广东省河源市南湖中学2022年高三数学理联考试题含解析

广东省河源市南湖中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是等差数列的前项和，已知，，则A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.数列{an}满足，，则（

）A． B． C． D．

参考答案：D由题意，数列满足，即所以，则所以，故选D.

3.设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（））处的切线与直线x﹣2y+3=0平行，若an=n2+bn，则数列{}的前2014项和S2014的值为（） A． B． C． D． 参考答案：D4.已知，则下列结论错误的是 A. B. C. D.参考答案：C5.定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称数x1，x2为[a，b]上的“对望数”，函数f（x）为[a，b]上的“对望函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+m是[0．m]上的“对望函数”，则实数m的取值范围是(

) A．（1，） B．（，3） C．（1，2）∪（2，3） D．（1，）∪（，3）参考答案：B考点：导数的运算；二次函数的性质．专题：导数的综合应用．分析：由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=m2﹣m，即方程x2﹣2x=m2﹣m在区间[0，m]有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围解答： 解：由题意可知，在区间[0，m]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），满足f′（x1）==m2﹣m，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=x2﹣2x，∴方程x2﹣2x=m2﹣m在区间[0，m]有两个解．令g（x）=x2﹣2x﹣m2+m，（0＜x＜m）．则，解得＜a＜3，∴实数a的取值范围是（，3）．故选：B．点评：本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用．解题时首先求出函数f（x）的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数m所满足的条件，解之即得所求．属于中档题．6.中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.7.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）．A．

B．

C．

D．

参考答案：B第一步：，第二步：，输出．故选B

8.（理）数列{an}中，已知S1=1，S2=2，且Sn+1－3Sn+2Sn－1=0(，n∈N*)，则此数列为 （

） A．等差数列

B．等比数列

C．从第二项起为等差数列

D．从第二项起为等比数列参考答案：D9.函数f(x)＝(x－2010)(x＋2011)的图像与x轴、y轴有三个交点，有一个圆恰好

通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是A．(0,1)

B．(0,)

C．(0,)

D．(0，)参考答案：A由题意得，函数f(x)的图像与两条坐标轴的交点分别是A(－2011,0)、B(2010,0)、C(0，－2010×2011)，设经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点坐标是D(0，y0)，其中y0>0，结合图形易知原点O位于经过点A，B，C的圆的内部，因此由相交弦定理得|OA|·|OB|＝|OC|·|OD|,2011×2010＝2011×2010y0，所以y0＝1，即经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点坐标是D(0,1)，选A.10.已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值．【解答】解：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，则a2=3，即双曲线方程为，设P（m，n）（n≥），则n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1，则=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣，因为n≥，故当n=时取得最小值，最小值为3﹣2，故选：A．【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如右图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB,AD=DC=2,AB=3,点是梯形内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，则的最大值是________.参考答案：612.（几何证明选讲选做题）如图2，圆的直径，直线与圆相切于点，于点D，若，设，则______．

参考答案：

13.设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为．参考答案：7【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14.已知点P(2,2)在曲线y＝ax3＋bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，则函数f(x)＝ax3＋bx，x∈的值域为________．

参考答案：15.某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为

.

参考答案：400略16.12．在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________．参考答案：217.,,若对应点在第二象限,则m的取值范围为

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．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知数列的前项和．（Ⅰ）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，，∴；

………………2分

当时，，两式相减得：，即，又.∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列.

………………4分∴

，故.

………………6分（Ⅱ）∵，∴

原问题等价于对任意恒成立.

………………7分令，则，∴当时，，∴当时，，∴当时，.……10分∴，故.

………………12分略24、已知函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若对恒成立,求实数a的取值范围.参考答案：20.(本小题满分10分)已知数列满足：（1）求证：是等差数列；（2）对一切正整数，设，求数列的前项和参考答案：（Ⅰ）,∴…2分又∵,∴.…………3分∴数列是以1为首项，0为公差的等差数列.…………5分

(Ⅱ)由（Ⅰ）得，.…………7分,………9分∴，.…………10分21.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，已知PA与圆相切，A为切点，PBC为割线，弦相交于E点，F为CE上一点，且.（1）求证：；（2）求证：.参考答案：22.已知椭圆C：（）的右焦点为F(2,0)，且过点P(2，).直线过点F且交椭圆C于A、B两点。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（），求直线的方程.参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，则，解得，，所以椭圆C的方程为，….5分（Ⅱ）当斜率不存在时,不符合题意,………………6分当斜率存在时设直线l的方程为y=k(x-2)，A(x1,y1)、B(x