固体物理课理论

3.0引言量子自由电子理论态密度及费米面金属的接触势差电子比热一、基本内容二、学习要点掌握量子理论的提出过程掌握态密度的求法熟练掌握费米面的概念3.1自由电子的经典理论金属中的价电子可以看成是自由电子，即电子所受的势函数为常数；电子－电子，电子－晶格之间存在瞬间弹性碰撞；弛豫时间假定德鲁得（Derude）理论的基本假定这是最简单的金属键模型3.1自由电子的经典理论德鲁得（Derude）理论关于金属电导率的理论处理vts单位时间：t=1单位面积：s=1EDriftvelocity

vdisnetmotionofelectrons(0.1to10-7m/s).Scatteringtime

tistimebetweenelectron-latticecollisions.按弛豫时间近似：

Metal:

Resistance

increaseswithTemperature.Why?Temp

t,nsame(same#conductionelectrons)

r

Semiconductor:ResistancedecreaseswithTemperature.Why?Temp

t,n(“free-up”carrierstoconduct)

rTemperaturedependenceofresistivity.3.1自由电子的经典理论德鲁得（Derude）理论的困难3.2自由电子的量子理论薛定谔方程：平面波形式的解:其中 为电子的位置矢量，为波矢量.上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质，它的动量具有确定值，速度与波的群速度一致，而坐标不受任何限制，电子在空间各电出现的几率相等.在金属的自由电子论中，电子的势能为零，但它不完全自由，它的位置受金属边界的限制.一、波函数与能级3.2自由电子的量子理论一、周期性边界条件周期性边界条件：将周期性边界条件（1）式与金属电子的波动方程联立得：同理有：能级EF3.3费米面与态密度一、费米面电子气中的粒子满足泡利不相容原理，服从费米—狄拉克统计，在平衡时，能量为E的能级被电子占据的几率为：—Fermi-Dirac分布其中：为电子的化学势,一般称绝对零度下的电子化学势为费米面T=0K时，＝EF

Ef(E)1EF状态全空状态全被占据3.3费米面与态密度二、费米面的物理意义费米能级在k空间的等能面－费米面；绝对零度下，金属中电子态被占据和未被占据的能级分界面；费米能级是绝对零度下电子的化学势；自由电子的费米面为球面。特别提示：有些教科书、专著或文章中，将任何温度下的电子化学势均称为费米面，此时费米能级是温度的函数，而－绝对零度下的费米能级记为：EF0费米分布曲线系统中的电子总数：3.3费米面与态密度三、费米面计算方法及态密度g(E)是电子的态密度－－十分重要3.3费米面与态密度四、态密度3.3费米面与态密度五、自由电子气体的态密度和费米面对于自由电子，等能面是球面，由上述分析可得其中自由电子的状态密度曲线3.3费米面与态密度六、与费米面相关的一些概念对于自由电子，费米面为球面.费米面上的电子的能量称为费米能,对应的波矢为费米波矢,对应的电子的速度为费米速度.由得绝对零度时的费米波矢为:由电子动量得绝对零度时的费米速度矢为:与费米能量对应的热运动温度称为费米温度,记为.有:3.4低温下电子化学势为了书写方便，姑且将不同温度下的电子化学势也记为费米能EF当 ,但 时,分布在各个能级上的电子总数可表示为:先求积分I：dEEfECCE)(32|32023023¢-=ò¥¥3.4低温下电子化学势ò¶¶--=FFdEEEfEE02)()(!21得N：3.4低温下电子化学势费米能级随温度升高而略有减小3.4低温下电子化学势3.5自由电子比热一、自由电子的平均能量二、电子气的比热容若系统中有N个电子,根据比热容的定义,即可得出系统比热容为:其中 ,称为金属的电子比热容系数.3.5自由电子比热3.5自由电子比热二、金属的热容低温下，由德拜模型得到晶格热容为：低温下金属总的比热容为:变形为:金属总的比热容3.6自由电子气的电导率若晶体中的电子是完全自由的,则晶体将没有电阻,在外场作用下电子定向运动的速度越来越大直至无穷,这是与实验不相符的.在实际上,电子在晶体内运动时,要受阻力作用.这种阻力来源于晶格振动(声子)以及晶格中的缺陷和杂质原子与电子间的相互作用.对于电子运动阻力的定量分析是复杂的,这里用简单的弛豫时间方法来处理.一、弛豫时间近似3.6自由电子气的电导率二、电子导电的准经典处理电子运动的群速度为：当晶体外加电场时,电子被加速,按牛顿力学有:由冲量定理有：3.6自由电子气的电导率二、电子导电的准经典处理即:由于电子的漂移运动,电子气系统产生一个沿外场方向的电流可见:弛豫时间越大,即阻力越小,则导电能力越强.在波矢空间中,当电子气系统达到稳定平衡状态后,每个电子的波矢增加了3.6自由电子气的电导率二、电子导电的准经典处理无外场有无外场电场作用下费米球移动示意图对导电有贡献仅仅是费米面附近的电子3.7金属的电子热发射电子热发射:金属中的电子因受热而逸出金属表面的现象.逸出功:金属中的电子逸出金属表面所需要的能量.物理意义：外界为克服正离子的引力所需作的功.固体的电子发射方式有1热发射——高温2场发射——强电场3光发射——强光照射4二次电子发射——高能电子如果有外部电路,则逸出的电子可形成热电子发射电流则电流密度为:里查逊----杜师曼定律T为绝对温度;A为常数,不同金属A的值不同.3.7金属的电子热发射用电子气模型来计算热电子发射电流的大小:在波矢空间中,体积元 中电子态的数目为:按费米分布,这些态上的电子数密度为:用电子速度表示波矢和能量:所以对于能量较高的电子,满足 ,则上式可化为:速度分量 在 到 之间的电子数为:3.7金属的电子热发射沿