新教材数学人教A版选择性课件531函数的单调性

导数在研究函数中的应用函数的单调性1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系在某个区间(a,b)上的函数y=f(x):必备知识·素养奠基f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0函数f(x)在(a,b)上_________f′(x)<0函数f(x)在(a,b)上_________单调递增单调递减【思考】(1)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上单调递增”,反之,若f(x)在(a,b)上单调递增,能推出在(a,b)上恒有f′(x)>0吗?提示:不能,若f(x)在(a,b)上单调递增,则在(a,b)上恒有f′(x)≥0.(2)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)<0,则f(x)在(a,b)上单调递减”,反之,若f(x)在(a,b)上单调递减,能推出在(a,b)上恒有f′(x)<0吗?提示:不能,若f(x)在(a,b)上单调递减,则在(a,b)上恒有f′(x)≤0.(3)在(a,b)上存在f′(x)恒等于0的函数吗?提示:存在,这样的函数是常数函数f(x)=c.2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一个函数f在某一范围内导数的绝对值为,则

函数值的变化函数的图象越大在这一范围内变化得较快比较“陡峭”(向上或向下)越小在这一范围内变化得较慢比较“平缓”【思考】为什么|f′(x)|越大,函数递增(或递减)越快,其图象越陡峭?提示:|f′(x)|越大,说明函数的瞬时变化率越大,即函数值的变化越快,其图象越陡峭.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)因为=<0恒成立,所以函数y=在(-∞,+∞)上单调递减.()(2)因为=1+>0,所以函数y=x-在(-∞,+∞)上单调递增.()(3)函数f(x)=x2+2x-3的导数f′(x)=2x+2是增函数,所以函数f(x)=x2+2x-3在(-∞,+∞)上是增函数. ()提示:(1)×.因为函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由=-<0恒成立,所以函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.(2)×.因为函数y=x-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由=1+>0恒成立,所以函数y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增.(3)×.因为f′(x)=2x+2,所以当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,即函数f(x)=x2+2x-3在x∈(-∞,-1)上单调递减,在x∈(-1,+∞)上单调递增.2.函数y=x-lnx的单调递减区间为 ()A.(-1,1]B.(0,+∞)C.[1,+∞) D.(0,1]【解析】选D.函数的定义域为(0,+∞),令y′=1-=≤0,解得x∈(0,1],所以函数的单调递减区间为(0,1].关键能力·素养形成类型一导数与函数图象的关系【典例】1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ()2.函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是 ()3.函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数y=f′(x),则不等式f′(x)<0的解集为________.

【思维·引】导函数图象在x轴下方,函数递减,导函数图象在x轴上方,函数递增.【解析】1.选B.在区间(-1,1)上,f′(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f′(x)单调递增,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加得越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)上,f′(x)单调递减,故y=f(x)在区间(0,1)上增加得越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.2.选D.从函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.3.函数y=f(x)在区间和区间(2,3)上单调递减,所以在区间和区间(2,3)上,y=f′(x)<0,所以f′(x)<0的解集为∪(2,3).答案:∪(2,3)

【内化·悟】结合图象来研究导数与函数的关系,需注意哪些问题?提示:(1)函数的定义域.(2)导数的符号与函数单调性的关系.【类题·通】函数与导数图象间的关系判断函数与导数图象间的对应关系时,首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象,其次再注意以下两个方面:(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.(2)导数与函数图象的关系

函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f′(x)>0且越来越大f′(x)>0且越来越小

函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f′(x)<0且越来越小,绝对值越来越大f′(x)<0且越来越大,绝对值越来越小

【习练·破】已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f′(x)的图象可能是()【解析】选B.由函数y=f(x)的图象及其导数的意义可知,当x<0时,f′(x)>0,当x=0时,f′(x)=0,当x>0时,f′(x)<0.【加练·固】设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是 ()【解析】选C.由y=f′(x)的图象可知,当x<0或x>2时,f′(x)>0;当0<x<2时,f′(x)<0,所以函数y=f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为增函数,在(0,2)上为减函数.类型二利用导数求函数的单调区间【典例】1.(2020·南平高二检测)函数f(x)=xex+1的单调递减区间是()A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)2.(2020·金安高二检测)函数f(x)=x-2sinx+1在(0,π)上的单调递增区间是()A. B.C. D.【思维·引】1.求导,解使f′(x)<0的区间.2.求导,解使f′(x)>0的区间.【解析】1.选C.f′(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f′(x)<0,函数单调递减.2.选D.f(x)=x-2sinx+1,令f′(x)=1-2cosx>0,可得π<x<π,故f(x)在(0,π)上的单调递增区间为

【内化·悟】求函数的单调区间需要特别关注什么?提示:求函数的单调区间需要特别关注函数的定义域.

【类题·通】求函数y=f(x)单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求导数y′=f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,函数在解集所表示定义域内为增函数.(4)解不等式f′(x)<0,函数在解集所表示定义域内为减函数.如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.

【习练·破】1.(2020·渝中高二检测)函数f(x)=(1-x)ex的单调递减区间是 ()A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,0) D.(0,+∞)【解析】选D.f′(x)=-xex.当x>0时,f′(x)=-xex<0,函数单调递减.即函数的单调递减区间是(0,+∞).2.函数f(x)=2x2-lnx,x∈(0,+∞)的单调递减区间为________.

【解析】由题意得f′(x)=4x-,令f′(x)=4x-<0且x∈(0,+∞),则x∈答案:

【加练·固】判断函数f(x)=ax3-1的单调性.【解析】因为f′(x)=(ax3-1)′=3ax2.①当a>0时,f′(x)≥0,函数在R上单调递增;②当a<0时,f′(x)≤0,函数在R上单调递减;③当a=0时,f′(x)=0,函数在R上不具备单调性.类型三利用导数求参数的取值范围角度1已知函数单调性求参数的取值范围【典例】1.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则实数k的取值范围是 ()A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]C.[2,+∞) D.[1,+∞)2.函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m的范围是________.

【思维·引】1.f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立.2.函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立.【解析】1.选D.f′(x)=k-,因为函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立,所以k≥,而y=在区间(1,+∞)上单调递减,所以k≥1,故实数k的取值范围是[1,+∞).2.由g′(x)=-3x2+4x+m≤0对x∈R恒成立.即Δ=16+4×3m≤0,解得m≤-.答案:

【素养·探】已知函数单调性求参数的取值范围时,经常利用核心素养中的逻辑推理,将函数单调性问题转化为恒成立问题.将本例1条件改为:函数f(x)=kx-lnx在区间(0,e)上单调递减,求实数k的取值范围.【解析】函数f(x)=kx-lnx在区间(0,e)上单调递减,即f′(x)=k-≤0在区间(0,e)上恒成立,所以k≤.角度2求参数范围的综合问题【典例】已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.【思维·引】函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,即在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.【解析】方法一:由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.即t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立.设函数g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=且开口向上的抛物线,故t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立⇔t≥g(-1),即t≥5.而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是[5,+∞).方法二:由题意得f(x)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.因为f′(x)的图象是开口向下的抛物线,所以当且仅当f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是[5,+∞).

【类题·通】1.利用导数法解决参数范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.2.恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.

【习练·破】1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.a≥1 =1 C.a≤1 D.0<a<1【解析】选A.由已知得f′(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1)内恒成立,即f′(0)≤0且f′(1)≤0,解得a≥1.2.若函数f(x)=(mx-1)ex在(0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是________.

【解析】f′(x)=(mx-1)′ex+(mx-1)·(ex)′=mex+(mx-1)ex=ex(mx+m-1).由于f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0,即mx+m-1≥0对x∈(0,+∞)恒成立,即m≥对x∈(0,+∞)恒成立,又当x∈(0,+∞)时,<1,故m≥1.答案:[1,+∞)课堂检测·素养达标1.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 ()=sin2x =xex=x3-x =-x+ln(1+x)【解析】选=xex,则y′=ex+xex=ex