弹塑性力学第四章

弹塑性力学第四章第一页，共七十二页，编辑于2023年，星期日应力理论应变理论几何方程（应变分量与位移的关系）变形协调方程平衡微分方程（应力分量与体力的关系）边界条件本构关系（应力分量与应变分量的关系）第二页，共七十二页，编辑于2023年，星期日广义胡克定律第三页，共七十二页，编辑于2023年，星期日大量实验表明，在许多工程材料的弹性范围内，单向的应力和应变之间存在着线性关系：材料的变形属性与坐标无关。三维：应力和应变关系的一般表达式为：对于小变形问题，上述表达式展开成泰勒级数，并且略去二阶以上的高阶小量。初始应力广义胡克定律一、广义胡克定律第四页，共七十二页，编辑于2023年，星期日根据无初始应力的假设，（f1)0应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数f1对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。广义胡克定律第五页，共七十二页，编辑于2023年，星期日称为弹性系数，一共有36个。

广义胡克定律的张量表示：如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn是坐标x，y，z的函数。如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。因此cmn为弹性常数，与坐标无关。各向同性材料，独立的弹性常数只有两个。广义胡克定律第六页，共七十二页，编辑于2023年，星期日证明：弹性状态下，各向同性弹性体，应力主轴与应变主轴重合。证明：令x、y、z为主应变方向，则剪应变分量为零。引入新坐标，则新、旧坐标间的关系为：在新坐标，弹性常数不变，则广义胡克定律第七页，共七十二页，编辑于2023年，星期日由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得：由(c)式代入(b)式,可得出：比较(a),(b)可得：，所以，必定有同理可得：因此，对于各向同性弹性体，主应变方向必为主应力方向。广义胡克定律第八页，共七十二页，编辑于2023年，星期日证明：各向同性均匀弹性体的弹性常数只有两个。证明：令坐标轴与主应力方向一致，则主应力与主应变间的关系为：对的影响应与对及对的影响相同，即同理，对的影响应相同，即因而有：对于应变主轴，弹性常数只有两个。广义胡克定律第九页，共七十二页，编辑于2023年，星期日具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的独立常数有13个。弹性对称面：如果物体内存在这样一个平面，和该平面对称的两个方向都具有相同的弹性，则该面称为物体的弹性对称面。弹性主方向：垂直于弹性对称面的方向各向异性弹性体独立的常数有21个。系数矩阵对称具有三个弹性对称面的各向异性弹性体（正交各向异性）的独立常数有9个。广义胡克定律第十页，共七十二页，编辑于2023年，星期日证明：正交各向异性弹性体的独立常数有9个。证明：取弹性主轴为三个坐标轴，将z轴旋转180度(2-20)广义胡克定律第十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期日根据正交各向异性弹性体的性质可知：代入广义胡克定律对比以上两式可得：同理可得：广义胡克定律第十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期日将x轴旋转180度，采用和前面相同的方法，可得：将y轴旋转180度，可得：与前一步骤相同如果三个相互垂直的平面中有两个是弹性对称面，则第三个平面必然也是弹性对称面。对称广义胡克定律第十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期日广义胡克定律二、各向同性弹性体广义胡克定律的几种形式令坐标轴与主应力方向一致，则令,则1.弹性拉梅弹性常数表示的广义胡克定律坐标变换称为拉梅弹性常数。第十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期日右图所示应力状态时，由材料力学可知：比较以上式子可知：分别为杨氏弹性模量和泊松比。广义胡克定律2.用弹性模量和泊松比表示的广义胡克定律将（4-3）式中的应变解出来，可得（4-5）（4-6，4-7）第十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期日代入广义胡克定律，得式中，为各向同性物体的剪切弹性模量。张量记法：广义胡克定律表示材料弹性性能的常数有3个，但只有两个是独立的。第十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期日3.用应力偏量和应变偏量表示的广义胡克定律对比等式两边，可得：广义胡克定律第十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期日广义胡克定义可写为物体的变形可分为两部分：一部分是各向相等的正应力引起的相对体积改变；一部分是应力偏量引起的物体几何形状的变化。表示变形前后单位体积的相对体积变形，称为相对体积变形。或K称为弹性体积膨胀系数或体积模量。广义胡克定律对不可压缩材料，e=0.第十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期日平面应变状态下，，广义胡克定义可写为：平面应力状态下，，广义胡克定义可写为：广义胡克定律4.平面应力状态下的广义胡克定律第十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期日平面应力平面应变广义胡克定律第二十页，共七十二页，编辑于2023年，星期日广义胡克定律的张量表示：各向同性弹性体的广义胡克定律：广义胡克定律拉梅系数：弹性模量：偏量表示：平面状态：第二十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期日三、各向异性弹性材料的本构关系(应变表示应力）：共有9个弹性常数。用应力表示应变的本构关系：张量记法：其中，广义胡克定律第二十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期日弹性应变能函数第二十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期日为单位体积的应变能1.单向应力状态：y方向虽然有变形，但没有外力，因此，外力所作的总功为：在不计动能和其他能量的消耗时，应力在AD和BC边上所作的功为：式中，一、单位体积的应变能弹性应变能函数第二十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期日2.三向应力状态：由广义胡克定律可知：

称为应变能函数，因此，弹性变形能又称为弹性势。弹性应变能函数第二十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期日右侧两式成立:应变能对任一应变分量的改变率等于相应的应力分量，而对于任一应力分量的改变率就等于对应的应变分量。二、弹性应变能1.性质弹性应变能为正定的势函数，系统的总应变能密度是一个不变量，与坐标选择无关弹性应变能函数第二十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期日不会引起单元体的形状改变。体变能：由于体积变化所储存在单位体积内的应变能2.体变能体积变化弹性应变能函数第二十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期日单元体的形状改变3.畸变能弹性应变能函数第二十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期日屈服函数与应力空间第二十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期日因此，不同的内力组合，其屈服条件也不同。一、屈服函数简单的单向拉伸实验可以确定屈服应力。复杂应力状态下，不同的内力组合产生的应力状态也不同。实验数目巨大求出屈服条件的解析式在实验的基础上建立屈服条件的理论。屈服函数与应力空间第三十页，共七十二页，编辑于2023年，星期日以三个主应力轴为坐标，屈服函数可写为：屈服函数:屈服条件与应力状态有关，因此六维应力空间：以六个应力矢量所构成的抽象空间。上式表示一个在六维应力空间内的超曲面。该空间内的任一点都表示一个屈服应力状态，因此又称为屈服面。球张量不影响材料的屈服，因此，屈服函数又可写为：屈服函数可化为应力偏量的函数，并在主应力空间内讨论。屈服函数与应力空间第三十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期日直线On：On对应于球形应力状态（静水压力状态），应力偏量为零。平面：对应于应力偏量分量过坐标原点与坐标面等倾的平面二、屈服曲线的性质与On正交的平面：r表示沿On线方向由坐标原点到该平面的距离。1.屈服曲线屈服函数与应力空间第三十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期日P点和P1点的应力偏量相同静水压力应力偏量On和平面构成一坐标系：静水压力应力偏量分量过P点平行于On的线上的所有点都具有相同的应力偏量。空间变为平面屈服曲线是平面上的一条封闭曲线屈服面是以On为轴线，以屈服曲线为截面形状的一个与坐标轴成等倾角的柱体表面。只要确定了屈服曲线，就完全确定了屈服面。屈服函数与应力空间第三十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期日2.屈服曲线的性质屈服曲线是一条封闭曲线，而且坐标原点被包围在内。屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。屈服函数与应力空间第三十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期日常用的屈服条件第三十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期日一、最大剪应力条件

最大剪应力达到某一数值时，材料就发生屈服。材料的剪切屈服应力设，在单向应力状态时应力按从大到小排列，三向应力状态时：纯剪屈服应力是简单拉伸屈服应力之半。材料力学中，最大剪应力屈服条件称为第三强度理论。常用的屈服条件最大剪应力条件Tresca（1864）提出：对大多数材料，只能近似成立第三十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期日若主应力不按大小排序，则下面6个条件中的任意一个成立时，材料就开始屈服：最大剪应力条件（特雷斯卡Tresca条件）：以上式子中有一个成立，材料就开始屈服。常用的屈服条件第三十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期日二维应力状态屈服六边形常用的屈服条件第三十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期日二、畸变能条件与物体中一点的应力状态对应的畸变能达到某一数值时，该点便屈服。畸变能：畸变能条件（Mises条件）：表征材料屈服特征的参数(4-25)一般应力状态：主应力状态：常用的屈服条件第三十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期日单向拉伸时（拉伸实验）：k值的测定：纯剪切应力状态时（薄管扭转实验）：纯剪切屈服应力是简单拉伸屈服应力的倍。常用的屈服条件第四十页，共七十二页，编辑于2023年，星期日三维应力状态的畸变能条件（米泽斯条件）：二维应力状态的畸变能条件：材料力学中的第四强度理论或常用的屈服条件第四十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期日最大剪应力条件较简便，但由于忽略了中间主应力对屈服的影响，在某些情况下不够精确。畸变能条件比最大剪应力条件更接近于实验结果。两种常用屈服条件的比较：畸变能条件：最大剪应力屈服条件:常用的屈服条件第四十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期日三、混凝土材料的屈服条件屈服极限（脆性材料）：最大剪应力条件实验表明，混凝土的屈服条件的图形与最大剪应力条件相似，两者的区别是受压和受拉屈服应力值不同。混凝土实验曲线常用的屈服条件第四十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期日莫尔—库仑条件：令分别为材料简单拉伸与压缩的屈服应力，则屈服条件为：常用的屈服条件第四十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期日四、岩土的屈服条件德鲁克—普拉格条件：其中，c和

分别表示材料的粘性系数和内摩擦角。米泽斯条件常用的屈服条件第四十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期日习题4-3给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件（1）受内压作用的封闭长薄管。Mises屈服条件为：Tresca屈服条件为：第四十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期日例4-1常用的屈服条件第四十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期日常用的屈服条件第四十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期日增量理论第四十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期日塑性本构关系比弹性本构关系复杂得多，它不仅仅跟瞬时应力和应变有关，而且与应力历史有关，同时还与屈服条件密切相关。塑性应力应变关系的特点：非线性和不唯一性拉伸试验应力—应变曲线应力空间中，应力点移动的轨迹称为应力路径，这一过程称为应力历史。一点处的应力进入塑性状态后，应变可分为两部分：弹性阶段：应变可由应力直接用胡克定律求出。塑性阶段：应变是应力和应力历史的函数。塑性本构关系本质上是增量关系。增量理论第五十页，共七十二页，编辑于2023年，星期日一、塑性应变增量塑性变形仅由应力偏量引起应变偏量增量的分量为：改变弹性体积产生畸变，体积不变增量理论第五十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期日应变偏量增量的分量：将广义胡克定律代入上式弹性阶段：增量理论第五十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期日在弹性阶段，应力偏量增量与应变偏量增量成比例，比例常数为2G。塑性阶段，塑性应变增量为：张量记法：增量理论第五十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期日二、增量理论的本构方程假定：在塑性变形中的任一微小时间增量内，塑性应变增量与瞬时应力偏量成正比：即dλ为非负的标量比例系数，且可根据加载历史的不同而变化。（4-65）将（4-65）式代入（4-63）式，可得上式称为普朗特—雷斯方程。塑性应变增量依赖于该瞬时的应力偏量，而不是达到该状态所需的应力增量。应力主轴与塑性应变增量主轴重合本构关系增量理论第五十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期日dλ的确定：由（4-65）式有上式中第一式减第二式得：（4-67）增量理论第五十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期日两边平方后，得：类似地，求出上式可化为于是得：米泽斯屈服条件增量理论第五十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期日定义有效应力（应力强度）和有效塑性应变增量（塑性应变强度增量）为则增量理论第五十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期日将代入（4-67）得或普朗特—雷斯方程的另一种形式，与米泽斯条件相关的本构关系。增量理论第五十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期日若忽略弹性应变部分，总的应变增量即为塑性应变增量：莱维—米泽斯方程弹性与塑性本构关系的比较：区别：胡克定律为全量关系，塑性本构方程为增量关系。但两者的形式是类似的，只需将不可压缩非线性及对加载路线的依赖性增量理论第五十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期日全量理论第六十页，共七十二页，编辑于2023年，星期日增量理论建立了塑性应变增量与应力偏量之间的关系。但如果知道了应力变化的历史（加载路径），则可通过积分得出应力和应变全量的关系。全量理论（形变理论）企图直接建立用应力和应变终值（全量）表示与加载路径无关的塑性本构关系。一般情况下，塑性应变与加载路线相关，所以，全量理论一般来说是不正确的，仅在一些特殊情况（如：比例加载）下才是可能的。例如：对于一个受简单拉伸的杆件来说，若始终没有卸载，应力和应变之间就存在一一对应关系，这相当于一个非线性弹性力学问题。全量理论第六十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期日一、比例加载在加载过程中，任一点的各应力分量都按比例增长。为t0时刻的任一非零的参考应力状态（定值），k为单调增长的时间函数，则(4-79)增量理论（4-76）可以表示为：（4-80）等式两边积分可得：（4-81）二、全量理论全量理论第六十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期日由此有：展开为：亨基—伊留申方程（全量理论的本构方程）全量理论第六十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期日（4-83）实质是物理非线性弹性理论的本构关系，把它用于弹塑性过程时，必须保证物体内各点的应力都处于比例加载过程。卸载时应力分量的改变量与应变分量的改变量服从广义胡克定律，不满足全量理论的本构关系。拉伸试验应力—应变曲线使用全量理论的充分条件是简单加载定理成立全量理论第六十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期日在以下条件下，物体内各点都处于同一简单加载过程：材料是不可压缩的；有效应力与有效应变之间有幂函数关系；外载荷按