概率论期望方差中心极限

概率论期望方差中心极限第一页，共七十五页，编辑于2023年，星期日分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数,而只需知道r.v.的某些特征.如:判断棉花质量时,既看纤维的平均长度,又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;考察一射手的水平,既要看平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.可见,与r.v.有关的某些数值,虽不能完整地描述r.v.,但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.第二页，共七十五页，编辑于2023年，星期日4.1随机变量的数学期望例1某一班级有N个学生,进行数学期终考试,成绩统计如下:学生成绩X…得X分的人数N1N2…NkPN1/NN2/N…Nk/N求全班数学的平均成绩.(其中N1+N2+…+Nk=N)一、数学期望的定义1.离散型r.v.数学期望的定义第三页，共七十五页，编辑于2023年，星期日由此可以看出,随机变量的均值是这个随机变量取得一切可能数值与相应概率乘积的总和,也是以相应的概率为权重的加权平均.定义1.设X为离散r.v.其分布为若无穷级数绝对收敛,则称其和为X

的数学期望，记作E(X),即第四页，共七十五页，编辑于2023年，星期日解设X为获奖的数值,则X的分布律为例2在有奖销售彩票活动中,每张彩票面值2元,一千万张设有一等奖20名,奖金20万或红旗轿车；二等奖1000名,奖金3000元或25寸彩电；三等奖2000名,奖金1000元或洗衣机；四等奖100万名,奖金2元,问买一张彩票获奖(收益)的数学期望是多少？X021000300020,0000P1-10011/100000000100/10002/100001/1000020/10000000EX=200000×20/10000000+3000×1/10000+1000×2/10000+2×100/1000=1.1000第五页，共七十五页，编辑于2023年，星期日(1)分别化验每个人的血,共需化验n次；(2)分组化验,k个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验,找出有病者,此时

k个人的血需化验k+1次.设每人血液化验呈阳性的概率为p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.例3为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：第六页，共七十五页，编辑于2023年，星期日解只须计算方案(2)所需化验次数的期望.为简单计,不妨设n是k的倍数，共分成n/k组.设第i组需化验的次数为Xi,则Xi

P1k+1第七页，共七十五页，编辑于2023年，星期日若则E(X)<n例如,当

时,选择方案(2)较经济.第八页，共七十五页，编辑于2023年，星期日例4

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若Y~B(1,p)(两点分布),则E(Y)=p=np=np第九页，共七十五页，编辑于2023年，星期日例5

X~P(

),求E(X)

.例6甲乙两个射手的技术统计如下：P甲X89100.30.10.6P乙Y89100.20.50.3甲、乙两个射手谁的水平高？第十页，共七十五页，编辑于2023年，星期日设连续r.v.X的d.f.为f(x)若广义积分绝对收敛,则称此积分为X的数学期望,记作E(X),即数学期望的本质——加权平均,它是一个数,不是r.v.定义2、连续型r.v.数学期望第十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期日例7

X~U(a,b),求E(X).例8

X服从指数分布,求E(X).第十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期日例9

X~N(,2),求E(X)

.解——概率积分[注]第十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期日常见

r.v.

的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()第十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期日分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布Exp()N(,2)第十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期日注

不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!第十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期日EX1：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望XPk-101YPk10二、r.v.函数Y=g(X)的数学期望第十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期日设离散r.v.X的概率分布为

若无穷级数绝对收敛，则绝对收敛,则设连续r.v.的p.d.f.为f(x),若广义积分注：若g(x)=x,则根据定理1，有这与定义是一致的。定理1.第十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期日1.E(C)=C2.E(aX)=aE(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).常数线性性质三、数学期望的性质逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立第十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期日证2:设X~f(x),则证3:设(X,Y)~f(x,y)第二十页，共七十五页，编辑于2023年，星期日证4:设(X,Y)~f(x,y)，X,Y独立第二十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期日数学期望的应用第二十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期日应用1据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为解0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi

表示公司从第i个投保者身上所得的收益,i=1~1000.则Xi~0.980.02100100第二十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期日由题设公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.第二十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期日应用2市场上对某种产品每年需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？

解设每年生产y吨的利润为Y显然，2000<y<4000第二十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期日第二十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期日显然，故y=3500时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元第二十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期日应用3设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)~N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：问平均直径

为何值时,销售一个零件的平均利润最大？第二十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期日解第二十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期日即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一个第三十页，共七十五页，编辑于2023年，星期日几个重要的r.v.函数的数学期望——X的k阶原点矩——X的k阶绝对原点矩——X的k阶中心矩——X的方差[附录]第三十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期日——X,Y的k+l阶混合原点矩——X,Y的k+l阶混合中心矩——X,Y的二阶原点矩——X,Y的二阶混合中心矩

X,Y的协方差——X,Y的相关系数第三十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期日作业：P81——4，5，

7，9，10第三十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期日概率积分因为：返回第三十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期日方差第三十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期日随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.

如某零件真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图：哪台仪器好一些?乙仪器测量结果

甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是

a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近第三十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期日又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.第三十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期日

为此需引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这就是我们这一讲要介绍的方差——衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征.如何定义？引例甲、乙两射手各发6发子弹,击中的环数分别为：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？第三十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期日再比较稳定程度甲:乙:乙比甲技术稳定，故乙技术较好.解

首先比较平均环数甲=8.3,乙=8.3甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,第三十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期日进一步比较平均偏离平均值的程度甲乙

E[X-E(X)]2第四十页，共七十五页，编辑于2023年，星期日若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机称为X的均方差或标准差.定义

即D(X)=E[X-E(X)]2

变量X的方差,记为D(X)或Var(X)两者量纲相同D(X)——描述r.v.X的取值偏离平均值

的平均偏离程度——

数4.2方差一、方差的定义第四十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期日若X为离散型r.v.，分布律为若X为连续型r.v.,概率密度为f(x)计算方差的常用公式：证:r.v.X的取值为xi,P{X=xi}=1/n第四十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期日2.EX的取值相当于物理学上作一条直线，使所有的点均匀分布在直线的两边;1.方差非负，即DX0；x1x2x3x4x5x6x7xn

1234567n

EX3.DX的取值相当于平均误差；4.DX=0的充分必要条件为r.v.X的取值为常数.第四十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期日例1：设随机变量X的概率密度为1)求D（X）,2)求第四十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期日1.D(c)=02.D(cX)=c2D(X)D(c1X+c2

)=c12D(X)3.特别地，若X,Y相互独立，则二、方差的性质第四十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期日证1:证2:证3:当X,Y相互独立时，而第四十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期日推论:若X1,…,Xn相互独立,a1,a2,…,an,b为常数.则若X,Y相互独立4.对任意常数C,D(X)

E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)第四十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期日证4:当C=E(X)时，显然等号成立；当CE(X)时，4.对任意常数C,D(X)E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立常数a第四十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期日1.二项分布B(n,p)：二、几个重要r.v.的方差设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则服从两点分布的随机变量,其方差为pq第四十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期日2.泊松分布P()：第五十页，共七十五页，编辑于2023年，星期日3.均匀分布U(a,b)：4.指数分布Exp()：第五十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期日5.正态分布N(,2)第五十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期日常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()第五十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期日分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布Exp()N(,2)第五十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期日则正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，独立，ci为常数，

第五十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期日例4已知X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函数.解

在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.第五十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期日标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称为X的标准化随机变量.显然，第五十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期日例8已知X的d.f.为其中A,B是常数，且E(X)=0.5.求A,B;(2)设Y=X2,求E(Y),D(Y)解(1)第五十八页，共七十五页，编辑于2023年，星期日(2)第五十九页，共七十五页，编辑于2023年，星期日作业：P87—13，14，

16，18第六十页，共七十五页，编辑于2023年，星期日5.2中心极限定理在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的随机因素的综合效应所形成的，而其中的每一个单个因素在总的效应中所起的作用都是微小的。这类随机变量往往近似地服从正态分布。在概率论中，论证随机变量和的极限分布是正态分布的一系列定理统称为中心极限定理。下面介绍常用的三个中心极限定理。第六十一页，共七十五页，编辑于2023年，星期日定理1(同分布的中心极限定理——列维-林德伯格定理)设随机变量X1,X2,…

Xn,…相互独立同分布且具有有限的数学期望和方差,则随机变量的分布函数Fn(x)对任意x，满足注:第六十二页，共七十五页，编辑于2023年，星期日作为定理1的推广，我们有下面的定理定理2（李雅普诺夫定理）设随机变量X1,X2,…

Xn,…

相互独立，且具有有限的数学期望和方差：若每个Xi对总和∑Xi影响不大，记的分布函数对任意的x，满足则随机变量第六十三页，共七十五页，编辑于2023年，星期日定理2表明,不论各个随机变量具有怎样的分布,只要满足定理2条件,它们的和当n很大时,就近似地服从正态分布在很多问题中,所考虑的随机变量都可表示成若干独立的随机变量之和.它们往往近似地服从正态分布.在后面将学的数理统计中,我们会看到,中心极限定理是大样本统计推断的理论基础。作为定理1的特殊情况，我们给出下面的定理第六十四页，共七十五页，编辑于2023年，星期日定理3（德莫佛—拉普拉斯定理）设随机证X可以看作n个相互独立,服从相同(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和:X=X1+X2+…+Xn

其中由于则定理1中的化为，故由定理1可得上述结论。变量X服从二项分布B(n,p),则有第六十五页，共七十五页，编辑于2023年，星期日定理3表明,当n充分大时,二项分布B(n,p)可近似地用正态分布N(np,)来代替.下面举两个关于中心极限定理的应用的例子。因此,当X~B(n,p),且n充分大时,有(其中q=1-p)第六十六页，共七十五页，编辑于2023年，星期日解设一袋味精净重Xi克,一箱味精的净重为X克,则例1:用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装有400袋味精,求一箱味精净重大于40500克的概率.第六十七页，共七十五页，编辑于2023年，星期日例2对敌阵地集中射击,每次集中射击的命中数的概率分布相同,数学期望为2,方差为1,求集中射击100次有180颗到220颗炮弹命中目标的概