简单空间图形的三视图，到高中，我们会具体给出三视图的定义，而且会考查由三视图如何还原出实际物体。例1：下面是一个组合图形的三视图，请描述物体形状如果给出相应的数据，同学们是否能够求出它的体积呢？这道题考查的就是同学们的空间想象能力。例2：三角数阵中的归纳推理根据以上排列规律，数阵中第

n（n≥3）行从左至右的第3个数是

。这道题考查的就是同学们的归纳推理能力。第

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页初升高数学衔接当然，对于一个实际问题，同学们是否能够建立恰当的数学模型来处理问题，这又对大家的能力提出了更高的要求。（三）高中数学考试的特点高考中主要考查什么呢？考纲要求：数学学科的考试，按“考查知识的同时，注重考查能力”的原则，将知识、能力和素养融为一体，全面考查学生的数学素养。拿江苏高考卷来说，文科数学满分为160分，理科数学满分为200分，其中数学选修部分占40分。初中数学的考试方法，基本上是学什么考什么。高中数学考试却有许多截然不同之处。考试题多半是生疏的题目，是不能依赖模仿加以解决的问题。同学们在做题中最感困难的是没有思路。分析不出所要解答的题目的问题结构。仿佛感到什么方法都学过，就是分不清什么时候该用哪一个。看来，初高中数学考试的主要区别是高中考的是同学们解决问题的能力。（四）学好高中数学的应对策略和学习方法第

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页我们了解了高中数学的特点以及考试的特点之后，现在就根据其特点寻找相应的学法。1、充分发挥“老师”的作用。有一些同学在初中学习不规范，凭借聪明的头脑，在初三的中考突击中也能取得较理想的成绩。这部分同学上高中后，学习上仍比较放松，以为采取同样的方法仍可以考上理想的大学。但是，现实告诉初升高数学衔接我们，这种投机取巧的方式到高中是根本行不通的。中考的题目不太具有明显的选拔性，中考只是局部的学生竞争，同学们考上高中都相对容易，但高考则不同，目前我们国家还不可能普及高等教育，高等教育可说还属于一种精英教育，只能选拔一些成绩好的同学去读大学，因此高考的题目往往具有很强的选拔性，竞争非常激烈。从课程本质上说，高中内容体系性虽强，但是在编写时是通过“模块”的形式把这些比较系统的内容分散开来编写的，如果没有老师的引领，同学们在学习时会觉得内容繁杂、无序，不容易形成知识结构和“思维链”，无法形成对知识“一览众山小”的把握，并不利于对知识的学习。而且，前面也说了，高中数学蕴含着很多的数学思想与数学解题方法，这些抽象的思想与灵活方法的运用，同学们仅凭读课本是无法感知的，而老师上课时一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重、难点，突出思想方法，只有在老师的带领下同学们才能更好地认识高中数学，认清结构，发现其中的奥秘，利用好老师的角色将对我们的学习起到事半功倍的效果。2、抓住数学的灵魂———数学思想。所谓数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，属于对数学规律性的认识范畴。数学思想是数学学习的关键，数学思想指导着数学问题的解决，并具体体现在解决问题的不同方法中。常用的数学思想有：方程思想、函数思想、第

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页转化思想、整体思想、数形结合思想、分类讨论思想等。无论是初中数学还是高中数学，数学思想都是数学的灵魂，它们初升高数学衔接之间是可以衔接的。第

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页例1：某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型机20台，乙型机30台。现将这50台联合收割机派往

A、B

两地区收割小麦，其中30台派往

A

地区，20台派往

B

地区。两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A

地区1800元1600元B

地区1600元1200元（1）设派往

A

地区

x

台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为

y（元），求

y

与

x

间的函数关系式，并写出

x

的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司提出一条合理建议．解：（1）若派往

A

地区的乙型联合收割机为

x

台，则派往

A

地区的甲型联合收割机为（30－x）台；派往

B

地区的乙型收割机为（30－x）台，派往

B

地区的甲型收割机为（x－10）台。∴y＝1600x＋1800初升高数学衔接（30－x）＋1200（30－x）＋1600（x－10）＝200x＋74000。 x

的取值范围是：10≤x≤30（x

是正整数）。（2）由题意得200x＋74000≥79600，解不等式得

x≥28.由于10≤x≤30，∴x

取28，29，30这三个值，故有3种不同的分配方案。①当

x＝28时，即派往

A

地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往

B

地区甲型收割机18台，乙型收割机2台。②当

x＝29时，即派往

A

地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往

B

地区甲型收割机19台，乙型收割机1台。③当

x＝30时，即30台乙型收割机全部派往

A

地区；20台甲型收割机全部派往

B

地区。（3）由于一次函数

y＝200x＋74000的值

y

是随着

x

的增大而增大的，所以，当

x＝30时，y

取得最大值。如果要使该农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需

x＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000。建议该农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往

A

地区；20台甲型收割机全部派往

B

地区，可使该农机租赁公司获得的租金最高。这里面透露出的就是函数的思想，而在高中，函数的思想是非常重要的数学思想。例2：实数

k

为何值时，方程

kx2+2|x|+k=0有实数解？运用函数的第

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页思想就可以解决这个问题。初升高数学衔接3、夯实基础知识和基本技能，掌握适度的知识外延。要学习好高中数学，必须准确理解和掌握好基本概念、基本公式和基本性质，抓住这些基本知识的要点和适用范围，是学好数学的基础之一，否则一切都无从谈起，从目前的高考来看，也很侧重对这些知识的考查，特别是一些简答题，如对某些基本概念不能准确理解就很难正确作答。夯实基础知识和基本技能是学好数学的必要基础，但仅有这些还不够，要想在有限的时间内准确快速地解答完考题，必须具备一定的知识外延，需要在平时的听课和练习中注意加强对一些重要结论的记忆，扩大自己的知识面，丰富自己的知识积累。4、做题之后加强反思同学们一定要明确，现在正做着的题，绝不会是考试的题目。在考试中我们需要运用平时做题目时的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思，总结一下自己的收获。要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。反思是学习过程中很重要的一个环节。5、主动复习，总结提高进行章节总结是非常重要的。初中时是老师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也不会明确指出做总结的时间。第

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页那么，怎样进行章节复习呢？（1）把本章节的内容一分为二，一部分是基础知识，一部分是初升高数学衔接典型问题。要把对技能的要求，列进这两部分的其中一部分中，不要遗漏。（2）把各种重要的，典型的问题记录在册。6、养成良好的解题习惯，提高自己的思维能力。能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平日的学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如：空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其他能力的培养也都需要在学习、理解、训练、应用中得到发展。（五）给“高一”新同学的建议1、改掉“依赖”的习惯许多同学进入高中后，还像在初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不订计划，坐等上课，对老师课上要讲的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”，不会巩固所学的知识。——主动性不好是同学中普遍存在的问题。高中仅做听话的孩子是不够的，只知做作业也是绝对不够的；高中老师讲的话也不少，但是谁该干些什么，老师并不一一具体指明。第

12

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72

页因此，高中新生必须提高学习的自主性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。2、运算一定要过关学习数学离不开运算，初中老师往往一步一步在黑板上演算。到初升高数学衔接了高中，因时间有限，运算量大，老师常把计算过程留给同学们，这就要求同学们多动脑，勤动手，不仅要能笔算，而且还要能口算，心算和估算，对复杂运算，要有耐心，掌握算理，注重简便方法。许多学生由于运算能力低，致使数学成绩难以提高，但他们总归咎于“粗心”，思想上仍不重视。我们在高一时就要重视对自己运算能力的培养。3、题目贵“精”，不贵“多”有的同学认为，要想学好数学，只要多做题，功到自然成。其实不然。一般说做的题太少，很多熟能生巧的问题就会无从谈起。因此，应该适当地多做题。但是，只顾钻入题海，堆积题目，在考试中一般也是难有作为的。做题的效率要高。做题的目的在于检查你所学的知识、方法是否已掌握好。如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习。高中数学学习是初中数学学习的拓展和深化。为了帮助同学们顺利地从初中数学过渡到高中数学的学习，老师将在后续课程中对高中数学部分将要用到的一些初中数学知识进行深化和补充，并在此基础上为同学们揭开高中数学知识内容的帷幕。【同步练习】（答题时间：45分钟）1.关于

x

的方程

x2+kx+k2－9=0只有一个正根，那么

k

的值是（ ）第

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页A.k＞3或＜－3 B.

k=±3初升高数学衔接C.k≥3或

k≤－3 D.－3≤k＜37.今有

A、B、C、D

四人在晚上都要从桥的左边到右边去。此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒的。四人过桥最快所需时间如下：A2分钟；B3分钟；C8分钟；D10分钟。走得快的人要等走得慢的人，请问如何的走法才能在21分钟内让所有的人都过桥?8.

125

×

4

×

3

=

2000这个式子显然不等，可是如果算式中巧妙地插入两个数字“7”，这个等式便可以成立，你知道这两个7应该插在哪吗？9.牛顿的名著《一般算术》中，还编有一道很有名的题目，即牛在牧场上吃草的题目，以后人们就把这种应用题叫做牛顿问题。“有一片牧场的草，如果放牧27头牛，则6个星期可以把草吃光；第

14

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页初升高数学衔接如果放牧23头牛，则9个星期可以把草吃光；如果放牧21头牛，问几个星期可以把草吃光？”*10.春夏

×

秋冬

=夏秋春冬，春冬

×

秋夏＝春夏秋冬，式中春、夏、秋、冬各代表四个不同的数字，你能指出它们各代表什么数字吗？*11.

著名物理学家爱因斯坦编的问题：在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2阶，那么最后剩1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？牧场上原有的草量是162－15×6=72，或207－15×9=

72。第

15

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页初升高数学衔接前面已假定每头牛每星期的吃草量为1，而每星期新长的草量为15，因此新长出的草可供15头牛吃。今要放牧21头牛，还余下21－5=6头牛要吃牧场上原有的草，这牧场上原有的草量够6头牛吃几个星期，就是21头牛吃完牧场上草的时间。72÷6=12（星期）。也就是说，放牧21头牛，12个星期可以把牧场上的草吃光。10.解：春夏×秋冬=夏秋春冬，春冬×秋夏=春夏秋冬∵秋夏<100，春冬×100=春冬00>春夏秋冬

∴冬＞夏且积千位≤春

∴春＞夏当夏≠1时，根据九九表和

冬＞夏知：冬=5，夏=3若春≥6，由春3×秋5＝3秋春5＜4000可知

秋＜7。春5×秋3＜春000无解若春＜6春≠5且春＞夏＝3所以

春＝4

45×秋3＝43秋5无解所以

夏＝1因为

春冬×秋1＝春1秋冬，

所以秋>5春1×秋冬=1秋春冬，

∴春≤3，当春=3时，秋=6，3冬×61=316冬

无解。因为

春>夏，且<3，所以

春=22冬×秋1=21秋冬，21×秋冬=1秋2冬；秋=9时无解，秋=8时，冬=711.解：分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比

2、3、5、6

的公倍数（即

30

的倍数）小

1，并且是

7

的倍数。因此只需从

29、第

16

页

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72

页59、89、119、……中找

7

的倍数就可以了。很快可以得到答案为

119阶。初升高数学衔接第一讲

数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】(a

b

c)2

a

2

b

2

c

2

2ab

2bc

2ca证明：(a

b

c)2

[(a

b)

c]2

(a

b)2

2(a

b)c

c

2

a

2

2ab

b

2

2ac

2bc

c

2

a

2

b

2

c

2

2ab

2bc

2ca等式成立【例

1】计算：(x

2

2x

1)232x)

1]23解：原式=[x

2

(3第

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72

页3 3 312 2 22x

19

x422x3

8x2

23

(x2)2

(

2x)()

2x(

2)x

2x2

12

1

(

2x)初升高数学衔接说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式

1、2、3

均称为乘法公式．【例3】计算：【公式

2】(a

b)(a

2

ab

b

2

)

a3

b3

(立方和公式)证明:

(a

b)(a

2

ab

b

2

)

a3

a

2b

ab

2

a

2b

ab

2

b3

a3

b3说明:请同学用文字语言表述公式

2.【例2】计算：(a

b)(a

2

ab

b

2

)解：原式=[a

(b)][a

2

a(b)

(b)2

]

a3

(b)3

a3

b3我们得到：【公式

3】(a

b)(a

2

ab

b

2

)

a3

b3

(立方差公式)5 2 25 10 4（1）(4

m)(16

4m

m2

) （2）

1(m

1n)(1m2

1mn

1n2

)（3）(a

2)(a

2)(a

4

4a

2

16)

（4）(x

2

2xy

y

2

)(x

2

xy

y

2

)2解：（1）原式=

43

m3

64

m33第

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72

页5 21 11m3

1

n3125 83

（2）原式=(

m)

(

n)（3）原式=(a

2

4)(a

4

4a

2

42

)

(a

2

)3

43

a

6

64（4）原式=(x

y)2

(x

2

xy

y

2

)2

[(x

y)(x

2

xy

y

2

)]2

(x3

y3)2

x6

2x3y3

y

6说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住

1、2、3、4、…、20的平方数和

1、2、3、4、…、10

的立方数，是非常初升高数学衔接有好处的．①【例

4】已知x

2

3x

1

0

，求x3

1

的值．xx3解：

x

2

3x

1

0

x

0

x

1

3x

2x x x原式=(x

1

)(x

2

1

1

)

(x

1

)[(x

1

)2

3]

3(32

3)

18说明：本题若先从方程x

2

3x

1

0

中解出x

的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知a

b

c

0

，求

a(1

1)

b(1

1

)

c(

1

1

)

的值．b c c a a b解：

a

b

c

0,

a

b

c,

b

c

a,

c

a

b原式=

a

b

c

b

a

c

c

a

bbc ac ab

a(a)

b(b)

c(c)

a

2

b

2

c

2bc ac ab abcabc

a3

b3

(a

b)[(a

b)2

3ab]

c(c

2

3ab)

c3

3abc

a3

b3

c3

3abc

②，把②代入①得原式=

3abc

3说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：a3

b3

c3

3abc

(a

b

c)(a

2

b

2

c

2

ab

bc

ca)二、根式式子

a

(a

0)

叫做二次根式，其性质如下：(1)(a)2

a(a

0) (2) a2|a

|(3) ab

a

b(a

0,b0)

(4)b

a第

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页

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72

页b(a

0,b

0)a初升高数学衔接(1) (2)解：(1)

原式=(2)

原式=说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘【例6】化简下列各式：(1) (3

2)2(3

1)2 (2) (1

x)2

(2

x)2(x

1)解：(1)

原式=|

3

2

|

|

3

1|

2

3

3

1

1(2)

原式=|

x

1|

|

x

2

|

(x

1)

(x

2)

2x

3

(x

2)(x

1)

(x

2)

1

(1

x

2)说明：请注意性质

a2

|

a

|

的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例

7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：32

31

1a b(3)

2x

2x3

8x3(2

3)

3(2

3)63

322

3(2

3)(2

3)a

b

a2

b

ab2ab ab(3)

原式=

22x

x

x2

2

22x

2x

xx22x32x

x

x2

232

3)或被开方数有分母(如 x

)．这时22b 2第

20

页

共

72

页可将其化为

a

形式(如 x

可化为 x

)

，转化为“分母中有根式”的初升高数学衔接以一个根式进行化简．(如化为叫做互为有理化因式)．【例

8】计算：(2)(2)

原式=说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．32

33(2

3)(2

3)(2

3)，其中2

3

与2

3(1)(a

b

1)(1

a

b)(a

b)2a

aa

ab a

ab解：(1)

原式=(1

b)2(a)2

(a2ab

b)

2a2ab2b

11 1aaa(a

b

) a(a

b

) a

b a

b

(a

b)(a

b)

2

aa

b(a

b)(a

b

)3,y

2

2

32

3【例

9】设x

2

3

，求x3

y3

的值．2

3 (2

3)2解：

x

743,y743

x

y

14,xy

12

3 22

3原式=(x

y)(x2

xy

y2

)

(x

y)[(x

y)2

3xy]

14(142

3)

2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式

A

的分子、分母中至少有一个是分式时，

A

就叫做繁分式，B B繁分式的化简常用以下两种方法：(1)

利用除法法则；(2)

利用分式的基本性质．第

21

页

共

72

页初升高数学衔接【例

10】化简解法一：原式=说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方简．一般根据题目特点综合使用两种方法．解 ： 原式=说明：(1)

分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)

分式的计算结果应是最简分式或整式．xx

1

xx

1xxxxxxx2x解法一：原式=x

x(x

1)

x

1(1

x)

xx2

x

xx

1

xx

x

x

1x2

1 (x

1)(x

1)x

1x xxxxx(x

1)

x

1x2

x

xx

x

(1

x)

x x

x(1

x)x

1x2

1(x

1

)

xx式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质

A

A

m

进行化B B

m6x x

1【例

11】化简

x2

3x

9

x2

27 9x

x2 6

2xx2

3x

9 6xx

1 1 6 x

1

(x

3)(x2

3x

9) x(9

x2

) 2(3

x) x

3 (x

3)(x

3) 2(x

3)3

x

2(x

3)

12

(x

1)(x

3)

(x

3)22(x

3)(x

3) 2(x

3)(x

3) 2(x

3)A 组1．二次根式

a2

a

成立的条件是( )A．

a

0 B．

a

0 C．

a0实数D．

a

是任意2．若x

3

，则

9

6x

x2

|

x

6

|

的值是(

)练 习第

22

页

共

72

页初升高数学衔接B．３C．－９ D．９(1) (2)(3) (4)5．化简：(1)(2)，求代数式的值．的值．A．－３3．计算：(1)(x

3y

4z)2(3)

(a

b)(a2

ab

b2

)

(a

b)214(2)

(2a

1

b)2

(a

b)(a

2b)(4)(a4b)(a2

4b2

ab)4．化简(下列a

的取值范围均使根式有意义)：8a3 a

1a4abab

b

a1212 3

2 3

1

25 9m

10m

2m2xB

2x2y组3

(x

my0)1．若

1

1

2

，则3x

xy

3y

的值为(

)：x yA．

352．计算：x

xy

yB．

35C．

53D．

53(1)(

a

b

c)(

a

b

c

)(2)1(1

1

)2 3113．设x

,y

3

2 3

2x2

xy

y2x

y2 2b a aba b a2

b24．当3a

ab

2b

0(a

0,

b

0)

，求

5．设x

、

y

为实数，且xy

3

，求x y

y x

的值．x y6 ． 已 知 a

1x

20,b

1x

19,c

1x

21， 求 代 数 式20 20 20a2

b2

c2

ab

bc

ac

的值．2第

23

页

共

72

页7．设x

5

1

，求x4

x2

2x

1的值．8．展开(x

2)49．计算(x

1)(x

2)(x

3)(x

4)(3)第一讲

习题答案(2)初升高数学衔接10．计算(x

y

z)(x

y

z)(x

y

z)(x

y

z)11．化简或计算：33(1)(18

4)

1

12 2

31(2)

2232

(2

5)2

5

2xx

xy

x

xy

yxy

y2xx

y

y(4)

(aa

b

ab)

(b

a

b

)a

bab

b ab

a abA

组1．C 2．

A3．(1)

x29y2

16z2

6xy

8xz24yz3a2

5ab

3b2

4a

2b

1(3)3a2b

3ab2(4)1a3

16b342(

a

b

)4．

2a

2a

a

2

12a

b5．

m

m 2

xyB

组第

24

页

共

72

页初升高数学衔接3．第二讲

因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．ac,322

36． 336

131．D 2．

a

c

b

24．

3,

2 5．

237．

3

58．

x4

8x3

24x2

32x

169．

x4

10x3

35x2

50x

2410．x4

y4

z4

2x2y2

2x2z22y2

z23第

25

页

共

72

页3

, x

y,y11．

3,4b

a初升高数学衔接这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它第

26

页

共

72

页们的平方和与它们积的差(和)．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(a

b)(a2

ab

b2

)

a3

b3

(立方和公式)(a

b)(a2

ab

b2

)

a3

b3

(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：a3

b3

(a

b)(a2

ab

b2

)a3

b3

(a

b)(a2

ab

b2

)运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)8

x3 (2)0.125

27b3分析：(1)中，

8

23

，(2)中0.125

0.53

,

27b3

(3b)3

．解：(1)

8

x3

23

x3

(2

x)(4

2x

x2

)(2)

0.125

27b3

0.53

(3b)3

(0.5

3b)[0.52

0.5

3b

(3b)2]

(0.5

3b)(0.25

1.5b

9b2

)说明：(1)

在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a3b3

(2ab)3

，这里逆用了法则(ab)n

anbn

；(2)

在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：初升高数学衔接1．分组后能提取公因式(1)3a3b

81b4第

27

页

共

72

页(2)a7

ab6分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现a6

b6

，可看着是(a3

)2

(b3

)2

或(a2

)3

(b2

)3

．解：(1)

3a3b

81b4

3b(a3

27b3

)

3b(a

3b)(a2

3ab

9b2

)

．(2)a7

ab6

a(a6

b6)

a(a3

b3)(a3

b3

)

a(a

b)(a2

ab

b2

)(a

b)(a2

ab

b2

)

a(a

b)(a

b)(a2

ab

b2

)(a2

ab

b2

)二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma

mb

na

nb

既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．【例3】把2ax

10ay

5by

bx

分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x

的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a

与b

，这时另一个因式正好都是x

5

y

，这样可以继续提取公因式．解：

2ax

10ay

5by

bx

2a(x

5

y)

b(x

5

y)

(x

5

y)(2a

b)说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把ab(c2

d

2)

(a2

b2

)cd

分解因式．初升高数学衔接2．分组后能直接运用公式能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之第

28

页

共

72

页分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：

ab(c2

d

2)

(a2

b2

)cd

abc2

abd

2

a2

cd

b2

cd

(abc2

a2

cd

)

(b2

cd

abd

2)

ac(bc

ad

)

bd

(bc

ad

)

(bc

ad

)(ac

bd

)说明：由例

3、例

4

可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．【例5】把x2

y2

ax

ay

分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x

y

；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a

后，另一个因式也是x

y

.解：

x2

y2

ax

ay

(x

y)(x

y)

a(x

y)

(x

y)(x

y

a)【例6】把2x2

4xy

2

y2

8z2

分解因式．分析：先将系数

2

提出后，得到

x2

2xy

y2

4z2

，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：2x2

4xy2y2

8z2

2(x2

2xy

y2

4z2)

2[(x

y)2

(2z)2

]

2(x

y

2z)(x

y

2z)说明：从例

5、例

6

可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都初升高数学衔接间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法它们的符号与一次项系数的符号相同．第

29

页

共

72

页1．

x2

(

p

q)x

pq

型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)

二次项系数是

1；(2)

常数项是两个数之积；(3)

一次项系数是常数项的两个因数之和．x2(p

q)x

pq

x2

px

qx

pq

x(x

p)

q(x

p)

(x

p)(x

q)因此，

x2

(

p

q)x

pq

(x

p)(x

q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为

1

的二次三项式分解因式．【例7】把下列各式因式分解：(1)x2

7x

6 (2)x2

13x

36解：(1)

6

(1)

(6),(1)

(6)

7

x2

7x

6

[x

(1)][x

(6)]

(x

1)(x

6)

．(2)

36

4

9,

4

9

13

x2

13x

36

(x

4)(x

9)说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，【例8】把下列各式因式分解：(1)x2

5x

24 (2)x2

2x

15解：(1)

24(3)

8,

(3)

8

5数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．【例

9】把下列各式因式分解：初升高数学衔接

x2

5x

24

[x

(3)](x

8)

(x

3)(x

8)(2)

15

(5)

3,

(5)

3

2

x2

2x

15

[x

(5)](x

3)

(x

5)(x

3)说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因第

30

页

共

72

页(1)x2

xy6

y2(2)(x2

x)2

8(x2

x)

12分析：

(1)

把

x2

xy

6

y2

看成

x

的二次三项式，

这时常数项是6

y2

，

一

次

项

系

数

是

y

，

把

6

y2

分

解

成

3y

与

2

y

的

积

，

而3y

(2

y)

y

，正好是一次项系数．(2)

由换元思想，只要把

x2

x

整体看作一个字母a

，可不必写出，只当作分解二次三项式a2

8a

12

．解：(1)

x2

xy

6

y2

x2

yx

62

(x

3y)(x

2

y)(2)(x2

x)2

8(x2

x)12

(x2

x

6)(x2

x

2)

(x

3)(x

2)(x

2)(x

1)2．一般二次三项式ax2

bx

c

型的因式分解大家知道，(a

x

c

)(a

x

c

)

a

a

x2

(a

c

a

c

)x

c

c

．1 1 2 2 1

2 1

2 2

1 1

2反过来，就得到：

a

a

x2

(a

c

a

c

)x

c

c

(a

x

c

)(a

x

c

)1

2 1

2 2

1 1

2 1 1 2 2我们发现，二次项系数

a

分解成

a1a2

，常数项c

分解成

c1c2

，把1 2 1 2a

,

a

,

c

,

c

写成1 1a ca2 c2，

这里按斜线交叉相乘，

再相加，

就得到1

2 2

1a

c

a

c

，如果它正好等于ax2

bx

c

的一次项系数b

，那么ax2

bx

c就可以分解成(a1

x

c1

)(a2

x

c2

)

，其中a1

,

c1

位于上一行，

a2

,

c2

位于下一初升高数学衔接行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的第

31

页

共

72

页方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是

1

时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．四、其它因式分解的方法1．配方法5x2

6xy

8

y2【例

10】把下列各式因式分解：(1)12x2

5x

2 (2)解：(1)

12x2

5x

2

(3x

2)(4x

1)4 13 2(2)

5x2

6xy

8

y2

(x

2

y)(5x

4

y)5 4

y1

2

y【例11】分解因式x2

6x

16解：

x2

6x

16

x2

2

x

3

32

32

16

(x

3)2

52

(x

3

5)(x

3

5)

(x

8)(x

2)说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．初升高数学衔接2．拆、添项法一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1)

如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)

如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3)

如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；A组1．把下列各式分解因式：(6)【例12】分解因式x3

3x2

4分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为

0

了，可考虑通过添项或拆项解决．解：

x3

3x2

4

(x3

1)

(3x2