固体物理(第7课)晶格振动一维单原子链

第3章晶格振动和晶格的热学性质晶体原子不是静止状态，而是在作热运动。晶体中的粒子在其平衡位置附近作微振动，而且由于晶体内原子间存在相互作用力，因此各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系的。整个晶格可以看作是一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动通常称为晶格振动。晶格振动不仅对晶体的比热、热传导、热膨胀有影响，而且和晶体的电学性质、光学性质、介电性质也有密切联系。利用晶格振动理论可对它们进行统一描述。1前言固体中热现象研究能量守恒定律热的本质：大量微观粒子无规则运动的宏观表现。气体热能量的定量计算气体的内能就是气体分子无规则运动体现的热能量。固体热能量：位置固定，晶格振动。原子振动对固体比热容的贡献是主要来源。其次金属中的电子在接近0k时有重要作用，铁磁体中的自旋波对比热容也有影响。2爱因斯坦：固体比热容理论，将n个原子的振动简化为3n个谐振子，量子化假设，得到了比热容温度公式。玻恩和卡门：原子振动以晶格波的形式存在，创立了晶格动力学。德拜：简化了上述理论。晶格动力学被应用到热力学性质，热传导，电导、介电、光学和X射线衍射等方面。声子：晶格振动波的能量量子。3晶格动力学原子振动具有波料二象性，波动形式是晶格振动波，是一种机械波。粒子形式是声子，不是实际粒子。晶格振动波：一是分析晶体中晶格振动的模式数，二是计算振动波的色散关系，即波动频率—波数的关系。声子的种类和晶格振动波的模式数一一对应。声子的能量—动量关系与晶格振动波的色散关系也是一一对应。4晶格振动和声子波的数学形式可以表示为波动函数波动函数形式复杂，某一种特殊的波，有一些基本的传输模式，对固体中的振动模型，可以采用最简单的一维单原子链的振动模型。一维晶体中长度为a的原胞中只含有一个质量为m的球，它们被弹性系数为k的弹簧联起来，某一个球随时间作纵向振动，所有球都会振动。5弹性波（纵波）的振动上式是弹性波纵波的公式，ω是圆频率，

v是波速，ρ是介质密度，Y是扬氏弹性模量。如果介质无穷长，q可取任意值，如果介质有长度为L，则将形成驻波，L=n·λ/2，即1/λ=n/2L。所以q只能取分立值，q=2π/λ=nπ/L。63.1一维单原子链（一维布喇菲晶格）1.运动方程:简谐近似下的振动（简谐振动）71.简谐近似8简谐近似下的运动方程9运动方程的解在简谐近似下，一维单原子链中原子的振动是频率为的平面波，称之为格波。10比较（简谐振动）利用欧拉公式可将三角函数表示为e指数形式。113.1.3晶格振动的色散关系12色散曲线（振动频谱）13波长不同，但是位移情况相同，即振动模式是相同的，14长波近似此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续介质中传播的弹性波15短波当q值较大时，即对于短波来说，晶体间隔相对于波长已不具有连续性，晶体已不能作为连续介质来处理，则ω是q的正弦函数．周期为２π/a。163.1.4周期性边界条件波恩－卡门周期性边界条件17在由N个原胞构成的一维单原子链中，q只能取N个不同的分立值，这个数目等于链中含有的原胞数。18说明晶格的振动是简谐波，其波长由q确定，而q又取决于倒易矢量，每个倒易矢量都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。故q的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着格波波长为na/l，na代表了某方向的晶体的长度，且格波与晶面垂直。可见晶体边长是格波的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件比驻波的要求更加宽松。19例题例题1：试证明由N个质量为m的相同原子组成的一维单原子晶格链，每单位频率间隔的振动模式数为例题2：已知由N个相同原子组成的一维单原子链，晶格格波为

为格波的