2023艺术生新高考数学讲义 第22讲 解三角形（学生版+解析版）

第22讲解三角形

【知识点总结】

1.角的关系

A+B+C=180",sinA=sin(B+C)cosA=-cos(B+C),tanA=-tan(3+C),

sin-cos旦式,cosW=sin"£

2222

2.正弦定理

ab邑-=2/?（2/?为AA3C的外接圆的直径）.

sinAsin3sinC

正弦定理的应用：

①已知两角及一边求解三角形.

②已知两边及其中一边的对角，求另一对角:

>1,无解

若a<岳已知角A求角B.sin="=1,=—

2

<1,两解（一锐角、一钝角）

若a>6,已知角A求角B,一解（锐角）.

3.余弦定理

c2=a2+。2_206cosc（已知两边a,b及夹角C求第三边c）

cosC=丁+♦-c?（已知三边求角）.

lab

余弦定理的应用：

①已知两边及夹角求解第三边；

②已知三边求角；

③已知两边及一边对角未知第三边.

4.三角形面积公式

=—ah=L/bsinC=~bcsin4=~acsin8.

2222

【典型例题】

例1.（2022•浙江•高三专题练习）AABC中，角A,B,C的对边分别是“，b,c,A=30。，a=3,若这

个三角形有两解，则6的取值范围是（）

A.3<b<6B.3<b<6

C.b<6D.h<6

例2.（2022•浙江•高三专题练习）已知中，c分别是角A,8,C的对边，且满足6cosc=a+ccosB,

则该三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形

例3.(2022•全国•模拟预测)已知AA8C的内角A8,C所对的边分别为a也c.且

6sin8-asinA="'由碗"0一/0由C,a=2,____在①△ABC的周长为6；(2)sinB=2sinC；③

sinA

bsinC=csin(B+0这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.

(1)求A；

(2)求的面积.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

例4.(2022・全国•高三专题练习)在aABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,角4、B、C的度数

成等差数列，b=岳.

(1)若3sinC=4sinA,求c的值；

(2)求a+c的最大值.

例5.(2022.上海.高三专题练习)如图，在中，NB=45。，点。在8c边上，且C£>=2,AO=3,

cosZ.ADC=—

3

(2)求sin的值.

例6.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（X）=4cosxsin.-5+6

TTTT

（I）求函数“X）在区间了耳上的值域.

（II）在A/WC中，角4,B,C,所对的边分别是a,b,c,若角C为锐角，〃C）=G,且c=2,求A/WC

面积的最大值.

【技能提升训练】

一、单选题

1.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，若［=sinAcos8,则的形状为（）

bcosAsinB

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

2.（2022•全国•高三专题练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，h,c,ZA=60°,h=i,

S“A8C=6,则..一的值等于（）

AsinA-2sinB+sinC

A2而Bc述D.2G

'3'3'~

3.（2022•全国•高三专题练习（文））己知AABC的内角AB（所对的边分别为a,6,c满足加+C2一/=反且

a=6，贝！I

sinB

A.2B.3

C.4D.25/3

4.（2022・全国•高三专题练习）在“HC中，ZA=30°,AB=03c=1,则NC等于（）

A.丁或工~B.z或式C.-D.-

336663

5.（2022•全国•高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉

市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为30（6-l）m的建筑物AB,在它们之

间的地面上的点D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15。和60。,在楼顶A处测得楼顶

C的仰角为15。，则估算黄鹤楼的高度为（）

6.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，角A、民C的对边分别为a、〃、c,若a=l,6=6,8=60。，则

A=()

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

7.(2022•全国•高三专题练习)已知AABC中，8c=4,AC=4^,ZA=3O°,则NB=()

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

8.(2022.全国•高三专题练习)在“1«。中，角A8,C的对边分别为已知/+c2-ac=0,“8C的

外接圆半径为G,AABC的周长为9,则"=()

A.6B.9C.16D.24

TT

9.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中,BC=6,A=—,sinB=2sinC.则△ABC的面积为()

3

A.B.6C.9>/3D.4夜

10.（2022•浙江•高三专题练习）在中,根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（)

A.A=50'，6=20,c=30B.A=50,8=20",c=30

C.a=24,Z?=31,A=30D.A=50'，a=45,c=29

11.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中,角A,B,C的对边分别是n,b,c,已知6=12,A=30。，使

得三角形有两解的条件是（)

A.a=6B.6<«<12C.6/>12D.a<6

12.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中,角A、B、。所对的边分别为。、b、c,其中。=2,

sinAsinB+sinAsinC=sinBsinC,则人+c的最小值为()

A.6B.7C.8D.9

2

13.（2022・全国•高三专题练习）在AMC中，内角A、8、C所对的边分别为。、b、c,cosA=-,B=2A.则

-=（）

a

A.-B.-C.-D.-

3425

14.（2022.全国•高三专题练习）已知AABC中，内角AB,C对应的边分别为a,b,c,若〃+匕=4,c=J7,

7T

C=§,则AABC的面积为（）

A.史B.26C.4D.3近

4

15.（2022・全国•高三专题练习）已知中，角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,且。=2,C=45°,

accosB=h2+hecosA,则aABC的面积为（）

A.yB.1C.2D.4

16.（2022.浙江.高三专题练习）在“fiC中，a,〃，C分别为内角A,B,C所对的边长，若c?=（a-6）2+5,

IT

C=y,则AABC的面积是（）

A.3B.空C.—D.3百

24

17.（2022•全国•高三专题练习（文））已知a,h,c分别为“3C内角A,B,C的对边，a2-b2=^c2,^ABC

的面积为!c、则A=（）

6

A.45°B.60°C.120°D.150°

18.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若（3a-才）?+（5a-4c）2=0,

则最小内角的余弦值为（）

A4/33

5454

19.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，角A,B,C所对的边分别是。，b,c,若护+『=#-&bc,

则角A的大小为（）

A.JB.?C.工D.却

6336

20.（2022・全国•高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩48（如图），

要测量A,B两点的距离，测量人员在岸边定出基线8C,测得BC=50成，ZABC=\05°,ZBCA=45°.就

可以计算出A,B两点的距离为（）.

A.205/2mB.30amC.4072mD.50®m

二、多选题

21.（2022.全国.高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（）

3

A.。=3,b=4,A=30°B.a=3,b=4,cosB=—

C.a=3,b=4,C=30°D.a=3,/?=4,B=30°

22.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，a",C,为三个内角A,8,C的对边，若（/+C?-⑹tanB=6ac,

则角B=（）

A.30°B.60°

C.150°D.120°

三、填空题

23.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，角A,B,C的对边分别是“，b,c,已知4=120。，〃=7,

cosB=—,则人___________

14

24.（2022・全国•高三专题练习）ZVIBC的内角A,5,2的对边分别为m仇c.已知DinC+csinB=4asinBsin

C,。2+/-。2=8,则AABC的面积为.

TT

25.（2022・全国•高三专题练习（文））在△A8C中，角A,B,C所对的边分别为b,c.若。=1,8=：,

△ABC的面积5=2,则4ABe的外接圆的面积为.

26.（2022・全国•高三专题练习）在“5C中，若sinA（sin3+cosB）=sinC,a=6,则AMC外接圆的面

积为.

27.（2022•全国•高三专题练习）已知IAABC外接圆的直径为"，AB=4,AC=5,8。=7,则"=.

28.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，角A、8、C所对的边分别为a、A、c,若sinA:sin8:sinC=7:5:4,

则最大角等于.

2乃

29.（2022•全国•高三专题练习）在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知8+。=丁，a=6

b=\,则△A8C的面积为.

30.（2022•全国•高三专题练习）在中，内角A,8,C的对边分别为a,6,c,若c（acosB-6cosA）=16,

a+b=8,ZC=60S则c的值等于

31.（2022・全国•高三专题练习）已知在AABC中，sin2/l+sin2B-sin2C=^sllMsin/j,则cos2C=.

32.(2022•全国•高三专题练习)在如图所示四边形ABC£>中，AD=DC,AC=50BC=,ZADC=\2(T,

ZBCD=75°,则四边形ABC。的面积为.

1

33.(2022•全国•高三专题练习)为测量山高MN.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N

点的仰角NM4N=3()。，C点的仰角NC4B=60。以及NM4C=105。，从C点测得N/VC4=30。.己知山高

8c=150米.则所求山高MN为米.

四、解答题

34.(2022・全国•高三专题练习)在中，a、b、c分别为内角4、B、C的对边，且

2tzsinA=(2Z?+c)sinB+(2c+/>)sinC

(I)求A的大小；

(H)若sin8+sinC=l,试判断8c的形状.

35.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，。=8,6=6,cosA=-^,求:

（1）角B；

（2）BC边上的高.

36.（2022•全国•高三专题练习）在AA3C中，内角A,B,C所对的边分别为。，。，c.已知a+6=10,c=5,

sin2B+sinB=0.

（1）求。，b的值:

(2)求sinC的值.

37.（2022・全国•高三专题练习）在A/WC中，。,6,。分别为角4氏（^的对边，且⑦-c=2acosC.

(1)求A；

（2）若AABC为锐角三角形，c=2,求6的取值范围.

38.（2022.全国•高三专题练习）在AABC中，已知角A,B,C所对边分别为“，b,c,tanC=空”生丝

cosA+cosB

（1）求角C;

（2）若c=2,求。+人的取值范围.

39.（2022,天津北辰•模拟预测）在AABC中，角A5C所对的边分别为“,4c,已知a=7,c=8

4

（1）若sine：,求角A的大小;

（2）若力=5,求AABC的面积.

40.(2022•上海•高三专题练习)在中，角A,B,C的对边分别为“、b、c,K2cos2-^-cosB-

3

sin(A-B)sinB+cos(A+C)=--

(1)求cosA的值；

(2)若。=40，b=5,求8和c.

A

41.（2022•全国•高三专题练习）从①sinA=cos彳,②为cosA=bcosC+ccos8,③acosC+（2/?+c）cos4=0,

这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：在A/WC中，角A,B,C的对边分别为“，/?,。，.

（1）求A；

（2）若。=2,求面积的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

42.（2022•全国•高三专题练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为〃，h,c,且〃sin3+csinC=asinA

一bsinC.

（1）求A；

（2）若点。在BC上，满足40为NBAC的平分线，AC=1且sinC=叵，求AO的长.

7

43.（2022•全国•高三专题练习）在钝角AABC中，角A,B,C所对的边分别是“，b,c,

sin(A+8)-sin(A-8)=4sin2A.

(1)求2的值.

a

(2)若c=JI5,c=T，求AA»C的面积.

44.(2022•全国•高三专题练习)AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

<7(2-COSC)=c(2cosB+cosA).

(I)求cosC；

(II)若AABC的面积S小BC=华，sin(A+8)+sin(A—8)=2sin23,求j

45.(2022•全国•高三专题练习)在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且Gc-28sinC=0.

(1)求角8的大小；

(2)从条件①b=36,a=4；条件②a=2,A=(这两个条件中选择一个作为已知，求的面积.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

46.(2022•全国•高三专题练习)AABC中，AB=2AC,点。在BC边上，AD平分ZBAC.

(1)若sin/ABC=g求cos/BAC；

5

(2)若AD=4C,且AA8C的面积为近，求8c.

47.(2022♦全国•高三专题练习(文))在AA8C中，角4,B,C所对的边为a,b,c,且满足

若T

(1)求角B;

(2)若周长为6,求的面积.

48.(202)全国•高三专题练习(文))已知在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

有cosB-l=sin(A+C),6=4.

(1)求sin8；

TT

(2)若C-A=5，求△AJ5C的面积.

49.(2022,全国•高三专题练习(文))在AABC中，角4,B,C,所对的边分别为c,acosB+方8sA=3〃，

2

cosB=_.

3

(i)求£的值；

a

(II)己知AABC的面积为2百，求边江

50.(2022•全国•模拟预测)在△ABC中,角A民C的对边分别为a,b,c,2acosBsinC+百csinA=0.

(1)求B：

(2)AC=2j7,8C=2,£＞是AC边上的中点，求8。的长.

51.(2022・全国•高三专题练习)在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,且

2acosA-hcosC=ccosB.

(I)求角A的大小;

（II）若4=2,求〃+C的取值范围.

52.（2022•全国•高三专题练习）如图，在四边形458中，8=2,BC",AB=4,NBDC=60。，

cosZABC=--

14

(1)求sin"3C；

(2)求)£).

53.（2022.全国•高三专题练习）已知等腰三角形ABC,AB=AC,。为边BC上的一点，ADAC=90°,再

从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求△A8O的面积及8。的长.

条件①A3=6；条件②cos/BAC=-g；条件③CD=3#.

Sjrjr

54.(2022・全国•高三专题练习)如图，在平面四边形A3C£>中，NDAB=「ZADC=~,AB=2AC=2®，

64

CD=].

(1)求cosZ4c。的值;

(2)求BC的值.

55.(2022・全国•高三专题练习)如图，在四边形ABC。中，AC与5。相交于点O,且AC为NZMfi的角平

TT

分线，ZABC=-,AB=3BC=3.

(1)求sinZ.DAC；

兀

(2)若ZAZ)C=(2,求四边形488的面积.

56.(2022.全国•高三专题练习)如图，A/WC中，角AB,C成等差数列，ZBAC=ZDCA,BD=1,E为AC

的中点.

(1)若SGBCD=6，求C£>;

(2)若ACf,记A=e,且导。苦，求sin。的值.

57.（2022•全国•高三专题练习）四边形ABC£＞的内角A与C互补，AB=l,BC=3,CD=DA=2.

⑴求C和BO；

（2）求四边形ABCD的面积.

58.（2022•全国•高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高48时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测

点C与D现测得NBCD=75。，NBDC=&）。,CC=20&米，又在点C测得塔顶A的仰角为30。，求塔高

AB.

第22讲解三角形

【知识点总结】

1.角的关系

A+B+C=180°,sinA=sin(B+C)cosA=-cos(B+C),tanA=-tan(B+C),

B+CB+C

sin—=coscos—=sin

2222

2.正弦定理

=—j=^=2砥2R为A43C的外接圆的直径).

sinAsin3sinC

正弦定理的应用：

①已知两角及一边求解三角形.

②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：

>1,无解

若〃v6已知角A求角B.sinB=<=1,B=—

<1,两解（一锐角、一钝角）

若a>力已知角A求角B,一解（锐角）.

3.余弦定理

j=。2+从_2^cosC（已知两边a,b及夹角C求第三边c）

cosC=丁+♦i（已知三边求角）.

lab

余弦定理的应用：

①已知两边及夹角求解第三边；

②已知三边求角；

③已知两边及一边对角未知第三边.

4.三角形面积公式

=—ah=—6//?sinC=~bcsin4=~acsin8.

2222

【典型例题】

例1.（2022•浙江•高三专题练习）AABC中，角A,B,C的对边分别是。，h,C,4=30。，a,若这

个三角形有两解，则6的取值范围是（）

A.3<b<6B.3<b<6

C.b<6D.h<6

【答案】B

【详解】

因为这个三角形有两解，故满足Z>sin,

即6sin30°<3vb,解得3<6<6.

故选：B

例2.(2022•浙江•高三专题练习)已知AMC中，a,b,c分别是角A,8,C的对边，且满足bcosC=a+ccosB,

则该三角形的形状是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】C

【详解】

因为/?cosC=a+ccosB，

由正弦定理可得：sin3cosC=sinA+sinCeos5,

所以sin8cosC-sinCcos3=sin[)一(3+。],

所以sin(B-C)=sin(B+C),

所以8—C=B+C或3—C=i—B—C,

TT

即C=o(舍去)或3=

故“ABC为直角二角形,

故选：C

例3.(2022•全国•模拟预测)已知AABC的内角A,8,C所对的边分别为〃也c.且

人sin8-asin人=竺@丝史C-csinC,a=2,____在①“IBC的周长为6；②sin3=2sinC；③

sinA

AinC=csin(8+?)这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.

(1)求A；

(2)求“ABC的面积.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】

(1)由正弦定理及bsin8-asinA="sm'smC一c,

sinA

得〃—a2=he-c2,即h2+c2-a2=bc,

由余弦定理得cos4="十:一",

2bc2

jr

由于Ae(0,%),所以A=1

(2)选①油“LBC的周长为6,得A+c=6-a=4,

由(1)得/="+<?-6c=(6+c)，-3bc=16-3bc,

所以△ABC的面积为S=」〃csinA=Lx4x正=6.

222

选②:由正弦定理及sinB=2sinC,得b=2c,

由余弦定理得，a2=h2+c2-bc=4c2+c2-2c2=3c2,B|J4=3c2,解得°叵

3

所以b=2c=-,

3

所以△ABC的面积为S=Locsi"='x生叵x3Ax立二毡.

223323

选③:由正弦定理及匕sinC=csin(B+?),f#sinBsinC=sinCsin(B+y),

因为0＜。＜"，所以sinC＞0,

所以sinB=sin(5+W),BPsinB=-sinB+—cosB,整理可得tan8=6，

322

IT

因为0＜8＜不，则8=1,所以△■ABC为等边二角形，

所以AABC的面积为S=4/sinA=Lx4x立=«.

222

例4.(2022.全国•高三专题练习)在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为“、b、c,角A、B、C的度数

成等差数列，b=岳.

(1)若3sinC=4sinA,求c的值;

(2)求a+c,的最大值.

【详解】

(1)由角A、B、C的度数成等差数列，得23=A+C

又A+B+C=》,:・B=—.

3

由正弦定理，得3c=4a,BRa=—.

4

由余弦定理,Wfe2=a2+c2-2accosB»

即13=(+/一2乂生xcx』，解得c=4.

(4J42

a_c_b_\/\3_2\/13

(2)由正弦定理,得sinAsinCsinB百g，

T

.2V13..2V13.厂

..a=-^sinA,c=—^-sinC.

GG

a+c=2y(sinA+sinC)=[sinA+sin(A+3)]

v3v3

=窣「工

sin4+s4A+71=典％退+且cosA=2y[\3sin[A+£).

V3373I22

।八.24/口7r.TC57r

山0<A<—,得一<A+一<—.

3666

所以当A+二=2时，即4=工时，(a+c)=2>/13.

623v/nux

例5.(2022・上海•高三专题练习)如图，在△ABC中，NB=45。，点。在3c边上，且8=2,AQ=3,

cosZADC=—

3

(2)求sin/BA。的值.

【详解】

(1)vCD=2,AD=3,cosZ.ADC=-,

3

•••在”1。。中，山余弦定理得cosZAOC=d0+C0——^-=3+2——丝L=1,...AC?=9.AC=3

2ADCD2x3x23

(2)•.-cosZADC=l所以sinNAOC=2包，又由题意可得NBAZ>=NADC—N3,

33

sinZBAD=sin(ZAZ)C-ZB)=sinZ.ADCcosNB-cosZADCsinZB

_272y/2I72_4-2/2

一亍TFT-6

例6.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=4cosxsin*-?+6.

(I)求函数/(x)在区间(段上的值域.

(II)在AA8c中，角A,B,C,所对的边分别是a,b,c,若角C为锐角，/(C)=G,且c=2,求“ABC

面积的最大值.

【详解】

解：(I)/(x)=4cosxsin(x-y)+V3

=4cosxsinxcos--cosxsin—+G

I33)

.(i.G

，

=4cosxU—smx----2-cosxJ+3

=2sinxcosx-2\/3cos2x+G

=sin2x_6cos2x=2sin(2x-y),

山9瓢3,有g融?，所以;4sin(2x-q)41

4263325)

二函数/(X)的值域为[1,2].

(II)山/(C)=百，有sin(2C-5)=#,

•.•C为锐角，，2C-(=(,.•.C=(.

vc=2,「.由余弦定理得:储+。2一口力=4,

•/a24-Z72..2ab,/.4=a2+b2-ab..ab.

「•SJBC=(曲sinC=4ab,,75,

.,.节a=b,即△/18c为正三角形时，3c的面积有最大值目.

【技能提升训练】

一、单选题

1.(2022•全国•高三专题练习)在中，若q=^Acos8,则《45c的形状为()

b~cosAsinB

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】

由已知条件，结合正弦定理得sin2A=sin2B,有A=3或A+8=g,即可知正确选项.

2

【详解】

.a1sinAcosB.sin2AsinAcosB口口.▲4•八八

II]—=--------------知：——=---------，U|JsinAcosA=sinBcosB,

b~cosAsinBsin-BcosAsinB

/.sin2A=sin2B,即2A=28或2A+28=%,

jr

***A=5或A+8=5，

故选：D

2.（2022•全国•高三专题练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,ZA=60°,b=l,

…叔则就瞪段碇的值等于，）

2739266

80D.273

33

【答案】A

【分析】

根据面积公式及余弦定理求出。，以及根据正弦定理变形.「二:。.=一、,进一步求出答案.

sinA—2sinn+sinCsinA

【详解】

•/S=—bcs\nA

2

2S2>/3，

・C~~1--=-7^=4

・・bsinAV3

T

a2=h2+c2-2Z?ccosA=1+16-2x1x4x—=13,

2

*#•a=\/\3

V132屈

.a-2b-vc_a=—^=-------

*'sinA-2sinB+sinCsinA—

2

故选：A.

3.（2022•全国•高三专题练习（文））已知AABC的内角4B,C所对的边分别为a,6,c满足〃+02—/=6c且

A.2B.3

C.4D.2百

【答案】A

【分析】

先利用余弦定理求得A=q,再利用正弦定理求解即可.

【详解】

A24-r2—/72be1

由题。2+。2-。2=bc,COSA=------------

2bc2bc=2

®-b-.a.—_6

乂°<Av4，A=—,sin8sinAG

T

故选：A.

4.（2022・全国•高三专题练习）在△ABC中，ZA=30°,AB=6BC=1,则NC等于（）

A.科等7C

JC-6D.T

【答案】A

【详解】

BCAB

由正弦定理知

sinAsinC

：.sinC=—sinA=73xl=^,

BC22

V0<C<7t,C>A,，C=三或

33

故选：A.

5.（2022・全国•高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉

市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为30（0-l）m的建筑物A8,在它们之

间的地面上的点”（a三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15。和60。,在楼顶A处测得楼顶

C的仰角为15。，则估算黄鹤楼的高度C。为（）

D.30鬲

【答案】C

【分析】

分别在^ABM，AACM及YCDM应用正弦定理求解.

【详解】

ARL

在中，ZAM3=15。,则-----=60缶？

sin15°

在△ACM中，因为/CAM=15。+15。=30°,ACMA=180°-(60°+15°)=105°,

所以ZMCA=1800-105°-30°=450

因为..叱「，，所以CM=^x60&=60（”），故CO=CMsin60°=30G（m）.

sinZMACsinZMCA2

故选：C.

6.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，角人仇C的对边分别为若a=l,b=02=60。，则

A=（）

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

【答案】A

【分析】

根据正弦定理，：=上的式子，代入题中数据算出sinA=（，结合△ABC中A<B,可得A=30。.

sinAsinB2

【详解】

解：•.•在aABC中，8=60。，

.土口珀丁/占rmat>.asinB1xsin601

..根据正弦定理一二=一二，可得sinA=---=——f=—=-,

sinAsinBbJ32

又；在△4BC中a。，可得A<8,，A=30。.

故选：A.

7.（2022・全国•高三专题练习）已知AABC中，BC=4,AC=4百，ZA=30°,则N3=（）

A.30°B.30。或150°C.60°D.60°或120°

【答案】D

【分析】

直接利用正弦定理计算即可得出答案.

【详解】

解：因为BC=4,AC=46,ZA=30°,

BCAC

1

X

4732-

所以sin3=ACsinA

BC-4

所以NB=60。或120。.

故选：D.

8.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，角AB,C的对边分别为a,4c,已知/+C?一4=0,“8。的

外接圆半径为6,AABC的周长为9,则ac=（）

A.6B.9C.16D.24

【答案】B

【分析】

首先由余弦定理可得==所以B=5'再由正弦定理可得〃=2RsinB=3'根据周长为

9,由(a+c)2-3ac=/=9即可得解.

【详解】

，上△ABC中，由+L—-ac=0,可f'.ja2+c2—b~=ac>

所以cos8=/+

2ac2

7T

山()<5〈"可得3=

所以沙=2Rsin8=26x走=3,

2

由AABC的周长为9,所以a+c=9—匕=9一3=6,

山a2+c2—b2-ac=0,

可得(a+c)2-3ac=/=9,

所以3ac=27,所以oc=9,

故选：B

TT

9.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，BC=6,A=],sin8=2sinC.则AABC的面积为（）

A.66B.6C.90D.4应

【答案】A

【分析】

由余弦定理可得36=02+从-秘，由正弦定理可得b=2c,解得b和c的值，再由S=g〃csinA即可得解.

【详解】

•••a2=b2+c2-2hccosA,

36=c~+b~—he,

sinB=2sinC,

:.b=2c.

解得：c=25/3,b=45/3,

..△A6C的面积为S=1bcsinA='x26x4\/Jx—^=6G.

222

故选：A.

10.（2022•浙江•高三专题练习）在aMC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）

A.A=50,h=20,c=30B.A=50',8=20",c=30

C.a=24,b=3\,A=30D.A=50,a=45,c=29

【答案】C

【分析】

根据三角形的性质依次分析各选项即可得答案.

【详解】

解：对于A选项，己知两边及夹角，由余弦定理可知第三边为定值，故只有一个解；

对于B选项，已知两角及任意一边，则三角形确定，只有一个解；

对于C选项，由正弦定理得sinB=^E=2>sin30,所以3有两个解；

对于D选项，由正弦定理和大边对大角得C