第6节-圆锥曲线的综合问题

【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线间的综合问题2、4、7、10直线与圆锥曲线的综合问题1、6、9、12、13圆与圆锥曲线的综合问题8、11、14、15、16、17圆锥曲线与其他知识的综合3、5基础过关一、选择题1.(2014泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(B)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但直线与双曲线相交时,也可能有一个公共点,例如:与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点.故选B.2.已知双曲线x24-y2(A)5 (B)42 (C)3 (D)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),∴c=3,b2=c2-a2=5.∴双曲线的渐近线方程为y=±52x焦点(3,0)到y=±52x的距离d=5故选A.3.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个端点,若3(A)12 (B)13 (C)1解析:设D(0,b),则DFDA→=(-a,-b),D由3DF1→=得-3c=-a+2c,即a=5c,∴e=ca=1答案:x216-8.(2014哈师大附中模拟)双曲线C:x2a2-y2b2解析:如图,由题知∠ABO=30°,所以∠AOB=60°,OA=c,设A(x0,y0),则x0=-c·cos60°=-c2y0=csin60°=32由双曲线定义知2a=(-c=(3-1)c,∴e=ca=3答案:3+19.(2014太原五中模拟)直线l过椭圆x22+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为解析:法一由椭圆方程得a=2,b=c=1,则F(-1,0).在△FMO中,|MF|=|MO|,所以M在线段OF的中垂线上,即xM=-12设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x+1),由y=k(x+1),x即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,∴xP+xQ=-4而M为PQ的中点,故xM=12(xP+xQ)=-2k∴k2=12解得k=±22故直线l的方程为y=±22即x±2y+1=0.法二设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),由题意知kPQ=-kOM,由P、Q在椭圆上知x两式相减整理得kPQ=y1-y2x而kOM=y0x0,故x即x02=2所以kPQ=±22直线PQ的方程为y=±22即x±2y+1=0.答案:x±2y+1=010.(2014高考山东卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2解析:抛物线x2=2py的准线方程为y=-p2,与双曲线的方程联立得x2=a2(1+p2根据已知得a2(1+p24b2)由|FA|=c,得p24+a2=c2由①②可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=±x.答案:y=±x三、解答题11.如图,等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.(1)解:依题意,|OB|=83,∠BOy=30°.设B(x,y),则x=|OB|sin30°=43,y=|OB|cos30°=12.因为点B(43,12)在x2=2py上,所以(43)2=2p×12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=14x2,y′=1设P(x0,y0),则x0≠0,y0=14y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-由y=1所以Q为x0设M(0,y1),令MP→·MQ→=0对满足y0=14x02(x0≠0)的由于MP→=(x0,y0-y1),MQ→=由MP→·MQ得x02-42-y0-y0y1即(y12+y1-2)+(1-y1)y由于(*)式对满足y0=14x02(x0所以1解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).12.(2014长葛三模)已知圆C1的圆心的坐标原点O,且恰好与直线l1:x-2y+35=0相切,点A为圆上一动点,AM⊥x轴于点M,且动点N满足ON→=33OA→+(1-(1)求曲线C的方程;(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.解:(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AM⊥x轴于M,所以M(x0,0),设圆C1的方程为x2+y2=r2,由题意得r=|3所以圆C1的方程为x2+y2=9.由题意,ON→=33OA→+(1-所以(x,y)=33(x0,y0)+(1-33)(x所以x即x将A(x,3y)代入x2+y2=9,得动点N的轨迹方程为x29+(2)由题意可设直线l:2x+y+m=0,设直线l与椭圆x29+y23=1交于B(x1,y1),D(x联立方程y得13x2+12mx+3m2Δ=144m2-13×4(3m解得m2<39.又∵点O到直线l的距离d=|mBD=5·|x1-x2|=5·2117∴S△OBD=12·|m|5=m=3m2(当且仅当m2=39-m2,即m2=392∴△OBD面积的最大值为33能力提升13.(2014高考辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为(D)(A)12 (B)23 (C)3解析:∵A(-2,3)在抛物线y2=2px的准线上,∴-p2∴p=4,∴y2=8x,设直线AB的方程为x=k(y-3)-2,①将①与y2=8x联立,即x得y2-8ky+24k+16=0,②则Δ=(-8k)2-4(24k+16)=0,即2k2-3k-2=0,解得k=2或k=-12将k=2代入①②解得x即B(8,8),又F(2,0),∴kBF=8-08故选D.14.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F′,连接OT、PF′.∵FT为圆的切线,∴FT⊥OT,且|OT|=a,又∵T、O分别为FP、FF′的中点,∴OT∥PF′且|OT|=12|PF′∴|PF′|=2a,且PF′⊥PF.又|PF|-|PF′|=2a,∴|PF|=4a.在Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,即16a2+4a2=4c2,∴c2∴b2a2=c2即渐近线方程为y=±2x,即2x±y=0.答案:2x±y=015.(2014保定二模)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=2(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的左顶点是A,若直线l:x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M、N(M、N与A均不重合),若以MN为直径的圆过点A,试判定直线l是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标.解:(1)由e2=c2a2=a可得a2=2b2,则椭圆E的方程为x22b代入点(-1,-62)可得b2=2,a2故椭圆E的方程为x24+(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),y1+y2=-2mtm2+2,y1yx1+x2=m(y1+y2)+2t=4tx1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=2t因为以MN为直径的圆过点A,所以AM⊥AN,所以AM→·AN→=(x1+2,y1)·(x2+2,y=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=2t2-4m=3=(=0.因为M、N与A均不重合,所以t≠-2,所以t=-23,直线l的方程是x=my-2直线l过定点T(-23,0)由于点T在椭圆内部,故满足直线l与椭圆有两个交点,所以直线l过定点T(-23,0)探究创新16.(2014邯郸二模)如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点,点A、B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是.

解析:由抛物线方程知准线l:x=-2,焦点F(2,0),圆的圆心C(2,0),半径r=4.作出抛物线的准线l,过B作BM⊥l于M,由抛物线的定义得|AF|=|AM|,∴△FAB的周长为|AF|+|FB|+|AB|=|AB|+|AM|+|FB|=|BM|+|FB|.又∵B在圆弧上移动,且A、B、F三点不重合不共线,∴2<xB<6,∴4<|BM|<8,而|FB|=r=4,因此当xB=2时,|BM|+|FB|有最小值,最小值为8,当xB