直线与平面平行经典题目

第4页共11页9.2直线与平面平行●知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.●点击双基1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ答案：D2.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①② B.②③ C.③④ D.①④答案：AA.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.答案：C4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与lA.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线解析：对于任意的直线与平面，若在平面α内，则存在直线m⊥；若不在平面α内，且⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于，若不在平面α内，且于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线垂直于它的射影，则与垂直，综上所述，选C.5.已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.（i）当满足条件③⑤时，有；（ii）当满足条件②⑤时，有. （填所选条件的序号）●典例剖析【例1】如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.又NQ=BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形.∴MN∥PQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE.证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG.∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE.又==，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.又∵BN∶ND=PM∶MA，∴EN∶AN=PM∶MA.∴MN∥PE.又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.设AA′=BB′=x，则AC2=（）2=2x2，BC2=（）2=4x2.又AC2+BC2=AB2，∴6x2=（2）2，x=2.答案：28、（07江西）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1xzyMGDSFCBEAAxzyMGDSFCBEAA第39题图第38题图FEPDC（Ⅲ）求此几何体的体积；解法一：（1）证明：作交于，连．则．因为是的中点，所以．则是平行四边形，因此有．平面且平面，则面．（2）如图，过作截面面，分别交，于，．作于，连．因为面，所以，则平面．又因为，，．所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．因为，所以，故，即：所求二面角的大小为．（3）因为，所以．．所求几何体体积为．解法二：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，．易知，是平面的一个法向量．因为，平面，所以平面．（2），，设是平面的一个法向量，则则，得：取，．显然，为平面的一个法向量．则，结合图形可知所求二面角为锐角．所以二面角的大小是．（3）同解法一．培养能力9.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以从而（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以设点F是棱PC上的点，则令得解得即时，亦即，F是PC的中点时，、、共面.又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.解法二当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，证法一取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.①由知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.所以BM//OE.②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.证法二因为所以、、共面.又BF平面ABC，从而BF//平面AEC.探究创新10.如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N（1）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（2）求二面角B—A1N—B1的正切值；（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2），求V1∶V2的值.（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.∵E为A1B的中点，∴EFB1B.又C1MB1B，∴EFMC1.∴四边形EMC1F为平行四边形.∴EM∥FC1.∵EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1，∴EM∥平面A1B1C1D1（2）解：作B1H⊥A1N于H，连结BH.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BH⊥A1N.∴∠BHB1为二面角B—A1N—B1的平面角.∵EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，∴EM∥A1N.又∵EM∥FC1，∴A1N∥FC1.又∵A1F∥NC1，∴四边形A1FC1N是平行四边形.∴NC1=A1F.设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a.在Rt△A1D1N中，A1N==a，∴sin∠A1ND1==.在Rt△A1B1H中，B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a·=a.在Rt△BB1H中，tan∠BHB1===.（3）解：延长A1N与B1C1交于P，则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C.又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM，∴P∈BM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.又∵平面MNC1∥平面BA1B1，∴几何体MNC1—BA1B1为棱台.∵S=·2a·a=a2，S=·a·a=a2，棱台MNC1—BA1B1的高为B1C1=2a，V1=·2a·（a2++a2）=a3，∴V2=2a·2a·a－a3=a3.∴=.●思悟小结1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外.2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.教学点睛1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法.拓展题例【例1】在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b.（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）求证：A1C1⊥AB；（3）求点B1到平面ABC1的距离.（1）证明：∵E、F分别为AB1、BC1的中点，∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC，∴EF∥AC.∴EF∥平面（2）证明：∵AB=CC1，∴AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB1A1为正方形.连结A1B，则A1B⊥AB1.又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1.∴AB1⊥A1C1.又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1.∴A1C1⊥AB.（3）解：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1.∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.过A1作A1G⊥AC1于点G，∵AB⊥平面ACC1A1，∴AB⊥A1G.从而A1G⊥平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G=评述：本题（3）也可用等体积变换法求解. 2、（07全国Ⅱ）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD=