2021年广东省潮州市凤塘中学高三数学理月考试题含解析

2021年广东省潮州市凤塘中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线y=kx﹣4，k＞0与抛物线y2=2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，若AB=2BC，则k=（） A． B． C．2

D．参考答案：A【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及相似三角形的性质，即可求得x1，x2，由x1x2=，代入计算即可求得k的值． 【解答】解：如图，过AB两点作抛物线的准线抛物线的准线的垂线，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，整理得：k2x2﹣（8k+2）x+16=0， 则x1+x2=，x1x2=， 显然△CB′B∽△CA′A，则==， 由抛物线的定义得：==， ∴=，整理得：4x2=（x1+x2）﹣， ∴x2=﹣， 则x1=+，由x1x2=，则（+）（﹣）=，由k＞，0解得：k=， 或将选项一一代入验证，只有A成立， 故选：A． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，相似三角形的性质，计算量大，计算过程复杂，考查数形结合思想，属于中档题． 2.参考答案：C3.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为()参考答案：C4.“sinα=cosα”是“sin2α=1”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C5.已知log7[log3（log2x）]＝0，那么

等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7参考答案：B【分析】由事件的关系，可列式求解.【详解】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则因为所以故选B.【点睛】本题主要考查了事件的基本关系，属于基础题.7.点P是双曲线2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为 （

） A． B． C． D．参考答案：A8..已知集合，，则A∩B=（

）A.[2,3] B.(1,5) C.{2,3} D.{2,3,4}参考答案：C【分析】解不等式简化集合的表示，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.【详解】，，又，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.9.已知A，B，C，D，E为抛物线上不同的五点，抛物线焦点为F，满足，则A

5

B

10

C

D

参考答案：B10.函数的反函数是（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数满足，当时，的值为

．参考答案：12.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若抛物线在点处的切线斜率为1，则线段

．参考答案：1设，因为，所以，，可得，因为，所以直线的方程为，故.13.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为．参考答案：24考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直以及点P在椭圆上，求出点P的纵坐标，从而计算出△PF1F2的面积．解答：解：由题意得a=7，b=2，∴c=5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则由题意得

=﹣1，+=1，∴n2=，n=±，则△PF1F2的面积为

×2c×|n|=×10×=24，故答案为：24．点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题14.在三棱锥S-ABC中，，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是．参考答案：解：如图所示，取的中点，连接，．设为的中心，为三棱锥外接球的球心．连接，，．取的中点，连接．则为棱锥外接球的半径．为矩形．．三棱锥外接球的表面积．故答案为：．15.已知数列中，则_____________。参考答案：16.若ΔABC的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于

。参考答案：略17.若函数的最小值为－1，则的取值范围为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

（12分）在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=a，BC=DE=2a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）若为中点，求证：平面.（2）求二面角A-PD-E的正弦值；（3）求点C到平面PDE的距离.

参考答案：解析：（1）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，为中点，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面PDE

……………（4分）（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝a∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴二面角A-PD-E的正弦值为．

…………..(8分)（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,

BC=DE=2a,AB=AE=4a,取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中，PA=AE=4a，F为AE中点，FG⊥PE，

∴FG=a．∴点C到平面PDE的距离为a．（或用等体积法求）…………（12分）

19.（本小题满分10分）若存在n个不同的正整数，对任意，都有，则称这n个不同的正整数，为“n个好数”（1） 请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）

证明：对任意正整数，均存在“n个好数”参考答案：20.（本小题满分16分）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（Ⅰ）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．参考答案：解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为．

…………1分由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为．

…………4分或

…………7分∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴,又∵抛物线开口向下，∴a＜0,从而b＞0,故有

∴抛物线的解析式为．

…………10分（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时，即时，，

…………14分∴此时运动员距水面的高为10－＝＜5，因此，此次跳水会失误。

……16分21.某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加一个座谈会．（I）求数学小组的甲同学没有被选中、自然小组的乙同学被选中的概率；（II）求数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中的概率．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，通过列举得到实验的所有事件，而满足条件的事件是甲同学没有选中、自然小组的乙同学被选中，根据写出的所有结果数出满足条件的事件数．（2）由题意知本题是一个古典概型，通过列举得到实验的所有事件，而满足条件的事件是数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中的对立事件是“数学组的甲同学、自然小组的乙同学都被选中”，根据对立事件公式得到结果．解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，我们把数学小组的三位成员记作S1，S2，S3，自然小组的三位成员记作Z1，Z2，Z3，人文小组的三位成员记作R1，R2，R3，则基本事件是（S1，Z1，R1），（S1，Z1，R2），（S1，Z1，R3），（S1，Z2，R1），（S1，Z2，R2），（S1，Z2，R3），（S1，Z3，R1），（S1，Z3，R2），（S1，Z3，R3），然后把这9个基本事件中S1换成S2，S3又各得9个基本事件，故基本事件的总数是27个．以S1表示数学组中的甲同学、Z2表示自然小组的乙同学；（I）甲同学没有选中、自然小组的乙同学被选中所含有的基本事件是上述基本事件中不含S1、含有Z2的基本事件，即（S2，Z2，R1），（S2，Z2，R2），（S2，Z2，R3），（S3，Z2，R1），（S3，Z2，R2），（S3，Z2，R3）共6个基本事件，故所求的概率为；（II）“数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中”的对立事件是“数学组的甲同学、自然小组的乙同学都被选中”，这个事件所包含的基本事件是（S1，Z2，R1），（S1，Z2，R2），（S1，Z2，R3），共3个基本事件，这个事件的概率是．根据对立事件的概率计算方法，所求的概率是．点评：本题严格按照大纲的要求来解古典概型的问题，即用列举法写出试验发生时的所有事件数和满足条件的事件数，是一个典型的问题，本题容易出错．22.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）若，求证：对于任意，.参考答案：（1），（2）见解析【分析】（1）根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为