探索三角形全等的条件

3探索三角形全等的条件第1课时“边边边(SSS)”和三角形的稳定性教学目标一、基本目标1．掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用画图、操作、归纳获得数学结论的过程，初步形成解决问题的基本策略．二、重难点目标【教学重点】利用三角形全等的“边边边”条件证明两个三角形全等；三角形的稳定性．【教学难点】利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P97～P99的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．(教材P97“做一做”)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？略2．(教材P97“做一做”)给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做．(1)三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；(2)三角形的两个内角分别为30°和50°；(3)三角形的两条边分别为4cm,6cm.略3．(教材P97“议一议”)如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？解：三条边；三个角；两条边和一个角；两个角和一条边．4．(教材P98“做一做”)(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？(2)已知一个三角形的三条边分别为4cm,5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？解：(1)三个内角对应相等的两个三角形不一定全等．(2)三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”．通常写成下面的格式：在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝DF，,AB＝DE，,BC＝EF，))所以△ABC≌△DEF(SSS)．5．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中国地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：三角形具有稳定性.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“SSS”证明△ABC≌△DEF.【证明】因为BE＝CF，所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EF，,AC＝DF，))所以△ABC≌△DEF(SSS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后再根据判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【例2】如图，已知AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC构造三角形进行证明．【解答】∠B＝∠D．理由如下：连结AC．在△ADC和△ABC中，因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AD＝AB，,AC＝AC，,DC＝BC，))所以△ADC≌△ABC(SSS)，所以∠B＝∠D．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证∠B与∠D相等，可证这两个角所在的三角形全等，而现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．【例3】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各图至少需要钉上多少根木棍？【互动探索】(引发学生思考)三角形具有稳定性，怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？【解答】如图1，四边形木架至少需要钉上1根木棍；如图2，五边形木架至少需要钉上2根木棍；如图3，六边形木架至少需要钉上3根木棍．图1图2图3【互动总结】(学生总结，老师点评)n边形沿一个顶点的对角线添加(n－3)条木棍后就具有稳定性．活动2巩固练习(学生独学)1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是(C)A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C作射线OC．由做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS.3．如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF.求证：(1)∠D＝∠B；(2)AE∥CF.证明：(1)在△ADE和△CBF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,AD＝BC，,DE＝BF，))所以△ADE≌△CBF(SSS)，所以∠D＝∠B．(2)因为△ADE≌△CBF，所以∠AED＝∠CFB．因为∠AED＋∠AEO＝180°，∠CFB＋∠CFO＝180°，所以∠AEO＝∠CFO，所以AE∥CF.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．“边边边(SSS)”：三边分别相等的两个三角形全等．2．三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时“角边角(ASA)”和“角角边(AAS)”教学目标一、基本目标1．掌握三角形全等的“ASA”“AAS”条件，并会进行简单的应用．2．经历探索三角形全等“两角一边”的过程，体会通过操作、归纳获得数学结论的趣味．二、重难点目标【教学重点】应用三角形全等的“ASA”“AAS”条件．【教学难点】探索三角形全等条件“两角一边”．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．通常写成下面的格式：在△ABC与△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠E，,BC＝EF，,∠C＝∠F，))所以△ABC≌△DEF.2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．通常写成下面的格式：在△ABC与△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠B＝∠E，,BC＝EF，))所以△ABC≌△DEF.3．能确定△ABC≌△DEF的条件是(D)A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E4．如图，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE＝AF，请你补充一个条件：∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACF.(只需填写一种情况即可)教师点拨：此题答案不唯一，还可以填AB＝AC或∠AEB＝∠AFC．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.【互动探索】(引发学生思考)回忆我们学过的判定三角形全等的条件，结合已知中的平行线段，可考虑利用“ASA”证明△ADF≌△CBE.【证明】因为AD∥BC，BE∥DF，所以∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC．因为AE＝CF，所以AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AF＝CE，,∠DFA＝∠BEC，))所以△ADF≌△CBE(ASA)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分．在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F.若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证△ADC≌△BDF，只需∠DAC＝∠DBF即可．由在Rt△ADC与Rt△BDF中，利用等角的余角相等即可得∠DAC＝∠DBF.【证明】因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝∠BEC＝90°.又因为∠AFE＝∠BFD，所以∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠DBF，,∠ADC＝∠BDF，,AC＝BF，))所以△ADC≌△BDF(AAS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决三角形全等的问题时，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等．活动2巩固练习(学生独学)1．完成教材P102“”第1～3题．略2．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，∠A＝∠E.求证：BC＝DB．证明：因为BC∥DE，所以∠ABC＝∠EDB．在△ABC和△EDB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,∠A＝∠E，,AB＝ED，,∠ABC＝∠EDB，))所以△ABC≌△EDB(ASA)，所以BC＝BD．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．“角边角(ASA)”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．2．“角角边(AAS)”：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时“边角边(SAS)”教学目标一、基本目标1．经历画图比较，得出判定三角形全等的“SAS”条件．2．能够利用“SAS”判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由．3．在探索三角形全等及其应用的过程中，能够进行有条理地思考并进行简单推理．二、重难点目标【教学重点】通过画图比较，得出“SAS”结论的过程及应用．【教学难点】探索“边边角”能否用于判定全等．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．(1)两边及夹角，cm,cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同桌画的一定全等吗？(2)cm,cm为三角形的两边，cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？解：(1)与同桌画的是全等的(如图1)．(2)与同桌画的不一定全等(如图2)．图1图2总结：(1)两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等；(2)三角形全等的判定方法4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．通常写成下面的格式：在△ABC与△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠B＝∠E，,BC＝EF，))所以△ABC≌△DEF.2．如图，已知BD＝CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是∠ADB＝∠ADC.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD．【互动探索】(引发学生思考)由题意可知，如果∠A＝∠B就可证△AEF≌△BCD．由AE∥BC可得∠A＝∠B．【证明】因为AE∥BC，所以∠A＝∠B．因为AD＝BF，所以AD＋DF＝DF＋FB，即AF＝BD．在△AEF和△BCD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝BC，,∠A＝∠B，,AF＝BD，))所以△AEF≌△BCD(SAS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例2】如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C的度数．【互动探索】(引发学生思考)已知两组边对应相等，可考虑证明△ABC≌△FBE，从而得出∠C＝∠BEF.又由BC∥EF可得∠BEF＝∠1，进而解决问题．【解答】因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠ABE＝∠2＋∠ABE，即∠ABC＝∠FBE.在△ABC和△FBE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝BE，,∠ABC＝∠FBE，,AB＝FB，))所以△ABC≌△FBE(SAS)，所以∠C＝∠BEF.又因为BC∥EF，所以∠C＝∠BEF＝∠1＝60°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件(A)A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠CC．∠D＝∠E D．∠BAE＝∠CAD2．下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(C)A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF3．如图，已知AB＝AD，若AC平分∠BAD，问AC是否平分∠BCD？为什么？解：AC平分∠BCD．理由如下：因为AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠DAC．在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAC＝∠DAC，,AC＝AC，))所以△ABC≌