一元二次方程解题常见误区

一元二次方程解题常见误区误区之一：对一元二次方程的定义的理解错例L已知方程（冽—°”a+'网+4二口是一元二次方程，则m=。错解：要让（想一1"网”十至"十4二口是一元二次方程，则未知数X的系数m2+1=2,解得m=±1。分析：判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉．造成这个错误的原因主要是学生将注意力集中在“一元二次方程的最高次数为2”上（耀3+1=2）,而忽略了二次项系数不为0。正解：要让（即-1）犬+1+*困+4=口是一元二次方程，则未知数X的系数m2+1=2,同时二次项系数m—1≠0,解得m=±1,m=—1。所以这里的m=一1。误区之二：对一元二次方程的一般形式的错误理解例2.方程1-尸=取的一次项的系数是 .错解：方程1一犬=5x的一次项是5x,因此一次项系数为5。分析：在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时,一定要将一元二次方程化为一般形式.这里的错误是没有把一元二次方程化为一般形式.正解：将一元二次方程方程1—尸=3x化为一般形式一X2—5x+1=0或者x2+5x—1=0。因此方程1—"=5x的一次项是5或一5。误区之三：解形如“公二K”的方程时出现漏解现象例3.解方程：（x—1）2=2（x—1）错解：原方程两边都除以（x—1）得到：x—1=2,解得：x=3。分析：在解形如“/二五”的方程时，千万不能在方程左右两边都除以k,否则会造成方程漏解的情况。正确地解法是化为一般式或者应用其他方法进行解答。正解：原方程即（x—1）2—2（x—1）=0,即（x—1）（x—3）=0.∙. （x—1）=0或（x—3）=0.∙.x1=1,x2=3误区之四：忽略一元二次方程实际应用中的增根例4.据报道,我国农作物秸杆的资源巨大,但合理利用量十分有限,2008年的利用率只有30%,大部分秸杆被直接焚烧了,假定我国每年产出的农作物秸杆总量不变,且合理利用量的增长率相同，要使2010年的利用率提高到60%,求每年的增长率。（取J2≈1.41）错解：设我国每年产出的农作物秸杆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得：30%a（1+x）2=60%a，即（1+x）2=2Λx1≈0.41,x2≈-2.41。即我国每年秸秆合理利用量的增长率约为41%或者—241％。分析：在用一元二次方程解决有关实际问题时,一元二次方程的两个解,一定要会判断检验其是否符合实际意义,不能想当然地认为只要是解都有意义。正解：设我国每年产出的农作物秸杆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得：30%a（1+x）2=60%a，即（1+x）2=2∙∙∙x1≈0.41,x2≈-2.41（不合题意舍去）。∙∙∙x≈0.41. 即我国每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。例5．今年4月18日,我国铁路实现了第六次大提速,这给旅客的出行带来了更大的方便．例如,京沪线全长约1500公里,第六次提速后,特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用17小时.已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第8五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少．错解：根据行程问题的等量关系,不难发现本例的等量关系是：第五次提速后特快列车7运行全程所用时间一第六次提速后特快列车运行全程所用时间=1-小时.8设第五次提速后的平均速度是1公里/时，则第六次提速后的平均速度是（%+40）公里/时．根据题意,得1500_150015% %+408.去分母,整理得12+401—32000=0．解得%1=160,%2=—200．%1+40=200,%2+40=—160所以第五次提速后的平均时速为160公里/时或者－200公里/时，第六次提速后的平均时速为200公里/时或者－160公里/时．分析：速度不应该出现负值，因此速度的负值应该舍去。正解：设第五次提速后的平均速度是1公里/时，则第六次提速后的平均速度是（%+40）公里/时．根据题意，得1500 150015 - =—.% %+408去分母，整理得12+401－32000=0．解得%1=160，%2=－200．经检验，％1=160,%2