2021年北京顺义区南法信中学 高三数学理期末试题含解析VIP

2021年北京顺义区南法信中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设实数满足条件那么的最大值为A．－3

B．－2

C．1

D．2参考答案：C2.已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足,,则动点的轨迹一定通过的。(A)内心

(B)垂心

(C)重心

(D)外心参考答案：D3.已知函数f（x）=ax3﹣x2+1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣2） C．（，+∞） D．（，+∞）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】通过讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，结合函数的单调性从而确定a的范围即可．【解答】解：当a=0得，函数有两个零点，不合题意；当a≠0时，f'（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1），由f'（x）=0，得，①若a＜0，则，由f'（x）＜0得或x＞0；由f'（x）＞0得，故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，又f（0）=1，故函数f（x）存在零点x0＞0，如图12﹣1，此情况不合题意；②若a＞0，则，由f'（x）＜0得；由f'（x）＞0得x＜0或，故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，如图12﹣2，要使函数f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则必须满足，由得．故选：D．4.已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）A．10B．﹣10C．6

D．﹣6参考答案：D分析： 根据约束条件，作出平面区域，平移直线2x+4y=0，推出表达式取得最小值时的点的坐标，求出最小值．解答： 解：作出不等式组，所表示的平面区域作出直线2x+4y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点C（3，﹣3）时z取得最小值﹣6；故选D．点评： 本题主要考查线性规划中的最值问题，属于中档题，考查学生的作图能力，计算能力，在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．5.已知双曲线（，）的一个焦点为F(0,－2)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．参考答案：C由题意得c=2,,且，所以，双曲线方程为，选C.

6.若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（

）A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线参考答案：【标准答案】:D【试题分析】:把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。【高考考点】:二次曲线（圆锥曲线）的定义。【易错提醒】:没有转化的意识【备考提示】:基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。7.由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．8.下列说法中正确的是（

）A．“”是“”必要条件B．命题“，”的否定是“，”C．，使函数是奇函数D．设，是简单命题，若是真命题，则也是真命题参考答案：BA．“”应该是“”充分条件.故A错.9.是虚数单位，A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.已知等比数列前项和为()A．10 B．20 C．30 D．40参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设都是定义在R上的函数，且在数列中，任取前k项相加，则前k项和大于的概率为

参考答案：略12.已知，则满足不等式的实数的最小值是

．参考答案：1略13.设，定义为不小于实数的最小整数（如，），若，则满足的实数的取值范围是__________；若，则方程的根为__________．参考答案：；∵，∴，故，设，则，，∴原方程等价于，即，从而，∴或，相应的为，，故所有实根之和为．14.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n﹣1（n∈N+）．若不等式≤对任意的n∈N+恒成立，则实数λ的最大值为

．参考答案：考点： 等差数列的性质．专题： 等差数列与等比数列．分析： 在已知递推式中分别取n=1，2，联立方程组求得首项和公差，求出等差数列的通项公式，进一步得到an+1，代入不等式≤后分n为偶数和奇数变形，分离参数λ后分别利用基本不等式求最值和函数单调性求最值，取交集后得到λ的取值范围，则λ的最大值可求．解答： 解：在an2=S2n﹣1中，令n=1，n=2，得，即，解得a1=1，d=2，∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，an+1=2n+1．①当n为偶数时，要使不等式≤恒成立，即需不等式恒成立，∵，等号在n=2时取得，∴此时λ需满足λ≤25；②当n为奇数时，要使不等式≤恒成立，即需不等式恒成立，∵随n的增大而增大，∴n=1时，取得最小值﹣6．则λ≤﹣6﹣15=﹣21．综合①、②可得λ的取值范围是λ≤﹣21．∴实数λ的最大值为﹣21．故答案为：﹣21．点评： 本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，训练了利用基本不等式和函数单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．15.函数的定义域是(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：C略16.

_参考答案：17.如图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,，则

.参考答案：4

∵A、B、C、D共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵=,∴∠DAC=∠DBC.而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD=.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(Ⅰ)当时,求函数的单调增区间；(Ⅱ)求函数在区间上的最小值；(III)在(Ⅰ)的条件下，设,证明：.参考数据：.参考答案：略19.某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：x2=P（x2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据分层抽样，求得样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40人，由频率分布直方图日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有3人，25周岁以下组有2人，随机抽取2人，求得所有可能的结果，根据古典概型公式求得至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（2）据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2≈1.786＜2.706，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．【解答】解：（1）由已知得：样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40人，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有60×0.05=3人，分别记为：A1，A2，A3，25周岁以下组有工人40×0.05=2人，分别记为B1，B2，从中随机抽取2人，所有可能的结果共10种，他们分别是（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B2），（A3，B2），（B1，B2），其中“至少有1名”，25周岁以下组的结果有7种，故所求概率为P=；（2）由频率分别直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15人，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15人，据此可得2×2列联表：

生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以K2=≈1.786＜2.706．所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．【点评】本题考查根据频率分布直方图的应用，考查独立性检验的概率情况，以及随机分布的概率的计算，考查运算能力，属于中档题．20.函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．参考答案：【考点】49：指数函数的图象与性质．【分析】当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，由f（2）﹣f（1）=，解得a的值．当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，由f（1）﹣f（2）=，解得a的值，综合可得结论．【解答】解：由题意可得，当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，f（2）﹣f（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=．当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．综上可得，a=，或a=．21.（本小题满分12分）已知函数=alnx+x2+bx+1在点(1,f(1))处的切线方程为4x?y?12=0。（1）求函数的解析式；（2）求的单调区间和极值。参考答案：(1)；(2)在区间和单调递增，在区间单调递减,.试题分析：(1)求函数的导数，由列出方程