中考数学高频压轴题突破-二次函数与角度

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频压轴题突破——二次函数与角度1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．(1)求直线BC的函数表达式；(2)求出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）；(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与F的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标．4．如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．(1)求抛物线的解析式：(2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由；(3)如图②，连接，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线与轴交于点A、两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线与直线交于、两点连接、．(1)求抛物线解析式；(2)抛物线上有一点，满足，求点的坐标；(3)抛物线上有一点，，求点的坐标．6．综合与探究：如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．连接，，点是该二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为．(1)求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；(2)如图2，若点只在第三象限运动，过点作直线交轴于点．当线段长度最大时，求的值；(3)在轴左侧抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，点M是直线下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴于点H，交于点N，求线段最大时点M的坐标；(3)在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．(1)，，三点的坐标为，______，______．(2)连接，交线段于点，①当与轴平行时，求的值；②当与轴不平行时，求的最大值；(3)连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标；(3)已知点G是抛物线上的一点，连接，若，求点G的坐标．10．如图1，已知点为抛物线上一动点，以为顶点，且经过原点的抛物线，记作“”，设其与轴另一交点为，点的横坐标为．(1)①当为直角三角形时，______；②当为等边三角形时，求此时“”的解析式；(2)如图2，若点的横坐标分别为1，2，3，…（为正整数）时，抛物线“”分别记作“”、“”，…“”，设其与轴另外一交点分别为，，，…，过，，，…作轴的垂线，垂足分别为，，，…．①的坐标为______；=______；（用含的代数式来表示）②当时，求的值．(3)是否存在这样的，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线的函数解析式；(2)连接，若点P为第四象限内抛物线上一点，且，求点P的坐标；(3)过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作轴于点E得到矩形，将沿x轴向右平移，当B点与E重合时结束，设平移距离为t，与矩形重叠面积为S，请直接写出S与t的函数关系．12．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M．(1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；(2)若，求证：；(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)连接，求的正切值；(3)点P在抛物线上，且，求点P的坐标．14．如图，直线与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线，(1)求抛物线解析式；(2)连接，求．(3)在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由．15．抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．(1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______；(2)连接，，，若，求点P的坐标；(3)连接，，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，过点B的直线l与抛物线交于点D，与y轴交于点F．该抛物线的对称轴交直线l于点E，与x轴交于点G，且．(1)求该抛物线的解析式；(2)点M为抛物线上一点，，求点M的坐标；(3)已知点P为抛物线对称轴上的点，满足在直线上存在唯一的点Q，使得，求点P的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)若M为抛物线上一点，，求点M的坐标；(3)若P为线段AB上一点，，求点P的坐标；18．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C．(1)当时，直接写出：点B的坐标为______，点C的坐标为______；(2)在（1）的条件下，P是x轴下方抛物线上的一点，且，求点P到y轴的距离；(3)当时，若的外心在x轴上，求代数式的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)(2)2(3)）或．【分析】（1）将代入，即可求函数的解析式；（2）由题意可求，又由，可得，能求出点，即可求t的值；（3）由题意可得，从而能求出，再由，求出t即可求P点坐标．【解析】（1）解：代入，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：令，则，∴，∴，∴，∵轴，∴，∵，∴，∴，∴t的值为2；（3）解：存在点P，使，理由如下：设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∵轴，∴，∴，∵，∴，∴，解得或，∴P点坐标为）或．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．2．(1)(2)，(3)存在，t=3，，理由见解析【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解；（2）过点P作PG⊥x轴于点G，解直角三角形可得∠CAO=60°，从而得到，，可得到，再由DQ⊥x轴，BQ=2t，可得OQ=9-2t，再代入二次函数解析形式，即可求解；（3）根据中点公式可得点F的坐标，再代入直线BC的解析式，即可求解．（1）解：令y=0，则，解得：，∴点B（9，0），令x=0，则，∴点，设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为；（2）：过点P作PG⊥x轴于点G，∵点A（-3，0），，∴∴∴∠CAO=60°，∵AP=t，∴，，∴，∴，∵DQ⊥x轴，BQ=2t，∴OQ=OB-BQ=9-2t，把x=9-2t代入得：，∴；（3）解：存在，t=3，，理由如下：∵点F是PD的中点，∴点F的横坐标为，点F的纵坐标为，∴点，∵点F在直线上，∴，解得：，∴点．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，中点坐标公式，方程的解法，正确的作出辅助线是解题的关键．3．(1)y＝﹣x2＋2x＋3(2)M（，）(3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12）【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解；（2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解；（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解．【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3；（2）解：当时，，∴C（0，3），设直线BC的解析式为，把点B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝-x＋3，设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），∴MN＝-m2＋2m＋3-（-m＋3）＝-m2＋3m＝-（m-）2＋，当m＝时，MN的长度最大，此时M（，）；（3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，∵，∴点P坐标（1，4），∵点B（3，0），C（0，3），∴PC＝，PB＝，BC＝，∴，∴△PBC为直角三角形，∴tan∠PBC＝，设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），∵，则，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数是解题的关键．4．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，先求出直线的解析式为，进而得到直线于直线平行，则点M在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，则，求出，据此求解即可；（3）分图3-1和图3-2两种情况过点A作使得，过点P作轴于T，连接，可证明，则与抛物线对称轴的交点即为点Q，利用一线三垂直模型求出点P的坐标，进而求出直线的解析式，即可求出点Q的坐标．【解析】（1）解：把，代入抛物线解析式中得：，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，设直线的解析式为，∴，∴直线的解析式为，∴直线与直线平行，∵，∴，∴点M在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大，∵，∴当最大时，最大，即此时的面积最大，∵M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m，∴，∴，∴，∵，∴当时，最大，即此时的面积最大；（3）解：如图3-1所示，过点A作使得，过点P作轴于T，连接，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，在中，令，则，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴与抛物线对称轴的交点即为点Q，同（2）法可求出直线的解析式为，∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，在中，当时，，∴点Q的坐标为；如图3-2所示过点A作使得，过点P作轴于T，连接，同理可得，，∴与抛物线的对称轴的交点即为点Q，同理可得同理可求出直线的解析式为，在中，当时，，∴点Q的坐标为；综上所述，点Q的坐标为或．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．5．(1)(2)或(3)或【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；（3）当，关于抛物线的对称轴对称时，满足条件，此时，过点作交抛物线于点，此时满足条件．【解析】（1）解：抛物线过点，，，抛物线的解析式为；（2）解：由题意得：联立抛物线和直线方程得：，解得或，，，，，，即，当时，即，，，此方程无实数解，当时，即，解得：，，或；（3）解：由（1）得：抛物线的解析式为，∴对称轴，由（2）得：D点坐标为，当，关于抛物线的对称轴对称时，满足条件，此时，如图所示，过点作交抛物线于点，此时满足条件，∵抛物线的解析式为与x轴交于点A，令，解得：，∴，∵D点坐标为，设直线的解析式为，把点、代入得：，解得：直线的解析式为，，，∴直线的解析式为，把代入得：，直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式得：，解得或，综上所述，满足条件的点的坐标为：或．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．6．(1)，，，(2)当时，最大，最大值为．(3)．【分析】（1）令，解得：，，令，则，再利用待定系数法求解的解析式，从而可得答案；（2）先求解为，可得，则，再利用二次函数的性质解答即可；（3）如图，作，则，过作于，与轴的交点为，证明，，，，由勾股定理可得：，设直线为，当时，则，解得：，由，则，再利用方程求解即可．【解析】（1）解：令，解得：，，∴，，令，则，∴．设为，∴，解得：，∴为：；（2）∵，为：；∴设为，∵，∴，∴，∴为，∴，∴，∴当时，最大，最大值为．（3）如图，作，则，过作于，与轴的交点为，∵，∴，，，，由勾股定理可得：，设直线为，当时，则，解得：，∴，∴，，由，∴，∴，解得：，经检验符合题意；∴直线为，∴，解得：（舍去）或，∴．【点评】本题考查的是求解二次函数与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，求解一次函数与二次函数的交点坐标，灵活的应用以上知识解题是关键．7．(1)(2)(3)或【分析】（1）把A、B、C三点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）首先求出直线的解析式，然后设，，表示出线段，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）根据题意分点Q在x轴上方和x轴下方两种情况讨论，分别根据直线和抛物线的交点求解即可．【解析】（1）解：将点和点，代入得，，解得，∴；（2）设直线的解析式为，将，代入得，，解得，∴，∴设，，∴，∴当时，线段最大，∴将代入，∴；（3）如图所示，当点Q在x轴上方抛物线上时，∵，∴，∴设直线的解析式为，∴将，代入得，解得，∴，∴设直线的解析式为，∴将点代入得：，∴，∴联立和得，，∴解得，∴将代入，∴点Q的坐标为；如图所示，当点Q在x轴下方抛物线上时，∵，∴，∵，∴，∴，∴直线的表达式为，∴联立直线和直线可得，，即，∴解得，∴将代入，∴，∴设直线的解析式为，∴将，代入得，∴解得，∴，∴联立直线和抛物线得，，即，∴解得，，∴将代入，∴，综上所述，点Q的坐标为或．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，解题的关键是数形结合分类讨论，掌握二次函数的图像和性质．8．(1)，(2)①；②(3)存在，【分析】（1）令，则，已知点的坐标，即可求得点的坐标，令，即可求得点的坐标；（2）①由求得，根据平行线分线段成比例求解即可；②过点作轴交于点，求得直线的解析式，用含的式子表示，根据二次函数的性质即可得出结论；（3）假设存在点使得，即，过点作轴交抛物线于点，由，可知平分，延长交轴于点，易证为等腰三角形，求得，则直线的解析式为，令，可得结论．【解析】（1）解：令，则，解得：或，，，令，则，，故答案为：，；（2）解：①轴，，，，，令，则，解得：，或，，，；②如图，过点作轴交于点，设直线的解析式为，，，，解得，直线的解析式为，设点的横坐标为，则，则，，，，当时，的最大值为；（3）解：假设存在点使得，即，过点作轴交抛物线于点，延长交x轴于点M，如图，，，，轴，，，为等腰三角形，，，，，设直线的解析式为，，，解得，直线的解析式为，令，解得：或（与点重合，舍去），存在点满足题意，此时．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例，二次函数的性质，角度的存在性相关内容，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．9．(1)抛物线的解析式为，M的坐标为(2)(3)点G的坐标为或【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式即可求出顶点M的坐标；；（2）过D作交于F，求出设直线的解析式，设，则，根据列出的函数解析式求解即可；（3）分点G在上方和点G在上方两种情况求解即可．【解析】（1）将、代入得，，解得，∴抛物线的解析式为，∵，∴顶点M的坐标为；（2）如图，过D作交于F，设直线为，把点代入得设，则，∴∵∴，∴=，∴当时，有最大值为1；此时∴点D的坐标为（3）当点G在上方时，过C作交抛物线于G，∵∴∴∴∴（舍去）或当点G在下方时，交x轴于H∵∴设则∴∴设直线为把代入得由得（舍去）或，∴，综上所述，若，点G的坐标为或．【点评】本题考查了待定系数法、二次函数图象上点坐标的特征、勾股定理、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键．10．(1)①，②(2)①，，②(3)存在，当时，【分析】（1）①连接，过点作轴，根据线段关系可得点的横纵坐标相等，列方程计算即可；②根据为等边三角形，求出点和点的坐标，待定系数法代入即可；（2）①将点的横坐标代入即可求得；根据二次函数的轴对称性即可求得；②分别表示出与的数值，代入即可求出；（3）先求出的坐标，然后根据相似三角形列出比例式即可求得．【解析】（1）解：如图，连接，过点作轴，①为直角三角形，，，，，解得：（舍），．②为等边三角形，，，，解得：（舍），，，．（2）解：①将代入中，得：，的坐标为．根据二次函数图象的轴对称性可得：．②，即：，解得：（舍），．（3）解：当时，，，，如图，，，，，解得：，，即：，解得：．存在这样的，使得．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数表达式、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、等腰三角形与直角三角形的性质等知识点，准确表示点的坐标是解题关键．11．(1)抛物线的函数解析式为；(2)；(3)．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过A作交于点G，过G作轴于点H，求得直线的解析式为，利用，列式计算求得，得到，再求得直线的解析式，据此求解即可；（3）分当、和时三种情况讨论，利用正切函数以及梯形或三角形面积公式即可求解．【解析】（1）解：∵点在抛物线，且抛物线的对称轴是直线，∴，解得，∴抛物线的函数解析式为；（2）解：如图，过A作交于点G，过G作轴于点H，令，则；令，则，解得，，∴，，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，∵，，，∴，，，，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，∴，同理求得直线的解析式为，解方程，解得，，当时，，∴；（3）解：∵过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，，∴，，设沿x轴向右平移后为，当时，设交y轴于点F，由平移的性质得，，，，∴，则，即，∴；当时，；当时，设交轴于点Ｉ，则，同理∴；综上，．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解直角三角形等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，利用分类讨论的思想是解本题的关键．12．(1)(2)证明见解析(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出当时，抛物线的解析式为，由此求出，再求出，求出直线的解析式为，设直线与y轴交于点E，则，得到，则，同理得，从而得到，即可证明；（3）如图所示，连接，求出抛物线对称轴为直线，则，推出，求出直线的解析式为，设，然后分当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到，解方程即可；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得，解方程即可．【解析】（1）解：把，代入得：，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：∵，∴抛物线解析式为，令，则，解得或，∴，∴抛物线对称轴为直线，∵轴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设直线与y轴交于点E，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，连接，∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴；∵，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，设，当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴，解得（负值舍去）；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得，∴，∴，，∴，解得（负值舍去）；综上所述，或．【点评】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．13．(1)(2)2(3)或【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线即可；（2）如图1，过点A作于H，分别证和是等腰直角三角形，可求出的长，可在中，直接求出的正切值；（3）此问需分类讨论，当时，过点P作轴于点M，设P，由同角的三角函数值相等可求出a的值；由对称性可求出第二种情况．【解析】（1）解：将点A，B代入抛物线中，得，解得，，∴抛物线的表达式为；（2）解：∵在中，当时，，∴C，∴，∴为等腰直角三角形，，∴，如图1，过点A作于H，则，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴在中，，即的正切值为2；（3）解：①如图2，当时，过点P作轴于点M，设P，则M，由（1）知，，∴，∴，∴，解得，（舍去），，∴；②取点关于x轴的对称点，延长交抛物线于，则此时，设直线的解析式为，将A，代入，得，，解得，，∴直线的解析式为，联立，，或，∴；综上所述，点P的坐标为或．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．14．(1)(2)(3)存在，Q1（0，0），Q2（，0）【分析】（1）先求出B、C两点坐标，再根据对称性求出点A的组别，最后利用待定系数法求解即可；（2）令对称轴与直线的交点为D，连接，证明是直角三角形，利用勾股定理求出的长，进而求出的值．（3）①当时，则，．②当时，则，时．两种情况求得的长，据此即可求解．【解析】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别相交于B、C，∴，∵抛物线的对称轴，抛物线与x轴另一交点为A，∴，∴，∴∴抛物线的解析式为；（2）解；如图所示，设抛物线对称轴与直线交于点D，连接AD，∵，∴，∵直线是抛物线的对称轴，∴，∴，∴，∴，当时，，∴，∴，又∵,∴（3）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线顶点P的坐标为，∴①当时，则，．∵，∴，∴，又∵，∴点Q与点O重合，∴Q的坐标是；②当时，则，时．∴，∴．∵，∴，∴Q的坐标是．∵，∴．∴点Q不可能在B点右侧的x轴上综上所述，在x轴上存在点Q或使得以点P、B、Q为顶点的三角形与相似．【点评】本题是二次函数的综合题，相似三角形的性质，其中涉及的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，三角函数，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想求解是关键．15．(1)，，(2)点P的坐标为(3)存在点P，点P的坐标为【分析】（1）令解得，，令，解得.（2）连接OP，设，则,解得：，（舍）,点P的坐标为。（3）在AB的延长线上截取，连接CF，过点B作轴，交CF于点E，连接AE，在中，，，解得，根据，．解得直线CF的解析式为：，一次函数与二次函数联立解得.【解析】（1），，．令，解得：，∴，，令，，（2）如图，连接OP，设，则解得：，（舍）∴点P的坐标为（3）存在点P使得，理由如下：如图，在AB的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，在中，，∴，∵，∴∵轴，∴∴，∵，．∴直线CF的解析式为：，令，则∴∵∴直线AE的解析式为：，联立：，解得：（舍）∴点P的坐标为．【点评】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，求一次函数解析式，综合运用以上知识是解题的关键．16．(1)(2)M点坐标为或(3)P点坐标为或或或【分析】（1）过点D作轴交于H，可知，则，设，求出，，，再由待定系数法求函数的解析式即可；（2）设与y轴的交点为H，直线与y轴交点为F，过点F作交于，在上截取，则，设，则，求出直线的解析式可得，，则，由此得，进而求出，在求出直线的解析式为，通过联立方程组，求出；作F点关于直线的对称点N，设，可得①，②，联立①②可得，可求直线的解析式为，再联立方程组，能求出；（3）作P、Q、G三点的外接圆R，过点R作交于R，则是等腰直角三角形，由题意可知圆R与直线相切，切点为Q，设，则，再由，求，可得；当P点与E点重合，Q点与B点重合时，；当P点关于x轴对称时，；Q点与直线BD与y轴的交点重合时，，．【解析】（1）解：过点D作轴交于H，∴，∵，∴，设，∴，∵是对称轴，∴，∵，∴，∴，，，将A、B、C三点代入，∴，解得，∴；（2）解：由（1）可知，，，，，设与y轴的交点为H，直线与y轴交点为F，过点F作交于，在上截取，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，解得，∴，∴，∴，设，则，设直线的解析式为，∴，解得，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴，联立方程组，解得或，∴；作F点关于直线的对称点N，设，∴的中点为，∴①，∵，∴②，联立①②可得，可求直线DN的解析式为，联立方程组，解得或，∴；综上所述：M点坐标为或；（3）解：作P、Q、G三点的外接圆R，过点R作交于R，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵在直线上存在唯一的点Q，∴圆R与直线相切，切点为Q，设，∵，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，解得，∴；当P点与E点重合，Q点与B点重合时，，∴；当P点关于x轴对称时，，此时；Q点与直线BD与y轴的交点重合时，，∴；综上所述：P点坐标为或或或．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟