冀教版九年级数学上册《第25章图形的相似》单元检测试卷附答案解析

【易错题解析】冀教版九年级数学上册第25章图形的相似单元检测试卷

一、单选题（共10题；共30分）

1.已知一棵树的影长是30m,同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m,则这棵树的高度是（）.

A.15mB.60mC.20mD.105yJm

CDAC

2如.图，△ABC中，AD_LBC于D,下列条件：①NB+/DAC=90。；（2）ZB=ZDAC；③=

~AB

④AB2=BD・BC.其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（

A.1B.2C.3D.4

3.线段MN长为lcm,点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（

A且B.UC.四或匕更D.不能确定

2222

4.如图，五边形ABCDE与五边形AECDE是位似图形，O为位似中心，OD=1OD\则AE：AB为（）

A.2：3B.3：2C.1：2D.2：1

5.如图，I]〃l2〃b，其中h与h、L与b间的距离相等，则下列结论：①BC=2DE；ADE^AABC；③笫=

黑.其中正确的有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

6.如图，小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰

好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为（）

A.10mB.9mC.8mD.7m

7.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm,则这两个三角形的周长分别是（）

A.75cm,115cmB.60cm,100cmC.85cm,125cmD.45cm,85cm

8.如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N,则NM：MC等于（）

BC

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5

9.如图，在△ABC中，点D、E分别在28、4C上，DE//BC,若4D=4,DB=2,则寿的值为（）

123

A.—B.-C.-D.2

234

10.（2017•贵港）如图，在正方形ABCD中，。是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与

B,C重合），CN1DM,CN与AB交于点N,连接。M,ON,MN.下列五个结论：①△CNB也△DMC；

②△CON9△DOM；（§）△OMN^AOAD；（4）AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2,则SAOMN的最小值是；，其中正

确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空题（共10题；共33分）

11.如图，＜£△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE〃BC,AD=10,BD=5,AE=6,则CE的长为。

A

12.在某天的同一时刻，高为1.5m的小明的影长为加，烟囱的影长为20m，则这座烟囱的高为

m.

13.如图，在△ABC中，DE〃BC,丝=工，则竺=.

AB3BC

14.为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时

刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m,在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m,则此树的高度

是m.

15.如图，在内△ABC中，AB=BC,ZB=90°,AC=104.四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在

16.一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.（判断对错）

17.如图，将AABC绕点B按逆时针方向旋转得到AEBD,点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC

上，边DE交边AB于点F,△BDC^AABC.已知BC=g,AC=5,那么△DBF的面积等于.

18.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OC、0A,分别在X轴、丫轴上，点E在边BC上,将该矩形

沿AE折叠，点B恰好落在边0C上的F处,若0A=8,CF=4,则点E的坐标是.

19.正方形CEDF的顶点D、E、F分别在AABC的边AB、BC、AC±.

（1）如图，若tanB=2,则整的值为________

DC

（2）将△ABC绕点D旋转得到△ABC,连接BB，、CC.若条=乎，则tanB的值为________

BB5

20.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,NBCD=90。，ZABC=45°,AD=CD,CE平分NACB交AB于点E,在BC

上截取BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H,过点A作ANJ_BC,垂足为N,AN交CE于点

M.则下列结论：

①CM=AF：②CE_LAF；（3）AABF^ADAH；④GD平分NAGC,

其中正确的序号是.

三、解答题（共7题；共57分）

21.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米.某单位要沿着边BC修一座

底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC±.若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的

面积.

22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、

S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且

垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.

23.如图，在正三角形ABC中，D,E分别在AC,AB±,且券=：,AE=EB.求证：△AEDsaCBD.

AC3

24.已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上.

（1）如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形EFPN，，且使

正方形FFPN，的面积最大（不谢画法，但要保留画图痕迹）；

（2）若正三角形ABC的边长为3+2g,则（1）中画出的正方形FFPN，的边长.

25.如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且DAPQ=90。，AQ与BP相交于点T,则

黑的值为多少？

26.如图，已知在△ABC中，DE〃BC,EF〃AB,AE=2CE,AB=6,BC=9.求:

(1)求BF和BD的长度.

(2)四边形BDEF的周长.

27.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形

零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC±.

(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?

(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1,此时，

这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算.

(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这

个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】D

二、填空题

11.【答案】3

12.【答案】30

13.【答案】|

14.【答案】4.8

15.【答案】25

16.【答案】x

17.【答案】,

18.【答案】(-10,3)

19.【答案】；；；

20.【答案】①②③④

三、解答题

21.【答案】解答：由已知得，DG〃BC

AAADG^AABC,

VAHIBC

.♦.AH_LDG于点M,且AM=AH-MH=80-40=40(m)

DG_AM

~BC~AH

ASIxBC..

即DG=----------------50(m),

AH

♦.S地形DEFG=DEXDG=2000(m?).

22.【答案】解答：根据题意得出：QR〃ST

则4PQR^APST,

故&---F--Q---=—O—R，

PQ+QSST

：QS=45m,ST=90m,QR=60m,

.PQ60

"-0+C5-茹，

解得：PQ=90(m),

，河的宽度为90米.

23.【答案】证明：:△ABC为正三角形，

NA=/C=60°,BC=AB,

VAE=BE,

，CB=2AE,

...丝=二

AC3

，CD=2AD,

•..-A-D=-A-E=一1,

CDCB2

而/A=NC,

/.△AED^ACBD.

24.【答案】解：(1)如图①，正方形EFPN即为所求.

(2)设正方形EFPN，的边长为X,

「△ABC为正三角形，

，AE，=BF=争.

；E'F'+AE'+BF'=AB,

；.x+鸟+^x=3+2百，

33

工解得:x=3,

故答案为：3.

图①

25.【答案】解：I

26.【答案】解：(1)VAE=2CE,

.CE_1

••——,

AE2

VEF/7AB

•.•AE=BF—2，

ACBC3

•/BC=9,

ABF=6,

VDEZ/BC

.BDCE1

•a--..-f

ABAC3

VAB=6,

ABD=2：

(2)VEF//AB,DE/7BC

・・・四边形BDEF是平行四边形，

ABD=EF=2,DE=BF=6,

二四边形BDEF的周长2(2+6)=16.

27.【答案】(1)解：如图1,

设正方形的边长为xmm,则PN二PQ二ED二x,

.".AE=AD-ED=80-x,

PN||BC,

/.△APNABC,

PNAEaX80-X

—,即n一=---

BCAD12080

解得X=48.

...加工成的正方形零件的边长是48mm

(2)解:如图2,

S2

设PQ=x,则PN=2x,AE=80-x,

,:PN||BC,

：.△APN-△ABC,

.PNAE2x80-x

—,n即il一=---

…BCAD12080

解得：%=—

2Cx=——480

7

.••这个矩形零件的两条边长分别为詈mm,券mm

设PN=x(mm),矩形PQMN的面积为S(mm2)，

由条件可得AAPN〜AABC,

,PN_AE

••—，

BCAD

三=叱丝

12080

解得：PQ=80-1x.

则S=PN-PQ=x(80-|x)=-|x2+80x=-|(x-60)2+2400,

故S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm,PQ=80--x60=40(mm)

【易错题解析】冀教版九年级数学上册第25章图形的相似单元检测试卷

一、单选题（共10题；共30分）

1.已知一棵树的影长是30m,同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m,则这棵树的高度是（）.

A.15mB.60mC.20mD.10拒m

【答案】A

【考点】相似三角形的应用

【解析】【解答】设这棵树的高度为xm,根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子的比值是相同的

1A

得：—

330

.1.5x30代

..x=-----•-彳----=15

.,•这棵树的高度是15m.

故选A.

【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答.

CDAC

2.如图，△ABC中，AD_LBC于D,下列条件：①NB+/DAC=90。；②NB=/DAC；③—=

~AB

④AB2=BD・BC.其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（

A.1B.2C.3

【答案】B

【考点】相似三角形的判定与性质

【解析】解答：（1）NB+/DAC=90。，该条件无法判定aABC是直角三角形；（2）：NB=/DAC,

CD

ZBAD+ZB=90°,AZBAD+ZDAC=900,即NBAC=90°,故该条件可以判定△ABC是直角三角形；（3）——

且D

AC,.二二BC_

=—,该条件无法判定△ABC是直角三角形；（4）；AB2=BD・BC

AB''~BD~AB

VZB=ZB,

.,.△ABD^ACBA,

，/BAC=90°,故该条件可以判定△ABC是直角三角形；

故选B

分析：对题干中给出的条件逐一验证，证明NBAC=90。即可解题.

3.线段MN长为:Lem,点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（）

A渔匚B.上更c.旦或型D.不能确定

2222

【答案】c

【考点】黄金分割

【解析】【解答】解：设MP=x,则PN=l-x,根据题意得看解得，x=母或厚＞1（不

1-X122

合题意，舍去），

又因为题中没强调MP是长的一段还是短的一段，所以MP的长也可以为1-上”="二.

22

故选C.

【分析】根据黄金分割点的概念，结合题目要求，列出方程求解即可.

Z

4.如图，五边形ABCDE与五边形ABCDE是位似图形，。为位似中心,0D=|OD,则AE：AB为()

A.2：3B.3：2C.1：2D.2：1

【答案】D

【考点】位似变换

【解析】【解答】解：位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比.

•'•AB：AB=ODZ：0D=2：1.

故答案为：D.

【分析】由题，根据0D与0D，的数量关系，可以得出两个图形的位似比。

5.如图，k〃l2〃b，其中k与12、b与b间的距离相等，则下列结论：①BC=2DE；ADE^AABC；③华=

”.其中正确的有（）

A.3个

B.2个

C.1个

D.0个

【答案】A

【考点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：h与IL与b间的距离为I，则△ADE和△ABC分另IJ是I,21,

•：h//l2//l3,

/.△ADE^AABC,

二故选项②正确.

VAADE^AABC,

.AD_AB

99AE~AC'

...故选项③正确，

VAADE^AABC,

DE_1_1

BC121-2'

即BC=2DE,

故正确的有3个，

故选：A.

【分析】根据k〃l2〃b判断△ADES^ABC,根据相似三角形的性质对所给命题进行判断.

6.如图，小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰

好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为（）

A.10mB.9mC.8rnD.7m

【答案】B

【考点】相似三角形的应用

【解析】【解答】解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，若设旗杆高x米，

则2,

X8+22

，x=9.

故选B.

【分析】利用相似三角形对应边成比例解题.

7.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm,它们的周长相差40cm,则这两个三角形的周长分别是（）

A.75cm,115cmB.60cm,100cmC.85cm,125cmD.45cm,85cm

【答案】A

【考点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23,周长比就是15：23,

大小周长相差8份，所以每份的周长是40+8=5cm,

所以两个三角形的周长分别为5xl5=75cm,5x23=115cm.故选A.

【分析】根据题意两个三角形的相似比是15：23,可得周长比为15：23,计算出周长相差8份及每份的长，

可得两三角形周长.

8.如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N,则NM：MC等于（）

BC

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5

【答案】B

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质

【解析】，分析7根据中位线定理证明△NDMsaNBC后求解.

【解答】；DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，

:.DM〃BC,DM=ME=-BC.

4

DMNM1

AANDM^ANBC,-----=-----=—

BCCN4

・NM_1

**MC-3*

故选：B

乙点部7本题考查了三角形中位线定理及相似三角形的性质.

9.如图，在ZMBC中，点D、E分别在48、4c上，DE//BC,若4。=4,DB=2,则霹的值为（）

123

A.-B.-C.-D.2

234

【答案】B

【考点】相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】由DE〃BC可证得ATWE〜△4BC,再根据相似三角形的性质求解即可。

【解答】：DE〃BC

△ADEABC

9：AD=4,DB=2

.DE_AD_4_2

**BC~AB~6~3

故选B。

【点评】相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知

识点，一般难度不大，需熟练掌握。

10.（2017•贵港）如图，在正方形ABCD中，。是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与

B,C重合），CN1DM,CN与AB交于点N,连接。M,ON,MN.下列五个结论：①△CNB0△DMC；

（2）ACON^ADOM；（3）AOMN^AOAD；（4）AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2,则SAOMN的最小值是；，其中正

确结论的个数是（）

A.2C.4D.5

【答案】D

【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：；正方形ABCD中，CD=BC,ZBCD=90°,AZBCN+ZDCN=90°,

又；CNJ_DM,

AZCDM+ZDCN=90°,

AZBCN=ZCDM,

又•；NCBN=NDCM=90°,

.,.△CNB^ADMC(ASA),故①正确；

根据△CNB丝△DMC,可得CM=BN,

又；NOCM=NOBN=45°,OC=OB,

AAOCM^AOBN(SAS),

.♦.OM=ON,ZCOM=ZBON,

AZDOC+ZCOM=ZCOB+ZBPN,g[JZDOM=ZCON,

又,；DO=C。，

/.△CON^ADOM(SAS),故②正确；

ZBON+ZBOM=ZCOM+ZBOM=90",

ZMON=90\即^MON是等腰直角三角形，

又•••△AOD是等腰直角三角形，

AAOMN^AOAD,故③正确；

VAB=BC,CM=BN,

/.BM=AN,

又：RtABMN中，BM2+BN2=MN2,

AAN2+CM2=MN2,故④正确；

VAOCM^AOBN,

，四边形BMON的面积=△BOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1,

.♦.当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，

设BN=x=CM,则BM=2-x,

/.△MNB的面积=1x(2-X)=-1x2+x,

当x=l时，△MNB的面积有最大值|,

此时SAOMN的最小值是1-1=故⑤正确；

综上所述，正确结论的个数是5个，

故选：D.

【分析】根据正方形的性质，依次判定4CNB^ADMC,△OCM^AOBN,△CON/△DOM,△OMN^AOAD,

根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论.

二、填空题（共10题；共33分）

11.如图，在4ABC中，点D、E分另IJ在边AB、AC上，DE〃BC,AD=10,BD=5,AE=6,贝|CE的长为»

【答案】3

【考点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】根据平行线分线段成比例定理即由DE〃BC,可直接得黑=黑，即?=白，解得EC=3.1分

BDEC5CE

析】运用平分线分线段成比例，列出比例等式求CE的长即可。

12.在某天的同一时刻，高为1.5m的小明的影长为1m，烟囱的影长为20m,则这座烟囱的高为

m.

【答案】30

【考点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：设烟囱的高为x,由题意得：芋=或，

.♦.x=30

...烟囱的高为30米.

故答案为：30.

【分析】根据同一时刻，同一地点同一水平面上，不同物体的高度与影长成比例，即可列出方程，求解即可。

13.如图，在△ABC中，DE〃BC,”=工，则空=.

AB3BC

【答案w

【考点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：；DE〃BC,

AZADE=ZB,ZAED=ZC,

/.△ADE^AABC,

•.・-D-E=--A-D=一1.

BCAB3

故答案为：g

【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解。

14.为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时

亥“，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m,在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m,则此树的高度

是m.

【答案】4.8

【考点】相似三角形的应用，平行投影

【解析】【解答】解：设此树的高度是hm,则当=2,解得h=4.8（m）.故答案为：4.8.

【分析】设此树的高度是hm,再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论.

15.（2015•佛山市）如图，在RtAABC中，AB=BC,ZB=90°,AC=10V2.四边形BDEF是△ABC的内接正方

形（点D、E、F在三角形的边上）.则此正方形的面积是

【答案】25

【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答］..,在RtAABC中，AB2+BC2=AC2

VAB=BC,AC=10V2.

,2AB2=200,

.,.AB=BC=10,

设EF=x,贝ljAF=10-x

VEF/7BC,

/.△AFE^AABC

••—,IA|J—f

BCAB1010

...x=5,

；.EF=5,

.•.此正方形的面积为5x5=25.

故答案为25.

【点评】主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用.解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似

比列方程求解.

16.一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.（判断对错）

【答案】x

【考点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：•••相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，

...一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍，错误.

故答案为：X.

【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答.

17.如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到AEBD,点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC

上，边DE交边AB于点F,△BDC^AABC.已知BC=VW，AC=5,那么△DBF的面积等于

【答案】9

1O

【考点】相似三角形的性质，旋转的性质

【解析】【解答】解：:△BDCSZ\ABC,冷含,NCBD=NA,

：.CD=—,

AC

VBC=V10,AC=5,

，CD=2,

，AD=3,

•.,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到小EBD,

AZEBF=ZCBD,

，NEBF=NA,

，BE〃AC,

，/ADF=NE,

ZE=ZEBF=ZA=ZADF,

，EF=BF,AF=DF,

/.AF+BF=EF+DF,

即AB=DE=AC=5,

VAD/7BE,

AAADF^ABEF,

.DFAD3

>•------——

EFBE5

・DF3

,•———

DE8

过A作AH_LBC于H,

.♦.△DBF的面积=|SBC=77•

oAA16

故答案为：.

lo

【分析】根据相似三角形的性质得到奈=黑，ZCBD=ZA,得到CD=2,AD=3,根据旋转的性质得到

CMDC

ZABC=ZEBD,ZE=ZA,AB=BE,DE=AC,得到NEBF=/A,根据平行线的判定和性质得到/ADF=NE,等

量代换得到NE=NEBF=NA=/ADF,根据等腰三角形的判定得到EF=BF,AF=DF,得至IJAB=DE=AC=5,根据相

似三角形的性质得到黑=：，过A作AHLBC于H,于是得到结论.

DE8

\8.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABC。的边OC、0A,分别在x轴、y轴上，点E在边BC上,将该矩形

沿AE折叠，点B恰好落在边0C上的F处,若。A=8,CF=4,则点E的坐标是.

【答案】（-10,3）

【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：•••矩形ABCO中，

ACE/ZAO.

.,.△CEF^AOFA.

・CECF

**0F~0A

又・・・。2=8,CF=4.

AOF=2CE.

设CE=x,则BE=8-x.

根据折叠的性质，可得EF=8-x.

Ax2+42=（8-%）2，

••X—3,

/.0F=6,

.".OC=10,

二点E的坐标为（-10,3）.

故答案为：（-10,3）

【分析】根据题意可知ACEFs/XOFA,可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE,设CE=x,

则BE=8-x,然后根据折叠的性质，可得EF=8-x,根据勾股定理可得x2+42=（8-x）2，解得x=3,贝lj0F=6,

所以OC=10,由此可得点E的坐标为（-10,3）.

19.正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC±.

(1)如图，若tanB=2,则黑的值为________

DC

(2)将△ABC绕点D旋转得到△ABU,连接BB\CC.若条=乎，则tanB的值为

BB5

【答案】:；:

34

【考点】相似三角形的判定与性质

【解析】解：(1)•••四边形CEDF为正方形，

，ED=EC,ZCED=90°,

T\p

在RtABDE中，：tanB=—=2,

BE

；.DE=2BE,

.BE_BE_1

"BCBE+2BE3

(2)连结DC、DC,如图，

VAABC绕点D旋转得到^ABU,

，DB=DB，，DC=DC',ZBDB^ZCDC,

即“DB="DB’

DCDC'

AADBB^ADCC,

•.・-D-B二-C-C-'--3-y-[2

DCBBf5

设DC=3V2x,BD=5x,

•・,四边形CEDF为正方形，

ADE=3x,

在RfBDE中，BE/2_2=^2_

=ADBDE(5x)(3X)2=4X

DE_3x_3

tanB="-----：--------r

故答案为:，：.

34

B

【分析】(1)由正方形的性质得ED=EC,ZCED=90°,再在R3BDE中，利用正切的定义得到DE=2BE,则

CE=BE,所以案=：;

HC3

(2)连结DC、DC一如图，根据旋转的性质得DB=DB，,DC=DU,/BDB，=NCDC,则可判断4DBB^ADCC,

根据相似三角形的性质得照=冬=平，则可设DC=3&x,BD=5x,然后利用正方形性质得DE=3x,接着

DCBB5

利用勾股定理计算出BE=4x,最后根据正切的定义求解.

20.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,/BCD=90°,NABC=45°,AD=CD,CE平分NACB交AB于点E,在BC

上截取BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H,过点A作AN^BC,垂足为N,AN交CE于点

M.则下列结论：

①CM=AF；②CEJ_AF；(§)△ABF^ADAH；④GD平分NAGC,

其中正确的序号是.

【答案】①②③④

【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：

⑴结论①正确.理由如下：

VZ1=Z2,Zl+ZCMN=90°,Z2+Z6=90°

Z6=ZCMN,XVZ5=ZCMN,

AZ5=Z6,

AAM=AE=BF.

易知ADCN为正方形，AABC为等腰直角三角形，；g8=人（：.

在4ACM与小ABF中，

AC=AB

(ZCAM=ZB=45°，

AM=BF

.,.△ACM^AABF(SAS),

，CM=AF；

⑵结论②正确.理由如下：

:△ACM丝△ABF,

,N2=N4,

：N2+N6=90°,

4+/6=90°,

ACEIAF；

⑶结论③正确.理由如下：

证法一：VCE1AF,

二NADC+NAGC=180°,

:.A、D、C、G四点共圆，

,N7=N2,

VZ2=Z4,

，N7=N4,

又：NDAH=NB=45°,

.,.△ABF^ADAH；

证法二：VCE1AF,Z1=Z2,

/.△ACF为等腰三角形，AC=CF,点G为AF中点.

在RSANF中，点G为斜边AF中点，

，NG=AG,

，/MNG=N3,

NDAG=/CNG.

在^ADG与4NCG中，

AD=CN

{ZDAG=/CNG,

AG=NG

AAADG^ANCG(SAS),

AZ7=Z1,

又：N1=N2=N4,

AZ7=Z4,

.,.△ABF^ADAH；

⑷结论④正确.理由如下：

证法一：；A、D、C、G四点共圆，

，/DGC=NDAC=45°,ZDGA=ZDCA=45",

ZDGC=ZDGA,即GD平分NAGC.

证法二：VAM=AE,CE±AF,

AZ3=Z4,又N2=N4,AZ3=Z2

则NCGN=180°-N1-90--ZMNG=1800-Z1-90--Z3=90°-Z1-Z2=45°.

VAADG^ANCG,

/.ZDGA=ZCGN=45°=-ZAGC,

2

...GD平分NAGC.

综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个.

故答案为：①②③④

【分析】结论①正确，证明△ACMg^ABF即可；结论②正确，由△ACM丝ZXABF得出N2=N4,进而得

N4+N6=90。，即CEJ_AF,结论③正确，证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确，

证法一：利用四点共圆，证法二：利用三角形全等。

三、解答题（共7题；共57分）

21.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米.某单位要沿着边BC修一座

底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC±.若大楼的宽是40米（即DE=40米）,求这个矩形的

面积.

【答案】解答：由己知得，DG〃BC

.,.△ADG^AABC,

VAH1BC

.".AH1DG于点M,且AM=AH-MH=80-40=40(m)

DG_AM

~BC~AH

■"LT/xBC.、

即DG=----------------=50(m)

AH

S矩形DEFG=DEXDG=2000(m2)

【考点】相似三角形的应用

【解析】【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG〃EF,此时有NADG=NB,NAGD=/C,所以

△ADG-AABC,利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积.

22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、

S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且

垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.

【答案】解答：根据题意得出：QR〃ST,

则4PQRS/\PST,

砧PQOR

PQ+QSST

VQS=45m,ST=90m,QR=60m,

.PQ60

…尸2+45-9Qf

解得：PQ=90(m),

.•.河的宽度为90米.

【考点】相似三角形的应用

【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出一丝-="，进而代入求出即可.

PQ+QSST

23.如图，在正三角形ABC中，D,E分别在AC,AB上，且华=*，AE=EB.求证：△AED^ACBD.

AC3

BC

【答案】证明：••'△ABC为正三角形,

AZA=ZC=60°,BC=AB,

VAE=BE,

ACB=2AE,

.•.—AD——1，

AC3

ACD=2AD,

•.•-A-D--A-E二一1,

CDCB2

而/A=NC,

AAAED^ACBD.

【考点】相似三角形的判定

【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得到/A=NC=60。,BC=AB,由AE=BE可得到CB=2AE,再由*=祠到

AC3

CD=2AD,则受嗯，然后根据两边及其夹角法可得到结论.

CDCD

24.已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上.

(1)如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形FFPN「且使

正方形FFPN，的面积最大(不谢画法，但要保留画图痕迹)；

(2)若正三角形ABC的边长为3+26，则(工)中画出的正方形EFPN的边长.

C

【答案】解：(1)如图①，正方形FFPM即为所求.

(2)设正方形FFPN，的边长为X,

:△ABC为正三角形，

，AE，=BF=—x.

3

,:E'F'+AE'+BF'=AB,

/.x+—x+—x=3+2V3,

33

；・解得：x=3,

故答案为：3.

图①

【考点】位似变换

【解析】【分析】(1)利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形FFPN，，如答图①所示；

(2)根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式EF+AE4BF=AB,列方程求得正

方形EFPN的边长.

25.如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且DAPQ=90。，AQ与BP相交于点T,则

g的值为多少？

【答案】解：!

【考点】平行线的判定，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：过点B作BE_LAQ于点E,过点P作PHLAQ于点H,

设正方形的边长是2.则DP=CP=1,AD=2.

.*.AP=V5

ZAPQ=90°,

NAPD+/CPQ=90°

又：NAPD+NPAD=90°

二NPAD=NCPQ,

VZC=ZD;

.,.△ADP^APCQ.

，AD:PC=AP:PQ=DP:CQ.

即2:1S：