测量误差的基本知识

测量误差的基本知识第一页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第一节测量误差的概念

在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量误差（又叫真误差），即:测量误差=真值-观测值第二页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第一节测量误差的概念

一、产生误差的原因

1.仪器的原因2.人的原因3.外界环境的影响第三页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第一节测量误差的概念

二、测量误差的分类与处理原则

1.系统误差:

在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果观测误差在数值大小和符号上保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

第四页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第一节测量误差的概念

二、测量误差的分类与处理原则处理系统误差的方法通常有以下三种：

（1）检校仪器，把仪器的系统误差降低到最小程度。（2）求改正数，对观测成果进行必要的改正。例如量距前先对钢尺进行比长鉴定，求出尺长改正，然后对量得的距离进行尺长改正。（3）对称观测，使系统误差对观测成果的影响互为相反数，以便在成果计算中，自行消除或削弱。例如，在水准测量中采用的中间法，测角过程中采用的盘左盘右观测等都是利用对称观测来达到削弱系统误差的目的。第五页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第一节测量误差的概念

2.偶然误差:

在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差在数值大小和符号上都不一致，表面上看不出任何规律性，这种误差称为偶然误差。

在水准测量中，在水准尺上估读毫米数，有时偏大有时偏小；测水平角瞄准目标时，有时偏左、有时偏右，这种误差都属于偶然误差。

二、测量误差的分类与处理原则第六页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第一节测量误差的概念

2.偶然误差:

处理偶然误差的方法:

进行多余观测，产生闭合差，闭合差在允许范围内进行闭合差的调整，又称为测量平差。

二、测量误差的分类与处理原则第七页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第一节测量误差的概念在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，358个三角形内角和的真误差，按照绝对值的大小，分区间列于下表误差区间d△(″)负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810.5051770.4953581.000第八页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第一节测量误差的概念

3.偶然误差:

偶然误差特性:。

二、测量误差的分类与处理原则表6-1偶然误差的统计特性b误差个数a图5-1偶然误差分布曲线第九页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第一节测量误差的概念特性

1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。

3)绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等。

4)偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。

偶然误差

二、测量误差的分类与处理原则第十页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第二节评定观测值精度的标准

一、精度的概念

精度亦即测量值的精密程度或者是它的精确程度，是指对同一量的多次观测中，各个观测值之间或观测值与其真值之间的差异程度（或称离散程度）。若观测值之间或与其真值之间差异大，则精度低；差异小，则精度高。实际上，精度也就是通过误差来表达的。

在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布曲线。如果误差分布较为密集，即离散度较小时。则表示该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果分布较离散，即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。第十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第二节评定观测值精度的标准所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度。假如两组观测成果的误差分布相同，说明这两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。对于相同的条件（观测者、仪器、方法、环境等）下所进行的一组观测，可以认为其误差产生的机会均等，它们对应着一种误差分布，因此，观测结果亦具有同样的精确度。也就是说，它们的精度属于同一等级，称之为等精度观测。

第十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第二节评定观测值精度的标准Vi=x-Li(i=1,2，…n)

i=X-Li(i=1,2，…n)二、衡量精度的指标（1）用真误差来确定中误差（2）用改正数来确定中误差1、中误差：在一定条件下，对某一量进行年n次观测，各观测值真误差平方和的平均值的平方根叫做中误差，一般用表示m表示。

第十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期一2、相对误差：观测值的中误差与观测值之比。

第三节评定观测值精度的标准二、衡量精度的指标第十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期一3、容许误差（“允许误差”，或称为“限差”）以2倍（或3倍）中误差作为允许的误差极限

：

第二节评定观测值精度的标准二、衡量精度的指标第十五页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第三节算术平均值

x是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。这是最或是误差的一大特征，用作计算上的校核。一、算术平均值在实际工作中，采用对某量有限次数的观测值来求得算术平均值，即：

二、最或是误差(改正数)及特性

最或是值与观测值之差称为最或是误差，又名观测值改正数，用V表示，即：

Vi=x-Li而第十六页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第三节算术平均值

x是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。一、算术平均值在实际工作中，采用对某量有限次数的观测值来求得算术平均值，即：第十七页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第二节算术平均值这是最或是误差的一大特征，用作计算上的校核。

二、最或是误差(改正数)及特性

最或是值与观测值之差称为最或是误差，又名观测值改正数，用V表示，即：

Vi=x-Li而第十八页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第四节观测值函数中误差设xi的中误差为mi，函数F的中误差为mF，经推导得：设有函数F=K1x1±K2x2±…±Knxn式中：F

——线性函数；

Ki——常数；

xi——观测值。m2F=(K1m1)2+(K2m2)2+…(Knmn)2

第十九页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第四节观测值函数中误差

例一:在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离S=163.6mm，其中误差ms=0.2mm。求A、B两点实地距离D及其中误差mD。∴D=81.1±0.1(m)mD=MmS=500×0.2(mm)=±0.1(m)解：D=MS=500×163.6(mm)=81.8(m)(M为比例尺分母)第二十页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第四节观测值函数中误差

例二某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h1=18.316m±5mm，h2=8.171m±4mm，h3=6.625m±3mm，试求该水准路线高差及其中误差。

∴h=16.882m±7.1mm解h=h1+h2+h3=16.862(ｍ)

m2h=m21+m22＋m23=52+42+32

mh=±7.1(mm)第二十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第四节观测值函数中误差

例三

设对某一未知量P，在相同观测条件下进行多次观测，观测值分别为L1,L2…Ln，其中误差均为m，求算术平均值x的中误差M。因为m1=m2=…mn=m，得：M2=(m1)2＋(m2)2＋…(mn)2解：第二十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第四节观测值函数中误差

例四三角形的三个内角，在实际观测时三内角之和与理论值会有一个差值，这个差值称为三角形闭合差。设等精度观测n个三角形的三内角分别为ai、bi和ci，其测角中误差均为mβ=ma=mb=mc，各三角形内角和的观测值与真值180°之差为三角形闭合差fβ1、fβ2、……fβn，即真误差，其计算关系式为：根据观测值函数中误差关系得：fβi=ai+bi+ci-180°m2fβ=m2a+m2b+mc2=3m2β第二十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期一第四节观测值函数中误差由此得测角中误差为mβ=±∴mfβ=±mβ上式称为菲列罗公式，是小三角测量评定测角精度的基本公式。

第二十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期一本章小结4.最或是误差：Vi=x-Li(i=1，2，…n)

且

一、基本概念1.测量误差=真值－观测值。2.观测误差按性质分为系统误差和偶然误差。3.算术平均值：（L1，L2，…Ln）为等精度观测值第