绝对值三角不等式

3.5绝对值不等式3.5.1绝对值三角不等式内容要求

1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义.2.能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式.1.绝对值的几何意义(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到_____的距离.(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的______，即线段AB的_____.自

主

预

习原点距离长度2.绝对值三角不等式(1)定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤______，当且仅当______时，等号成立.(2)若定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是

.|a|＋|b|ab≥0三角形的两边之和大于第三边3.三个实数的绝对值不等式

定理2如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤______＋|b－c|，当且仅当

时，等号成立.|a－b|(a－b)(b－c)≥0即

时

自

测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)提示(1)当ab≤0，且|a|＞|b|时，等号成立.(2)当ab≥0时，等号成立.(3)成立.(4)ab≥0时，等号成立.答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×A.|a＋b|>|a－b| B.|a＋b|<|a－b|C.|a－b|<||a|－|b|| D.|a－b|<|a|＋|b|解析

∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|＝||a|－|b||，故应选B.答案

B2.已知实数a，b满足ab<0，则下列不等式成立的是(

)3.已知h>0，a，b∈R，条件甲：|a－b|<2h；条件乙：|a－1|<h且|b－1|<h，则甲是乙的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析

显然a与b的距离可以很近，满足|a－b|<2h，但此时a，b与1的距离可以很大，因此甲不能推出乙；另一方面，若|a－1|<h，|b－1|<h，则|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|<2h，即乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.故选B.答案

B4.已知4个命题：①a>b⇒|a|>b；②a>b⇒a2>b2；③|a|>b⇒a>b；④a>|b|⇒a>b.其中正确的命题是________.解析

当a>b时，|a|≥a>b，①正确，显然②③不正确.当a>|b|时，有a>|b|≥b，④正确.答案

①④答案

(1)a≠b

(2)a≠－b规律方法

1.本题求解的关键在于对|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b|的正确理解.2.解决此类问题应从两个方向看推出关系来进行求解.题型二运用绝对值不等式求最值与范围

互动探究【例2】

对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围.[思路探究]探究点一不等式恒成立常见怎样转化？提示

m≤|x＋1|＋|x＋2|只需小于|x＋1|＋|x＋2|的最小值，故可转化为求对应函数的最小值即可.探究点二求解含两个绝对值号的不等式问题，常见的有哪些处理方法？提示(1)利用绝对值几何意义，(2)去绝对值号，(3)利用绝对值三角不等式.规律方法

1.本题也可利用绝对值的几何意义求解.2.对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值.【训练2】

已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围.(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0].规律方法

1.将文字语言“m等于|a|，|b|，1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键.2.运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度.【训练3】

若f(x)＝x2－x＋c(为常数)，且|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).所以原不等式成立.[课堂小结]1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解.

含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|>m或|x－a|＋|x－b|<m(m为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便.2.含绝对值不等式的证明