2022年浙江省舟山市白泉高级中学高三数学文期末试卷含解析

2022年浙江省舟山市白泉高级中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若过点的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（） A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】当过点的直线与圆x2+y2=4相切时，设斜率为k，由圆心到直线的距离等于半径求得k的范围，即可求得该直线的倾斜角的取值范围． 【解答】解：当过点的直线与圆x2+y2=4相切时，设斜率为k， 则此直线方程为y+2=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣2=0． 由圆心到直线的距离等于半径可得=2，求得k=0或k=， 故直线的倾斜角的取值范围是[0，]， 故选：B． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．2.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据1=﹣i2将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．【解答】解：==﹣i+2所对应的点为（2，﹣1），该点位于第四象限故选D．3.已知圆O：x2+y2=1，点P为直线x﹣2y﹣3=0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A．（2，0） B．（3，0） C．（，﹣1） D．（，﹣）参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设P的坐标为P（2m+3，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．【解答】解：因为P是直线x﹣2y﹣3=0的任一点，所以设P（2m+3，m），因为圆x2+y2=1的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（m+，），且半径的平方是r2=，所以圆C的方程是（x﹣m﹣）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m+3）x+my﹣1=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m+3）x+my﹣1=0，即m（2x+y）+（3x﹣1）=0，由得x=，y=﹣，所以直线AB恒过定点（，﹣），故选D．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．4.定义域为的函数，满足，，则不等式的解集为(▲)A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.已知为纯虚数，则的值为

（

）

A．1

B．－1

C．

D．参考答案：A略6.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A7.同理5设向量，，且，则向量与的夹角为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D8.设，函数的图象向左平移个单位后，得到下面的图像，则的值为（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B略9.下列函数中，与函数y=﹣e|x|的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A． B．y=ln|x| C．y=x3﹣3 D．y=﹣x2+2参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质即可得到结论．【解答】解：函数y=﹣e|x|为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增．A.为奇函数，不满足条件．B．y=ln|x|为偶函数，当x＜0时，函数为y=ln（﹣x）单调递减．不满足条件．C．y=x3﹣3为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=﹣x2+2为偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．故选：D10.（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N（﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的第二定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的第二定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=中满足“倒负”变换的函数是．参考答案：①③【考点】：进行简单的演绎推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：利用“倒负”函数定义，分别比较三个函数的f（）与﹣f（x）的解析式，若符合定义，则为满足“倒负”变换的函数，若不符合，则举反例说明函数不符合定义，从而不是满足“倒负”变换的函数．解：①设f（x）=x﹣，∴f（）=﹣x=﹣f（x），∴y=x﹣是满足“倒负”变换的函数，②设f（x）=x+，∵f（）=，﹣f（2）=﹣，即f（）≠﹣f（2），∴y=x+是不满足“倒负”变换的函数，③设f（x）=，则﹣f（x）=，∵0＜x＜1时，＞1，此时f（）﹣x；x=1时，=1，此时f（）=0，x＞1时，0＜＜1，此时f（）=，∴f（）==﹣f（x），∴y=是满足“倒负”变换的函数．故答案为：①③【点评】：本题考查了对新定义函数的理解，复合函数解析式的求法，分段函数解析式的求法．12.已知为的外心，.若,则=

▲

．参考答案：略13.已知向量a=(2,l),ab=10,|a+b|=，则|b|=______参考答案：514.已知函数是上的偶函数，对于都有成立，且，当且时，都有，则给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为减函数；④方程在上有4个根；上述命题中的所有正确命题的序号是

．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：①②③④15.已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 。参考答案：图象如图所示。的实根即是可以看做是两个函数在图像上的交点个数。g（x）的图像是恒过点（0,1）的直线，临界值是图中经过B，D两点的割线和过C的切线。计算出斜率值即可。16.已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是

▲

；参考答案：17.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖

块.参考答案：100三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取3个球(无放回，且每球取到的机会均等)，记随机变量X为取出3球所得分数之和．(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．参考答案：(Ⅰ)X的可能取值有：3，4，5，6．…………1分

；

．………………8分故，所求X的分布列为X3456P…………10分(Ⅱ)所求X的数学期望E(X)为：E(X)＝．……………12分略19.设函数．(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．参考答案：(Ⅰ)∵直线的参数方程为（为参数），∴直线的普通方程为，即，∴直线的极坐标方程：…2分；又∵曲线的极坐标方程为，，，∴，即，∴曲线的直角坐标方程为，…5分；(Ⅱ)∵将直线：代入曲线的极坐标方程：得：，…7分；设直线与曲线的两交点的极坐标分别为，，∴，…8分；∴的值．…10分．23．解：(Ⅰ)∵，∴当时，，…2分；又，∴或或，…3分；∴或或，∴或，…4分；∴的解集为；…5分；(Ⅱ)∵（当且仅当时，等号成立），…6分；∴…7分；又对任意实数，都有恒成立，∴，…8分；∴，∴或，∴或．…9分；故实数的取值范围为或．…10分．

20.（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围；（3）对于n∈N+，证明：．参考答案：【分析】（1）求导，f′（0）=0，求得a的值，写出函数及导函数表达式，f′（x）＞0，求得f（x）的单调递增区间，；由f′（x）＜0，求得函数单调递减区间；（2）构造辅助函数g（x）=f（x）﹣（﹣x+b），求导，令g′（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的单调区间，求得g（x）的两个零点，实数b的取值范围；（3）由（1）可知当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），可得到ln＜，求得前n项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=﹣2x﹣1=，…（1分）∵f′（0）=0，∴=0，∴a=1．∴f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x（x＞﹣1），…（2分）于是f′（x）==（x＞﹣1），由f′（x）＞0得﹣1＜x＜0；由f′（x）＜0，得x＞0，∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），单调递减区间是（0，+∞）．…（4分）（2）令g（x）=f（x）﹣（﹣x+b）=ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（0，2），则g′（x）=﹣2x+=﹣，令g′（x）=0，得x=1或x=﹣（舍），当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．…（7分）方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点．∴，即亦即，∴ln3﹣1＜b＜ln2+，故所求实数b的取值范围为{b丨ln3﹣1＜b＜ln2+}．…（9分）证明：（3）由（1）可得，当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），设x=，则ln（1+）＜+，即ln＜

①…（10分）∴＞ln，＞ln，＞ln，…，＞ln，将上面n个式子相加得：+++…+＞ln+ln+ln+…+ln=ln（n+1），故：．…（12分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与x轴的交点的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，是一道综合题，属于难题．21.己知椭圆的离心率为，分别是椭圈C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线的距离为，求直线l的方程.参考答案：(1)；(2).【分析】（1）利用焦点到双曲线渐近线距离为可求得；根据离心率可求得；由求得后即可得到所求方程；（2）由原点到直线距离可得；将直线方程与椭圆方程联立，整理得到韦达定理的形式；根据圆的性质可知，由向量坐标运算可整理得，从而构造出方程组，结合求得结果.【详解】（1）由题意知，，双曲线方程知，其渐近线方程为：焦点到双曲线渐近线距离：，解得：由椭圆离心率得：

椭圆的方程为：（2）原点到直线距离为：，整理得：设，由得：则，即：，以为直径的圆过点

又

，即：由且得：，满足直线方程为：【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、点到直线距离公式的应用、垂直关系的向量表示等知识；解决此类问题的常用方法是将直线与圆