人教版八年级数学下册《平行四边形》解答题 期末专题复习(含答案)

人教版八年级数学下册《平行四边形》解答题期末专题复习1.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F.(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)如图，若∠1＝65°，求∠B的大小.2.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．(1)试说明：AB＝CF；(2)连接DE，若AD＝2AB.试说明：DE⊥AF．3.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边作▱CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G.连结BG，DE.(1)∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；(2)求证：△BCG≌△DCE.4.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF.求证：四边形ADCF是平行四边形．5.在平行四边形ABCD中，已知E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DG，∠BFE＝∠DHG.求证：(1)△BEF≌△DGH；(2)四边形EFGH为平行四边形.6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长.7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且AC＝2DE，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．8.如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB;(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.9.如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.(1)求证：△AEH≌△CGF；(2)求证：四边形EFGH是菱形.10.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作与DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、E，连接EC.(1)求证：AD＝EC；(2)当△ABC满足时，四边形ADCE是菱形.11.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．(1)求证：四边形ABEF为菱形；(2)AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．12.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE；(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积.13.如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.14.在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若DE＝eq\f(1,2)BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．15.如图，已知▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O.(1)求证：BE⊥CF；(2)试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；(3)当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？(直接写出答案)16.已知：在正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.求证：(1)△ADE≌△BAF；(2)AF＝BF＋EF.17.已知正方形ABCD，E、F分别为边BC、CD上的点，DE＝AF.求证：AF⊥DE.18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF.(1)求证：四边形BDCF是菱形；(2)当Rt△ABC中的边或角满足什么条件时？四边形BDCF是正方形，请说明理由.19.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．20.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长.21.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积.22.如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：EO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论.(3)在(2)问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求△ABC的面积.23.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.(1)求证：四边形AFHG为正方形；(2)若BD＝6，CD＝4，求AB的长.24.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．25.(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积.26.下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．(提示：取AB的中点G，连接EG．)(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；(2)如图1，若点E是BC边上任意一点(不与B、C重合)，其他条件不变．求证：AE＝EF；(3)在(2)的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设BE＝kBC,当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．

答案1.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠1＝∠ECB.∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠ECB，∴∠AFB＝∠1.在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE(AAS)；(2)解：由(1)得∠1＝∠ECB.∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，∴∠1＝∠DCE＝65°，∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°.2.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABE＝∠FCE，∵E为BC中点，∴BE＝CE，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE(ASA)，∴AB＝FC；(2)∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD，∴AD＝DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE＝EF，∴DE⊥AF．3.解：(1)∠ACB＝∠GCD.理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵CG∥AB，∴∠ABC＝∠GCD，∴∠ACB＝∠GCD.(2)证明：∵四边形CDFE是平行四边形，∴EF∥CD，∴∠ACB＝∠GEC，∠EGC＝∠GCD.∵∠ACB＝∠GCD，∴∠GEC＝∠EGC，∴EC＝GC.∵∠GCD＝∠ACB，∴∠GCB＝∠ECD.∵BC＝DC，∴△BCG≌△DCE.4.证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD．在△AEF和△DEB中∵，∴△AEF≌△DEB(AAS)．∴AF＝BD．∴AF＝DC．又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形．5.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.在△BEF和△DGH中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BFE＝∠DHG，,∠B＝∠D，,BE＝DG，))∴△BEF≌△DGH(AAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠A＝∠C.由(1)得△BEF≌△DGH，∴BF＝DH，EF＝GH.又∵BE＝DG，∴AH＝CF，AE＝CG.在△AEH和△CGF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CG，,∠A＝∠C，,AH＝CF，))∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH＝GF.又∵EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形.6.(1)证明：∵DE＝OC，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.(2)解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝4，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝2eq\r(3)，∴在△ACE中，AE＝2eq\r(7).7.证明：(1)四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝eq\f(1,2)AC，AD＝CD，∵DE∥AC且DE＝eq\f(1,2)AC，∴DE＝OA＝OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∴OE＝AD，∴OE＝CD；(2)解：∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝eq\r(3)．∴在Rt△ACE中，AE＝eq\r(7)．8.证明：(1)证明：∵△ABC绕A点旋转得到△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠EAC＝∠DAB.又AB＝AC，∴AE＝AD，∴△AEC≌△ADB.(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，又由旋转知AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△BAD是等腰直角三角形.∴BD2＝AB2＋AD2＝22＋22＝8，∴BD＝2eq\r(2).∵四边形ADFC是菱形，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD﹣DF＝2eq\r(2)﹣2.9.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF(SAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF.∴△BEF≌△DGH.∴EF＝HG.又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF.∴四边形HEFG为平行四边形.∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE.∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴四边形EFGH是菱形.10.证明：(1)∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，且AE＝BD又∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝EC；(2)∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形.故答案为∠BAC＝90°.11.证明：(1)由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形；(2)解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO＝eq\f(1,2)FB＝3，AE＝2AO，在Rt△AOB中，AO＝4，∴AE＝2AO＝8．12.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD.又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形.∴BE＝AC.∴BD＝BE.(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝BO＝OD＝4，即BD＝8.∵∠DBC＝30°，∴∠ABO＝90°﹣30°＝60°.∴△ABO是等边三角形，即AB＝OB＝4，于是AB＝DC＝CE＝4.在Rt△DBC中，DC＝4，BD＝8，BC＝4eq\r(3).∵AB∥DE，AD与BE不平行，∴四边形ABED的面积＝eq\f(1,2)(AB＋DE)·BC＝eq\f(1,2)(4＋4＋4)·4eq\r(3)＝24eq\r(3).13.(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD，∴D是BC的中点；(2)若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形.理由如下：∵△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形.14.（1）证明：∵CE∥BF，∴∠CED＝∠BFD，∵D是BC边的中点，∴BD＝DC，在△BDF和△CDE中∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDE∴△BDF≌△CDE（AAS）；（2）四边形BFCE是矩形，证明：∵△BDF≌△CDE，∴DE＝DF，∵BD＝DC，∴四边形BFCE是平行四边形，∵BD＝CD，DE＝eq\f(1,2)BC，∴BD＝DC＝DE，∴∠BEC＝90°，∴平行四边形BFCE是矩形．15.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠ABC＋∠BCD＝180°又∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线∴∠EBC＋∠FCB＝90°∴∠BOC＝90°故BE⊥CF(2)解：AF＝DE理由如下：∵AD∥BC∴∠AEB＝∠CBE又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE∴∠AEB＝∠ABE∴AB＝AE同理CD＝DF又∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD∴AE＝DF∴AF＝DE(3)当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形.16.解：(1)由正方形的性质可知：AD＝AB，∵∠BAF＋∠ABF＝∠BAF＋∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ADE与△BAF中，∴△ADE≌△BAF(AAS)(2)由(1)可知：BF＝AE，∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF17.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，在Rt△ADF与Rt△DCE中，AF＝DE，AD＝CD，∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL)∴∠DAF＝∠EDC设AF与ED交于点G，∴∠DGF＝∠DAF＋∠ADE＝∠EDC＋∠ADE＝∠ADC＝90°∴AF⊥DE.18.证明：(1)∵CF∥AB∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，且CE＝DE∴△CEF≌△DEA(AAS)∴CF＝AD，∵CD是Rt△ABC的中线∴CD＝AD＝BD∴CF＝BD，且CF∥AB∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD∴四边形BDCF是菱形(2)当AC＝BC时，四边形BDCF是正方形，理由如下：∵AC＝BC，CD是中线∴CD⊥AB，且四边形BDCF是菱形∴四边形BDCF是正方形.19.(1)证明：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°.在等边△ABD中，∵∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°，∴BC∥AD.∵E为AB的中点，∴CE＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(1,2)AB，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠EBC＝60°，∴∠BEC＝∠AEF，∴∠AFE＝∠D＝60°，∴FC∥BD，∴四边形BCFD是平行四边形．(2)解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝3，AC＝eq\r(3)BC＝3eq\r(3)，∴S平行四边形BCFD＝3×3eq\r(3)＝9eq\r(3).20.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，∵在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO(AAS)，∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形.(2)解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2＋AB2即x2＝(8﹣x)2＋42，解得：x＝5，所以MD长为5.21.证明：(1)由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，∵∠FDE＝90°，∴22＋(6﹣x)2＝x2，解得，x＝eq\f(10,3)，∴CE＝eq\f(10,3)，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝eq\f(10,3)×2＝eq\f(20,3).22.证明：(1)∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO，同理：FO＝CO，∴EO＝FO；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：由(1)得：EO＝FO，又∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∴四边形CEAF是平行四边形，∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO，∴EF＝AC，∴四边形CEAF是矩形；(3)解：由(2)得：四边形CEAF是矩形，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝5，△ACE的面积＝eq\f(1,2)AE×EC＝eq\f(1,2)×3×4＝6，∵122＋52＝132，即AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴△ABC的面积＝eq\f(1,2)AB•AC＝eq\f(1,2)×12×5＝30.23.证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°；由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°；∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°；∴四边形AFHG是正方形，解：(2)∵四边形AFHG是正方形，∴∠BHC＝90°，又GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4；设AD的长为x，则BH＝GH﹣GB＝x﹣6，CH＝HF﹣CF＝x﹣4.在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴(x﹣6)2＋(x﹣4)2＝102，解得x1＝12，x2＝﹣2(不合题意，舍去)，∴AD＝12，∴AB＝6eq\r(5).24.解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M，∵BD是∠ABC的平分线，∴OE＝OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE＝OF，∴OF＝OM，∵OM⊥AB，OF⊥AD，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；(2)∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(52＋122)＝13，设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝12，,y＋z＝13，,x＋z＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝10，,z＝3，))∴OE＝CE＝CF＝2.25.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，