山东省聊城第一中学老校区2024学年数学高二上期末考试模拟试题含解析

山东省聊城第一中学老校区2024学年数学高二上期末考试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，设定点为，，，点O为坐标原点，动点满足(且为常数)，化简得曲线E：.当，时，关于曲线E有下列四个命题：①曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形；②的最大值为；③的最小值为；④面积的最大值为.其中，正确命题的个数为（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个2．倾斜角为45°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝03．已知直线，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则4．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B.C. D.5．若，在直线l上，则直线l一个方向向量为（）A. B.C. D.6．已知随圆与双曲线相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心，分别为（）A. B.C. D.7．一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（）A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A.4 B.9C.23 D.649．给出下列判断，其中正确的是（）A.三点唯一确定一个平面B.一条直线和一个点唯一确定一个平面C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D.空间两两相交的三条直线在同一平面内10．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（）A.6 B.8C.9 D.1011．设命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，12．圆与圆的位置关系为（）A.外切 B.内切C.相交 D.相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有一组数据：，其平均数是，则其方差是________.14．已知数列满足，则＝________.15．等差数列，的前项和分别为，，且，则______.16．在公差不为0的等差数列中，为其前n项和，若，则正整数______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，求异面直线与所成角余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使二面角大小为?若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.19．（12分）已知数列的前n项和为，且，，数列满足：，，，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围20．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）（1）求抛物线的标准方程；（2）点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点21．（12分）已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点（1）求双曲线的标准方程；（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由22．（10分）在等差数列中，已知公差，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】①：根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；②：结合两点间距离公式、曲线方程特征进行判断即可；③：根据卡西尼卵形线的定义，结合基本不等式进行判断即可；④：根据方程特征，结合三角形面积公式进行判断即可.【题目详解】当，时，.①：因为以代方程不变，以代方程不变，同时代，以代方程不变，所以曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本命题正确；②：由，所以有，所以，当时成立，因此本命题正确；③：因为，所以，当且仅当时，取等号，因此本命题正确；④：，因为，所以，的面积为，因此本命题正确，故选：D【题目点拨】关键点睛：利用方程特征进行求解判断是解题的关键.2、B【解题分析】由题意，，所以，即，故选B3、C【解题分析】对于A,可能在内，故可判断A；对于B,可能相交，故可判断B;对于C,根据线面垂直的判定定理，可判定C;对于D,和可能平行，或斜交或在内，故可判断D.【题目详解】对于A,除了外，还有可能在内，故可判断A错误；对于B,，那么可能相交，故可判断B错误；对于C,根据线面平行的性质定理可知，在内一定存在和平行的直线，那么该直线也垂直于，所以，故判定C正确;对于D，，，则和可能平行，或斜交或在内，故可判D.错误，故选：C.4、B【解题分析】计算出、的值，执行程序框图中的程序，进而可得出输出结果.【题目详解】，，则，执行如图所示的程序，，成立，则，不成立，输出的值为.故选：B.5、C【解题分析】利用直线的方向向量的定义直接求解.【题目详解】因为，在直线l上，所以直线l的一个方向向量为.故选：C.6、B【解题分析】设公共焦点为，推导出，可得出，进而可求得、的值.【题目详解】设公共焦点为，则，则，即，故，即，，故选：B7、A【解题分析】根据事件的关系进行判断即可.【题目详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：A.【题目点拨】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.8、C【解题分析】直接按程序框图运行即可求出结果.【题目详解】初始化数值，，第一次执行循环体，，，1≥4不成立；第二次执行循环体，，，2≥4不成立；第三次执行循环体，，，3≥4不成立；第四次执行循环体，，，4≥4成立；输出故选：C9、C【解题分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.【题目详解】对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.故选：C10、A【解题分析】计算抛物线的准线，根据距离结合抛物线的定义得到答案.【题目详解】抛物线的焦点为，准线方程为，到轴的距离是4，故到准线的距离是，故点到该抛物线焦点的距离是.故选：A.11、B【解题分析】全称命题的否定时特称命题，把任意改为存在，把结论否定.【题目详解】命题，，则为“，”.故选：B12、A【解题分析】根据两圆半径和、差、圆心距之间的大小关系进行判断即可.【题目详解】由，该圆的圆心为，半径为.圆圆心为，半径为，因为两圆的圆心距为，两圆的半径和为，所以两圆的半径和等于两圆的圆心距，因此两圆相外切，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】先按照平均数算出a，再按照方差的定义计算即可。【题目详解】∵，所以，方差，故答案为：2.14、4【解题分析】根据对数的运算性质得，可得，即数列是以2为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式化简可得值.【题目详解】因为，所以，即数列是以2为公比的等比数列，所以.故答案为：4.【题目点拨】本题考查等比数列的定义和通项公式以及对数的运算性质，熟练运用相应的公式即可，属于基础题.15、【解题分析】取，代入计算得到答案.【题目详解】，当时故答案为【题目点拨】本题考查了前项和和通项的关系，取是解题的关键.16、13【解题分析】设等差数列公差为d，根据等差数列通项公式、前n项和公式及可求k.【题目详解】设等差数列公差为d，∵，∴，即，即，∴.故答案为：13.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）利用十字相乘解题即可（2）利用分子分母同号为正，异号为负思想，注意讨论分母不为0【小问1详解】由题，即，解得或，即；【小问2详解】由题，解得或，即18、（1）证明见解析；（2）；（3）存在，点在线段上位于靠近点的四等分点处.【解题分析】（1）证明平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值；（3）假设存在点，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：，，为的中点，则且，四边形为平行四边形，.，即，，又平面平面，平面平面，平面，平面平面，平面平面.【小问2详解】解：，为的中点，.平面平面，且平面平面，平面，平面.如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、，，，则，，异面直线与所成角的余弦值为.【小问3详解】解：假设存在点，设，其中，所以，，且，设平面法向量为，所以，令，可得，由（2）知平面的一个法向量为，二面角为，则，整理可得，因，解得.故存在点，且点在线段上位于靠近点的四等分点处.19、（1），；（2）；（3）.【解题分析】(1)由可得数列是等比数列，即可求得，由得数列是等差数列，即可求得.(2)由(1)可得，再利用错位相减法求和即得.(3)将问题等价转化为对任意恒成立，构造数列并判断其单调性，即可求解作答.【小问1详解】数列的前项和为，，，当时，，则，而当时，，即得，因此，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则，数列中，，，则数列是等差数列，而，，即有公差，则，所以数列，的通项公式分别是：，.【小问2详解】由(1)知，，则，则有，两式相减得：，从而得，所以数列的前n项和.【小问3详解】由(1)知，，依题意得对任意恒成立，设，则，当，，为单调递减数列，当，，为单调递增数列，显然有，则当时，取得最大值，即最大值是，因此，，所以实数k取值范围是.【题目点拨】思路点睛：一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解20、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】（1）由点在抛物线上可得出，再利用三角形的面积公式可得出关于的等式，解出正数的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）设点、，利用斜率公式结合已知条件可得出的值，分析可知直线不与轴垂直，可设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出的值，即可得出结论.【小问1详解】解：抛物线的焦点为，由已知可得，则，，，解得，因此，抛物线的方程为.【小问2详解】证明：设点、，则，可得.若直线轴，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，可得，此时，合乎题意.所以，直线的方程为，故直线恒过定点.21、（1）；（2）点不能为线段的中点，理由见解析.【解题分析】（1）由渐近线夹角求得一个斜率，再代入点的坐标，然后可解得得双曲线方程；（2）设直线方程为（斜率不存在时另说明），与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得，然后难验证直线与双曲线是否相交即可得【题目详解】解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或当时，的标准方程为，代入，无解当时，的标准方程为，代入，解得故的标准方程为（2）不能是线段的中点设交点，，当