反常积分的概念演示文稿

反常积分的概念演示文稿本文档共20页；当前第1页；编辑于星期一\13点45分（优选）反常积分的概念本文档共20页；当前第2页；编辑于星期一\13点45分二、两类反常积分的定义第一节一、问题的提出反常积分的概念

第八章本文档共20页；当前第3页；编辑于星期一\13点45分一、问题的提出引例1.

曲线和直线及

x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为本文档共20页；当前第4页；编辑于星期一\13点45分引例2:曲线所围成的与

x轴,y

轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为本文档共20页；当前第5页；编辑于星期一\13点45分定义1.

设若存在,则称此极限为

f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛

;如果上述极限不存在,就称反常积分发散

.类似地,若则定义二、两类反常积分的定义本文档共20页；当前第6页；编辑于星期一\13点45分则定义(c

为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:

上述定义中若出现它表明该反常积分发散.本文档共20页；当前第7页；编辑于星期一\13点45分引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:本文档共20页；当前第8页；编辑于星期一\13点45分例1.

计算反常积分解:思考:分析:原积分发散!注意:

对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.本文档共20页；当前第9页；编辑于星期一\13点45分例2.

证明第一类p

积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1

时发散.因此,当p>1

时,反常积分收敛,其值为当p≤1

时,反常积分发散.本文档共20页；当前第10页；编辑于星期一\13点45分例3.

计算反常积分解:本文档共20页；当前第11页；编辑于星期一\13点45分定义2.

设而在点a

的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b

的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,则定义则称此极限为函记作本文档共20页；当前第12页；编辑于星期一\13点45分若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点

c

的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义本文档共20页；当前第13页；编辑于星期一\13点45分注意:

若瑕点计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若

b

为瑕点,则若a

为瑕点,则若a,b

都为瑕点,则则可相消吗?本文档共20页；当前第14页；编辑于星期一\13点45分下述解法是否正确:,∴积分收敛例4.

计算反常积分解:

显然瑕点为

a,所以原式例5.

讨论反常积分的收敛性.解:所以反常积分发散.本文档共20页；当前第15页；编辑于星期一\13点45分例6.证明反常积分证:当

q=1时,当

q<1时收敛;q≥1时发散.当

q≠1时所以当

q<1

时,该广义积分收敛,其值为当

q

≥1

时,该广义积分发散

.本文档共20页；当前第16页；编辑于星期一\13点45分例7.解：求的无穷间断点,故I为反常积分.本文档共20页；当前第17页；编辑于星期一\13点45分内容小结1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的反常积分本文档共20页；当前第18页；编辑于星期一\13点45分说明:(1)

有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)

当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.本文档共20页；当前第19页；编辑于星期