随机事件的概率与古典概型

第4节随机事件的概率与古典概型考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式；3.了解古典概型及其概率计算公式；4.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.K频率fn(A)2.事件的关系与运算

定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B

事件A(或称事件A包含于事件B)

(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的

(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当

且

，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅P(A∪B)＝1______

包含B⊇AA＝B并事件件A发生事件B发生3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：

. (2)必然事件的概率P(E)＝

. (3)不可能事件的概率P(F)＝

. (4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝

. ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝

.0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)4.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是

的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成

的和.5.古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件

. (2)每个基本事件出现的可能性

.互斥基本事件只有有限个相等3.一般概率加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).4.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键.诊

断

自

测1.判断下列说法的正误. (1)事件发生的频率与概率是相同的.(

) (2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.(

) (3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(

) (4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(

)解析对于(1)，不正确；对于(2)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(2)不正确；对于(3)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(3)不正确；对于(4)，选抽奖，中奖的概率是一样的.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×答案B答案A6.在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若甲同学在物理、化学中至少选一门，则甲的不同选法种数为________，乙、丙两名同学都不选物理的概率是________.【例1】

某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：考点一随机事件的频率与概率上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，则P(A)的估计值为________；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，则P(B)的估计值为________.答案(1)0.55

(2)0.3规律方法(1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.【训练1】

某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率为________；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为________；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中________商品的可能性最大.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.答案(1)0.2

(2)0.3

(3)丙【训练2】(1)(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(

) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 (2)袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.40和0.35，那么黑球共有________个.

解析(1)设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B. (2)任取一球是黑球的概率为1－(0.40＋0.35)＝0.25， ∴黑球有100×0.25＝25(个).

答案(1)B

(2)25规律方法有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出.(2)基本事件总数较多时，常利用排列、组合以及计数原理求基本事件数.【训练3】(1)(2018·上海卷)有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码