2022年湖南省常德市尧河中学高三数学文测试题含解析

2022年湖南省常德市尧河中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数在（，0]是单调函数，则的图象不可能是参考答案：B略2.已知函数的定义域为，函数的定义域为，则A.

B.

C.

D.参考答案：A，故选A.3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是(

) A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤8参考答案：C考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，S=，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6．解答： 解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S==，n=6满足条件，S==，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6，故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键，属于基础题．4.已知=

A．

B．

C．

D．参考答案：D由得，所以所以，选D.5.（5分）已知函数f（x）=（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值为﹣3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[12，+∞）C．[﹣1，12]D．参考答案：D【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：分析四个选项，可发现C、D选项中a可以取0，故代入a=0可排除A、B；再注意C、D选项，故将代入验证即可；从而得到答案．

解：当a=0时，f（x）=﹣3x，x∈[﹣1，1]，显然满足，故a可以取0，故排除A，B；当时，，，所以f（x）在[﹣1，1]上递减，所以，满足条件，故排除C，故选：D．【点评】：本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．6.函数y＝ax－2＋2(a>0，且a≠1)的图象必经过点()A．(0,1)

B．(1,1)C．(2,2)

D．(2,3)参考答案：D略7.在极坐标系中，圆的圆心到极轴的距离为

A．

B.

C.

D.参考答案：A略8.函数的零点所在区间为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：

C略9.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知，若函数只有一个零点，则的取值范围是（A） （B）

（C） （D）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在无穷等比数列{an}中，等于__________。参考答案：12.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为．参考答案：【考点】轨迹方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，，设P（x，y，0）．于是有．由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为故答案为【点评】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．13.设，是两个向量，则“”是“”的条件．参考答案：充要【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用数量积运算性质展开即可得出结论．【解答】解：“”?4＞0?“”，∴“”是“”的充要条件．故答案为：充要．14.已知圆C过点，且圆心在x轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为___________.参考答案：15.已知，若恒成立，则实数的取值范围是

。参考答案：16.一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为

。参考答案：17.已知圆C过抛物线y2=4x的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C的圆心不在x轴上，且与直线x+y﹣3=0相切，则圆C的半径为．参考答案：14【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程x=﹣1，设圆心坐标（﹣1，h），根据切线的性质列方程解出h，从而可求得圆的半径．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，设圆C的圆心为C（﹣1，h），则圆C的半径r=，∵直线x+y﹣3=0与圆C相切，∴圆心C到直线的距离d=r，即=，解得h=0（舍）或h=﹣8．∴r==14．故答案为：14．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.17．（本题满分1０分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴的正半轴，且焦点到准线的距离为２，直线与抛物线Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，若M（２，２）满足，求直线的方程．参考答案：设抛物线方程为，则，抛物线方程为．由知M为线段AB的中点．设，当直线斜率不存在时不满足题意．故设直线的方程为：，联立消y得则，解得，故直线的方程为：19.已知函数（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与x轴平行。（1）求k的值；（2）求的单调区间；（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，。

参考答案：(Ⅰ)由得由于曲线在处的切线与x轴平行，所以，因此（3分）（Ⅱ）由(Ⅰ)得，令当时，；当时，又，所以时，；时，.

因此的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（8分）(Ⅲ)证明因为，所以因此对任意等价于

由（Ⅱ）知所以因此当时，单调递增；当时单调递增.所以的最大值为

故设因为，所以时，单调递增，故时，即所以因此对任意（14分）20.(本小题满分12分）某企业生产甲、乙两种产品,根据市场调查与预测,甲产品的利润与投资成正比,其关系如图1,乙产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资的单位:万元).

(Ⅰ)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

(Ⅱ)该企业筹集了100万元资金投入生产甲、乙两种产品,问:怎样分配这100万元资金,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元？

参考答案：解：（1）甲

乙（2）设应给乙投资万元答：应投资36万元，最大利润34万元略21.已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中a∈R）．（Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex，从而可得a=0；（Ⅱ）当a=0时，不等式可化为（x﹣1）ex＞（x﹣1）（x2+x+1），即（x﹣1）（ex﹣（x2+x+1））＞0，令g（x）=ex﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣x﹣1，从而由导数解不等式．解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex．∴f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex，∵x=0为f（x）的极值点，∴f′（0）=a?e0=0，∴a=0；经检验成立；

（Ⅱ）当a=0时，不等式可化为（x﹣1）ex＞（x﹣1）（x2+x+1），即（x﹣1）（ex﹣（x2+x+1））＞0，令g（x）=ex﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣x﹣1，h′（x）=ex﹣1；当x＞0时，h′（x）=ex﹣1＞0，当x＜0时，h′（x）=ex﹣1＜0；故h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（0）=0；故g（x）在R上单调递增，且g（0）=0；故ex﹣（x2+x+1）＞0，x＞0；ex﹣（x2+x+1）＜0，x＜0；所以原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．点评：本题考查了导数的综合应用及不等式的解法的应用，属于中档题．22.已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0），短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若过点P（1，0）的任一直线l交椭圆C于A，B两点（长轴端点除外），证明：存在一定点Q（x0，0），使为定值，并求出该定点坐标．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得b=1，，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）由题意设直线l：x=ty+1，将其代入椭圆，得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能证明存在一定点Q（x0，0），使为定值，并求出该定点坐标．解答： （本题满分15分）解：（Ⅰ）由题意得b=1，又，即，∴，即，