上海中学东校2021年高三数学理下学期期末试题含解析

上海中学东校2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为A． B． C． D．参考答案：B2.已知方程的两个根为，，则（

）A．3

B．6

C．8

D．2参考答案：C3.函数（其中A＞0，）的图像如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图像，则只需将f(x)的图像(

)（A）向左平移个长度单位

（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位

（D）向右平移个长度单位参考答案：D4.设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数的定义域，则A∩B=（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]参考答案：D【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据函数成立的条件，求出函数的定义域B，根据不等式的性质求出集合A，然后根据并集的定义即可得到结论．【解答】解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，要使函数y=有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，∴函数的定义域B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用函数成立的条件求出函数的定义域y以及利用不等式的解法求出集合A是解决本题的关键，比较基础5.若复数，其中为虚数单位，则=

（

）A．1? B．1+

C．?1+ D．?1?参考答案：A,所以.选A.6.复数满足为虚数单位),则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由题设可得,故,因此应选D．考点：复数的运算．7.已知函数是定义域为R的偶函数，且上是增函数，那么上是A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数参考答案：C由得即函数的周期为2，因为是偶函数，且在上是增函数，所以在是减函数，所以上递增，在上递减，选C.8.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+4y的最大值为（

）A．10

B．12

C．13

D．14参考答案：答案:C9.若条件p:|x+1|≤4，条件q:x2<5x－6，则┐p是┐q的

(

)A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：答案：B10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是 （A）xα∈R,f(xα)=0 （B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减 （D）若x0是f（x）的极值点，则参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点的直线l与直线垂直，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于点A、B，若点满足，则双曲线C的渐近线方程为_______，离心率为_______.参考答案：，

【分析】先求出直线的方程，将其与双曲线的渐近线方程联立，求得两点的坐标，进而求得的中点的坐标.利用点满足，可知点在线段的中垂线上，即，，从而可求得，再根据，求出，即可写出渐近线方程和离心率.【详解】过点的直线与直线垂直，直线的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，将两个方程联立，可得，，的中点坐标为，点满足，点在线段的中垂线上，即，，则，，渐近线方程为，离心率为.故答案为：，.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率的求法，求直线的方程，两直线的交点坐标，中点坐标公式.其中将转化为点在中垂线上是关键.属于综合性较强的题.12.当x≠1且x≠0时，数列{nxn﹣1}的前n项和Sn=1+2x+3x2+…nxn﹣1（n∈N*）可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x+x2+x3+…+xn（n∈N*）按等比数列的求和公式，先求得x+x2+x3+…+xn=，两边都是关于x的函数，两边同时求导，（x+x2+x3+…+xn）′=（）′，从而得到：Sn=1+2x+3x2+…+nxn﹣1=，按照同样的方法，请从二项展开式（1+x）n=1+x+Cx2+…+Cxn出发，可以求得，Sn=1×2×C+2×3×C+3×4×C+…+n×（n+1）×C（n≥4）的和为（请填写最简结果）参考答案：n（n+3）2n﹣2【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据类比推理的思想，由二项式的展开式的两边同乘以x，再分别求两次导，再令x=1时，即可求出答案．【解答】解：∵（1+x）n=1+x+Cx2+…+Cxn，∴x（1+x）n=x+x2+Cx3+…+Cxn+1，两边求导可得（1+x）n+nx（1+x）n﹣1=1+2x+3Cx2+4Cn3x3+…+（n+1）Cxn，两边继续求导可得n（1+x）n﹣1+n（1+x）n﹣1+n（n﹣1）x（1+x）n﹣2=1×2+2×3Cx+3×4Cn3x2+…+n（n+1）Cxn﹣1，令x=1，可得n?2n﹣1+n?2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2=1×2+2×3C+3×4Cn3+…+n（n+1）C=Sn，∴Sn=n（n+3）2n﹣2．故答案为：n（n+3）2n﹣2．【点评】本题考查了类比推理的问题，掌握求导的法则，关键是两边同乘以x，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题13.设二元一次不等式组

的图象没有经过区域的取值范围是______________.参考答案：（0，1）（1，2）（9，+∞）14.设是定义在R上的奇函数，当时，（其中b为常数），则___________．参考答案：15.如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

．参考答案：16.在正三角形中，设它的内切圆的半径为，容易求得正三角形的周长，面积，发现．这是一个平面几何中的重要发现．请用类比推理方法猜测对空间正四面体存在类似结论为

．参考答案：在正四面体中，设它的内切球的半径为r，容易求得正四面体的表面积，体积，发现．17.函数的图像在点处的切线方程为▲.

参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11

解析：；故；故函数的图象在点处的切线方程为：；即；故答案为：．【思路点拨】由题意求导，从而可知切线的斜率，从而写出切线方程．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设命题甲：直线x＝y与圆(x－a)2＋y2＝1有公共点，命题乙：函数f(x)＝2－|x＋1|－a的图象与x轴有交点，试判断命题甲与命题乙的条件关系，并说明理由．参考答案：命题甲：若直线x＝y与圆(x－a)2＋y2＝1有公共点．则≤1，－≤a≤.命题乙：函数f(x)＝2－|x＋1|－a的图象与x轴有交点，等价于a＝2－|x＋1|有解．∵|x＋1|≥0，－|x＋1|≤0，∴0＜2－|x＋1|≤1，因此0＜a≤1.∴命题乙?命题甲，但命题甲命题乙．故命题乙是命题甲的充分不必要条件．

19.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．参考答案：(1)当对称轴x＝a<0时，如图①所示．当x＝0时，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1；(1)当对称轴0≤a≤1时，如图②所示．当x＝a时，y有最大值，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝．∵0≤a≤1，∴a＝(舍去)；(3)对称轴x＝a，当a>1时，如图③所示．当x＝1时，y有最大值，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.综上可知，a的值为－1或2.20.如图,在长方体中为中点.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.(Ⅲ)若二面角的大小为,求的长.参考答案：解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则,故(2)假设在棱上存在一点,使得平面,则设平面的法向量为,则有,取,可得,要使平面,只要,又平面,存在点使平面,此时.(3)连接,由长方体,得,,由(1)知,故平面.是平面的法向量,而,则二面角是,所以,即略21.如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若圆O的半径为2，求AD?OC的值．参考答案：【考点】相似三角形的性质．【专题】选作题；立体几何．【分析】（1）连接BD，OD，利用切线的性质，证明BD⊥OC，利用AB为直径，证明AD⊥DB，即可证明AD∥OC；（2）证明Rt△BAD∽Rt△COB，可得，即可求AD?OC的值【解答】（1）证明：连接BD，OD，∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC，又AB为直径，∴AD⊥DB，∴AD∥OC．（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，∴Rt△BAD∽Rt△COB，∴，∴AD?OC=AB?OB=8．【点评】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理能力．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．参考答案：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=?=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB